かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだい

かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだい（かけざんのじゅんじょもんだい）は、かけ算ざんによって解かいが得えられる算数さんすうの文章ぶんしょう題だいにおいて、解答かいとう(15など)が合あっていても式しき(3 x 5など)の順序じゅんじょが想定そうていと逆ぎゃくだとバツとされる採点さいてん方針ほうしんの是非ぜひをめぐる論争ろんそうである。「かけ算ざんの順序じゅんじょ強制きょうせい問題もんだい」「かけ算ざんの式しきの正ただしい順序じゅんじょ」「かけ算ざんの順番じゅんばん」などとも言いわれている。

概要がいよう

想定そうてい解答かいとうとなる式しき(等号とうごう左ひだり)と答こたえ(等号とうごう右みぎ)の組くみ合あわせが"A x B = C(A,B,C は具体ぐたい的てきな非負ひふ整数せいすう)"となる文章ぶんしょう題だいに対たいし､"B x A = C"としたとき少すくなくとも式しきは不ふ正解せいかいとなる採点さいてん基準きじゅんが取とられていることが日本にっぽんの一部いちぶ小学校しょうがっこうなどで確認かくにんされている。この当否とうひが本ほん項こうにあたる。日本にっぽんの学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつでは、かけ算ざんの順序じゅんじょ概念がいねんは一定いっていの明確めいかくさで存在そんざいを規定きていされ 、文科ぶんか省しょう担当たんとう者しゃも自然しぜんな順序じゅんじょの存在そんざい性せいと学習がくしゅうの意義いぎについて肯定こうてい的てき立場たちばを明言めいげんしている。同省どうしょう担当たんとう者しゃは一方いっぽうで順序じゅんじょ概念がいねんに基もとづく不ふ正解せいかい判定はんていについて、実施じっしの有無うむは裁量さいりょうの問題もんだいとする見解けんかいを示しめしている。これより過去かこの典拠てんきょで文部もんぶ科学かがく省しょうによる学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうおよび指導しどう要領ようりょう解説かいせつでは順序じゅんじょは規定きていされていないとしたものもある。

少すくなくとも日本にっぽんにおける順序じゅんじょは「(1つぶんの数かず)×(いくつ分ぶん)」のように定さだめられる。日本にっぽんの小学生しょうがくせい向むけ教科書きょうかしょ、学習がくしゅう参考さんこう書しょに例示れいじされている式しきはこの順序じゅんじょにほぼ統一とういつされている。これに従したがい逆ぎゃくの順序じゅんじょに書かかれた式しきを不ふ正解せいかいとみなす記述きじゅつは、各社かくしゃの教科書きょうかしょ指導しどう書しょおよび一部いちぶの教科書きょうかしょ・学習がくしゅう参考さんこう書しょに見みられる。

日本にっぽんでは、1972年ねんに朝日新聞あさひしんぶんで報道ほうどうされて以来いらい、この問題もんだいは数学すうがく者しゃらにたびたび取とり上あげられてきた。 例たとえば、1つぶんの数かず×いくつ分ぶんで求もとまるかけ算ざんの文章ぶんしょう問題もんだいでは、「6人にんのこどもに、1人ひとり4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか。」という設問せつもんに対たいする、「（しき）6 × 4 = 24（こたえ）24 個こ」という解答かいとうを不ふ正解せいかいにすべきかどうかが問題もんだいとなった。日本にっぽんの小学校しょうがっこうにおいて、1つぶんの数かず×いくつ分ぶんの順序じゅんじょで書かかれている式しきのみを正解せいかいとする採点さいてん方針ほうしんが散見さんけんされ、式しきを不ふ正解せいかいとし答こたえを正解せいかいとすることが見みられていた。このような事例じれいに対たいして、交換こうかん法則ほうそくが成なり立たつからどちらの順序じゅんじょでもよい、トランプ配くばりのように1こずつ渡わたした子こは6をひとつ分ぶん（1巡じゅん分ぶん）と考かんがえることもできるなどの批判ひはんが集中しゅうちゅうした。古ふるくは高木たかぎ貞治さだはるなどの書かいた教科書きょうかしょでも実質じっしつ的てきに「1つぶんの数かず×いくつ分ぶん」と同おなじしかたで掛かけ算ざんを「定義ていぎ」している。

世界せかい的てきには順序じゅんじょを不問ふもんにしているとの調査ちょうさ結果けっかもある。

歴史れきし的てき経緯けいい

文部省もんぶしょうは1951年ねん, 小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう算数さんすう科か編へん(試案しあん)昭和しょうわ26年ねん(1951)改訂かいてい版ばんにおいて

「一いち冊さつ5円えんのノートを，6冊さつ買かったら，いくら支払しはらえばよいでしょう。」という問題もんだいを解とくときには，「5円えん×6」として，その結果けっかを求もとめるのが普通ふつうである。ところが，この問題もんだいを，「ノートを6冊さつ買かいました。どれも1冊さつ5円えんでした。ぜんぶでいくら支払しはらったらよいでしょう。」とすると，「6×5=30(円えん)」として結果けっかを求もとめるこどもがでてくるであろう。

こどもが，このような誤あやまった解決かいけつをするのは，かけ算ざんの意味いみをひととおり理解りかいしているにしても，その理解りかいが形式けいしき的てきになっていることを示しめしているといえる。

問題もんだいが，どんな形式けいしきで出だされようとも また，いくつかの条件じょうけんがどんな順序じゅんじょで書かいてあろうとも，かけ算ざんを式しきで示しめすとすれば，(グループの大おおきさ)×(グループの個数こすう)=(量りょう全体ぜんたいの大おおきさ)であることが，こどもにじゅうぶん理解りかいされておらなければならない。この一般いっぱん化かがふじゅうぶんなために，6×5=30(円えん)というような式しきを書かくのである。

と記述きじゅつしたが、正式せいしきな学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうおよび学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつにはこのような記述きじゅつがなされることはなかった。

1951年ねん4月がつ16日にちに数学すうがく者しゃの遠山とおやま啓あきららを中心ちゅうしんに数学すうがく教育きょういく協議きょうぎ会かい（数すう教きょう協きょう）が結成けっせいされた。数かず教きょう協きょうは、かけ算ざんを4 × 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 のように累加るいかとして導入どうにゅうするのはよくないと主張しゅちょうした。累加るいかでは4 × 1/3のような分数ぶんすうのかけ算ざんが出でてきたときに説明せつめいが難むずかしくなるからである。 教育きょういく現場げんばにおいては「かけ算ざんは

1あたり量りょう × いくつ分ぶん

と立だて式しきするべきである」と唱となえた教師きょうしもおり、「『三さん羽わのウサギに耳みみはいくつあるでしょうか』というときに、『３×２』という式しきを立たてると、『三さん本ほん耳みみの兎うさぎが二に羽わいる』ことになってしまうでしょう？」などとして、遠山とおやま啓あきらおよび数すう教きょう協きょうと対立たいりつした。

1972年ねん1月がつ26日にちの朝日新聞あさひしんぶんによると、大阪おおさか府ふの小学校しょうがっこうで「6人にんに4個こずつミカンを配くばる」という問題もんだいが出題しゅつだいされたが、「6 × 4 = 24 こたえ24こ」という答案とうあんの答こたえにマルがつけられ、式しきにバツがつけられて「4 × 6」が正ただしいと指導しどうされたという。これに異議いぎをとなえ文部省もんぶしょうに質問しつもん状じょうを送おくる親おやも現あらわれ、かけ算ざんの順序じゅんじょの「正解せいかい」をめぐって論争ろんそうが起おこった。

1972年ねん、遠山とおやま啓あきらは、『科学かがく朝日あさひ』1972年ねん5月がつ号ごうで、4 × 6だけを正解せいかいとすることについては否定ひてい的てきな見解けんかいを示しめした。その理由りゆうは「6人にんに1個いっこずつミカンを配くばることを4回かい繰くり返かえすと、6個こずつのまとまりが4つあると考かんがえられるから」というものである。

1977年ねん、数学すうがく者しゃの森もり毅あつしは、『科学かがく朝日あさひ』に『数かずの現象げんしょう学がく』を連載れんさいし、5月がつ号ごうに「次元じげんを異ことにする3種しゅの乗法じょうほう」として出版しゅっぱんした中なかで、「大学だいがく入試にゅうしなどでは、『1人ひとりに1個いっこずつ配くばると6人にんに対たいしては6個こ必要ひつようになる。1人ひとり当あたり4個こにするためには、それを4回かい繰くり返かえさなければならない』というように書かかなければ大だい減点げんてんされる。6人にんを6個こ／回かいに、4個こ／人ひとを4回かいに転換てんかんするところを書かかないと、それぞれ1割わり程度ていど減点げんてん、わざわざ間接かんせつ的てきにマワリミチしたことで1割わりぐらい減点げんてん。」「日本にっぽんは『4の6倍ばい』式しきに4 × 6と書かくが、ヨーロッパでは『6倍ばいの4』式しきに6 × 4と書かく、日本にっぽんのほうが合理ごうり的てき」と主張しゅちょうした。

1984年ねん、数学すうがく者しゃの矢野やの健太郎けんたろうは、『おかしなおかしな数学すうがく者しゃたち』を出版しゅっぱんした。この本ほんで遠山とおやま啓あきらについての項こうで、名古屋なごやのラジオ局きょくから、名古屋なごやの小学校しょうがっこうで「ミカンを4つずつ6人にんの人ひとに配くばりたいと思おもう。ミカンは全部ぜんぶでいくつあればよいか」という問題もんだいに6 × 4 = 24と答こたえた子こどもがいて、教師きょうしはこれを0点てんにしたということを聞きかされ、意見いけんを求もとめられたのに対たいしてどちらでも良よいと答こたえたことを記しるしている。矢野やのは理由りゆう付づけを1時じ間あいだほどかけて考かんがえたが、一いち週間しゅうかん後ごに遠山とおやま啓あきらに話はなしたところ、遠山とおやま啓あきらはそう言いうように考かんがえる子こがときどきあることおよび、カード式しき配くばりとよんでいてもともと知しっていたというエピソードを述のべている。

1993年ねん、数学すうがく者しゃの伊藤いとう武広たけひろ、萩はぎ上うえ紘一こういち、原田はらだ実みのるは、小学生しょうがくせいに算数さんすうを教おしえる教師きょうしに整数せいすう環たまきZの代数だいすう的てき構造こうぞうなどの数学すうがく的てき素養そようが必要ひつようであるとする論文ろんぶんを出版しゅっぱんした。そのきっかけは、筆者ひっしゃらのうち一いち人にんの長男ちょうなんが2年生ねんせいの時とき、「3枚まいの皿さらにりんごが2個こずつのっている時とき全部ぜんぶでりんごが何なん個こあるか」という問題もんだいに対たいして「3 × 2 = 6」と解答かいとうしたところ担任たんにん教師きょうしが「答こたえの6は正ただしいけれども，式しきは3 × 2ではなく 2 × 3でなければならない」と指導しどうしたことである。その後ごの問答もんどうで、教師きょうしは「リンゴが2個こずつのっている皿さらが3枚まいあるから2個こ+2個こ+2個こ即すなわち2個こ × 3 = 6個こである。2+2+2は2の3倍ばい即すなわち2 × 3であって3の2倍ばい即すなわち3 × 2ではないこれを同数どうすう累加るいかという。」「2(リンゴの数かず)が被乗数ひじょうすう,3(皿さらの枚数まいすう)が乗数じょうすうでそれぞれちがう意味いみを持もっている(立場たちばが違ちがう)から2 × 3と 3 × 2は同おなじではない 」などの主張しゅちょうをしたことが報告ほうこくされている。

1994年ねん、心理しんり学者がくしゃの守まもり一いち雄ゆうは伊藤いとう武広たけひろら(1993)の論文ろんぶんについて、なぜ環たまきと加か群ぐんの知識ちしきが必要ひつような素養そようなのか示しめされていないと批判ひはんする論文ろんぶんを出版しゅっぱんした。このなかで、守まもり一いち雄ゆうは教師きょうしの対応たいおうは十分じゅうぶんだったと評価ひょうかしている。

2001年ねん7月がつ24日にち教育きょういく課程かてい部会ぶかい（第だい2回かい）にて上野うえの健けん爾なんじ（京都大きょうとだい学理がくり学がく研究けんきゅう科か教授きょうじゅ）は

特とくに今いまの教員きょういん免許めんきょ状じょうを取得しゅとくする課程かていにおいて、特とくに小学校しょうがっこう、中学校ちゅうがっこうにおいて、専せん門もんの課程かていの勉強べんきょうが少すくな過すぎると思おもうんです。

きのうも、私わたしの友人ゆうじんが広島ひろしま地方ちほうの新聞しんぶんの投書とうしょ欄らんを送おくってきたんですけれども、小学校しょうがっこうで、長方形ちょうほうけいの面積めんせきの計算けいさんをしなさいというテストが出でていて、式しきが△になって、答こたえが○になっていた。なぜ式しきが△になったかというと、学校がっこうでは、長方形ちょうほうけいの面積めんせきは縦たて×横よこだと教おしえたのに、その子こは横よこ×縦たてに書かいていたからだというんですね。でも、長方形ちょうほうけい、横よこ、縦たてというのは、ひっくり返かえせばどうでもなることですから、そんなことどうでもいいことですし、掛かけ算ざんは順番じゅんばんを変かえてもいいわけですからね。

皆みなさん、お笑わらいになるけれども、現実げんじつに起おこっていることなんです。私わたしの息子むすこの場合ばあいも、中学校ちゅうがっこうの幾何きかの問題もんだいで、わからないから聞きかれたことがありまして、息子むすこのノートを見みると、私わたしが言いったことと違ちがう書かき方かたがしてあるんですね。どうして、さっき言いったのと違ちがうのと聞きいたら、教科書きょうかしょではこう書かいてある。それは、「ゆえに」か、「よって」か、「したがって」かの言葉ことばの違ちがいなんです。だから、どう書かいても正ただしいのにその教科書きょうかしょどおりに書かいておかないと5点てん引ひかれるというんですね。

ばかげているんですけれども、これは先生せんせいが本当ほんとうにはわかっておらないから、自信じしんがなくて、つい教科書きょうかしょに書かいてあるものにしか○をあげられなくなってしまっているのだと思おもいます。そういうことを改善かいぜんするためにぜひ、何なんらかの対策たいさくを打うってほしいと思おもいます。

と述のべた。

2007年ねん、数学すうがく者しゃの岩永いわなが恭きょう雄ゆうは伊藤いとう武広たけひろら(1993)と守もり一いち雄ゆう(1994)の論文ろんぶんを再さい検討けんとうする論文ろんぶんを発表はっぴょうした。岩永いわながは教師きょうしの誤あやまりと断だんじるとともに、その原因げんいんを考察こうさつし、教科書きょうかしょおよび指導しどう書しょの記述きじゅつが不適切ふてきせつであることを指摘してきした。

2008年ねんの小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ算数さんすう編へんp147では

（長方形ちょうほうけいの面積めんせき）=（縦たて）×（横よこ）（もしくは（横よこ）×（縦たて））

と但ただし書がきが書かかれている。

『３×２だと、耳みみが３本ほん生はえたウサギが２羽わ、ということになるよ』と先生せんせい。

2008年ねん、京都きょうと大学だいがくの田中たなか耕治こうじは、作さく問とい法ほうによるパフォーマンス評価ひょうかの出題しゅつだい例れいとして「4×8＝32となるようなお話はなしをつくってください」を挙あげ、採点さいてん基準きじゅんの一ひとつに、「乗数じょうすうと被乗数ひじょうすうの意味いみが区別くべつされているか（とくに正比例せいひれい型がたでは「4」は「一いちあたり量りょう」，「8」は「いくつ分ぶん」と区別くべつされているか）」を示しめした。ここで正比例せいひれい型がたは「一いちあたり量りょう×いくつ分ぶん＝全体ぜんたい量りょう」で表あらわされる。

2011年ねん1月がつ15日にち 朝日新聞あさひしんぶん 夕刊ゆうかん 「花はなまる先生せんせい公開こうかい授業じゅぎょう」では、「3 × 2だと3本ほん耳みみのウサギが2羽わいることになる。」「2 × 8だと2本ほん足あしのタコが8ひきいることになる。」という授業じゅぎょうを肯定こうてい的てきにとりあげた。

2011年ねん5月がつ26日にち、算数さんすう教育きょういく史し家かの高橋たかはし誠まことは『かけ算ざんには順序じゅんじょがあるのか』を著あらわし、「指導しどう書しょは「式しき」と「計算けいさん」を区別くべつして扱あつかっており、「計算けいさん」では交換こうかん法則ほうそくが成なり立たつが「式しき」には順序じゅんじょに意味いみがあるので勝手かってに順序じゅんじょを変かえることはできないとしている」と指摘してきした。また、このような指導しどうに対たいしては以下いかのような批判ひはんがなされていると指摘してきした。

1. かけ算ざんには交換こうかん法則ほうそくが成なり立たつから、「いくら分ぶん × 1あたり量りょう」という順序じゅんじょで書かいてもよい。
2. 仮かりに「1あたり量りょう × いくら分ぶん」の順序じゅんじょで書かくとしても、どちらの数かずを「1あたり量りょう」としてもよい。
3. そもそも、かけ算ざんは「1あたり量りょう」と「いくら分ぶん」の積せきだけではない。 — 高橋たかはし誠まこと、『かけ算ざんには順序じゅんじょがあるのか』

高橋たかはしは、小学校しょうがっこうの算数さんすう教育きょういくに浸透しんとうしつつある、かけ算ざんの式しきには順序じゅんじょが存在そんざいするという指導しどう法ほうに警鐘けいしょうを鳴ならしている。本来ほんらい「正ただしい」式しきの順序じゅんじょとはかけ算ざんを教おしえる上うえでの単たんなる道具どうぐだったはずなのに、教師きょうしたちは「数学すうがく的てきにも算数さんすう的てきにも」根拠こんきょがあると信しんじ始はじめているようにみえるからである。

2012年ねん12月25日にち小林こばやし道正みちまさ『数かずとは何なにか』が発行はっこうされた。小林こばやし道正みちまさは本書ほんしょで (1あたり量りょう)×(いくつ分ぶん)=(全体ぜんたい量りょう)、(いくつ分ぶん)×(1あたり量りょう)=(全体ぜんたい量りょう) いずれでも良よいことを明示めいじ的てきに述のべる (p.44) とともに、特定とくていの順序じゅんじょで書かかなくてはならないと思おもっているひとが多おおいことについて困こまったことであると評価ひょうかした (p. 46)。

2014年ねん、青山学院大学あおやまがくいんだいがく教授きょうじゅの坪田つぼた耕三こうぞうは、九きゅう九きゅうの三さんの段だんの学習がくしゅうにおいて、「（一ひとつ分ぶん）×（いくつ分ぶん）＝（全体ぜんたい）の式しきの意味いみを確認かくにんしていきたい。」としたのち、「チューリップがたくさんありました。子こどもが7人にんいます。そこで，このチューリップを3本ほんずつくばったら，ちょうどなくなりました。チューリップは何なん本ほんあったのでしょう。」という文章ぶんしょう題だいでは、式しきの約束やくそくにそって「3×7」と書かくことを確認かくにんするよう主張しゅちょうした。

2014年ねん、志村しむら五郎ごろうは、『数学すうがくをいかに教おしえるか』のなかで掛かけ算ざんの順序じゅんじょの章しょうに4ページをさき、「結局けっきょくどちらでもよいのにどちらが正ただしいかを考かんがえさせるのは余計よけいなあるいは無駄むだなことを考かんがえさせているわけである」と指摘してきし、そんなことはやめるべきであると論ろんじた。

日本にっぽんにおけるかけ算ざんの順序じゅんじょ指導しどうの現状げんじょう

学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう・学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつの記述きじゅつ

学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうでは、乗法じょうほうの記号きごう「×」は乗法じょうほうの意味いみなどとともに第だい2学年がくねんで学習がくしゅうすることとなっている。

小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ算数さんすう編へんでは、× の左側ひだりがわに一ひとつ分ぶんの数かず（かけられる数かず、被乗数ひじょうすう）、右側みぎがわにいくつ分ぶんにあたる数かず（かける数かず、乗数じょうすう）を書かいている式しきが多おおく見みられる。いくつか例れいを示しめす。

第だい2学年がくねんでは、「乗数じょうすうが1増ふえれば積せきは被乗数ひじょうすう分ぶんだけ増ふえること」を活用かつようして、4 × 9 = 36から、4 × 10 = 40（36より4だけ増ふえる）などを求もとめる。数学すうがく的てきには「被乗数ひじょうすうが1増ふえれば積せきは乗数じょうすう分ぶんだけ増ふえること」も言いえるが、4 × 9 = 36から5 × 9 = 45を求もとめるといった事例じれいは書かかれていない。第だい2学年がくねんではこのほか、乗法じょうほうの式しきから場面ばめんや問題もんだいをつくる活動かつどうにおいて、3 × 4の式しきに対たいし、「プリンが3個こずつ入はいったパックが4パックあります。プリンは全部ぜんぶで幾いくつありますか。」という問題もんだいを例示れいじしている。「プリンが4個こずつ入はいったパックが3パックあります。プリンは全部ぜんぶで幾いくつありますか。」というような問題もんだいをつくる子こどもへの指導しどうについては、規定きていされていない。

第だい3学年がくねんでは、筆算ひっさんにおいて被乗数ひじょうすうと乗数じょうすうが区別くべつされる。23 × 45だと45が乗数じょうすうであり、これを45 = 40 + 5とみて、23 × 40と23 × 5に分わけて計算けいさんする。（注ちゅう：実際じっさいには23=20+3とみて、23×40=20×40+3×40、23×5=20×5+3×5と分解ぶんかいするので、結局けっきょく23×45=20×40+3×40+20×5+3×5となり、筆算ひっさんにおいても被乗数ひじょうすうと乗数じょうすうは事実じじつ上じょう全まったく区別くべつされないことがわかる。）

また同おなじく第だい3学年がくねんで除法じょほうが導入どうにゅうされるが、その際さいに除法じょほうの「意味いみ」には「等分とうぶん除じょと包含ほうがん除じょ」（#等分とうぶん除じょと包含ほうがん除じょを参照さんしょう）があるとして、それと乗法じょうほうを、包含ほうがん除じょは3 × □ = 12、等分とうぶん除じょは□ × 3 = 12である、などと関連付かんれんづけさせている。

高学年こうがくねんでは小数しょうすうの乗法じょうほうを学習がくしゅうするが、第だい4学年がくねんでは乗数じょうすうが整数せいすうである場合ばあいに限かぎられる。0.1 × 3ならば、0.1 + 0.1 + 0.1の意味いみである。第だい5学年がくねんでは乗数じょうすうが小数しょうすうとなる乗法じょうほうを学習がくしゅうし、「1 mの長ながさが80円えんの布ぬのを2.5 m買かったときの代金だいきん」は、80 × 2.5で表あらわされる。

言葉ことばの式しきについても、「1 mの重おもさ × 棒ぼうの長ながさ = 棒ぼうの重おもさ」「（単価たんか）×（個数こすう）=（代金だいきん）」と一貫いっかんしている。なお中学校ちゅうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ数学すうがく編へんでは、いくつかの言葉ことばの式しきと並ならんで「（値段ねだん）=（単価たんか）×（個数こすう）」が記しるされている。

しかし、場面ばめんに対応たいおうするかけ算ざんの式しきは、常つねに一ひとつというわけではない。第だい2学年がくねんでは、「12個このおはじきを工夫くふうして並ならべる」という活動かつどうにおいて、次つぎのようにおはじきを並ならべ、複数ふくすうの式しきを記載きさいしている。これは「一ひとつの数かずをほかの数かずの積せきとしてみる」ことを意図いとしたものである。

●●●●●●
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2×6 または6×2
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3×4 または4×3

第だい4学年がくねんの長方形ちょうほうけいの面積めんせきの公式こうしきでは、「（長方形ちょうほうけいの面積めんせき）=（縦たて）×（横よこ）（もしくは（横よこ）×（縦たて））」とある。

学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうは「教育きょういく課程かていの標準ひょうじゅん」「各かく教科きょうかで教おしえる内容ないよう」を定さだめたものであり、例示れいじとして片方かたがたの順序じゅんじょを示しめしているところはあっても、その片方かたがたの順序じゅんじょでのみ式しきを書かくことを要請ようせいする文ぶんは存在そんざいせず、他方たほうの順序じゅんじょを不ふ正解せいかいとすることもない。学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう・学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつに基もとづき教材きょうざいや授業じゅぎょう、テストとして具体ぐたい化かされていく中なかで、特定とくていの順序じゅんじょが選択せんたくされる。そのとき、逆ぎゃくの順序じゅんじょに書かかれた式しきを正解せいかいとするか不ふ正解せいかいとするかは様々さまざまである。

文部もんぶ科学かがく省しょう初等しょとう中等ちゅうとう教育きょういく局きょく教育きょういく課程かてい課かは中日新聞ちゅうにちしんぶんの取材しゅざいに答こたえて「かけ算ざんの意味いみを理解りかいさせるよう定さだめているが、順序じゅんじょについては国くにが定さだめるものではない」と述のべるとともに、指導しどう要領ようりょう解説かいせつの「10 × 4は、10が四よっつあることから、40になる」を根拠こんきょに「順序じゅんじょに意味いみがある」とする解釈かいしゃくについては「深ふかく考かんがえすぎだと思おもう」と否定ひていしている。

教科書きょうかしょ・教科書きょうかしょ指導しどう書しょの記述きじゅつ

日本にっぽんの学校がっこう教育きょういくでは、小学校しょうがっこう2年生ねんせいの算数さんすうでかけ算ざんの導入どうにゅうが行おこなわれる。小学校しょうがっこう2年生ねんせいの算数さんすう教科書きょうかしょでは、

1つぶんの数かず × いくつ分ぶん = ぜんぶの数かず

として、かけ算ざんの導入どうにゅうがなされる。
(この節ふしの説明せつめいでは、フォントの都合つごう上じょう、xと×の見分みわけがつきにくい部分ぶぶんがあるのでxをm、yをnに置おき換かえる。)

例たとえば、

☆1(ア) 1 冊さつ m 円えんのノートを8 冊さつ買かいます。代金だいきんをn 円えんとしてmとnの関係かんけいを式しきに表あらわしましょう。 — 啓けい林りん館かん 小しょう6算数さんすう教科書きょうかしょ『わくわく算数さんすう6上じょう』 p.58

という問題もんだいの正解せいかいは「m × 8 = n」と教科書きょうかしょに示しめされている。

この教科書きょうかしょの指導しどう書しょでは、

☆1の(ア)でいえば、m × 8 = n でも n = m × 8 でも正ただしいが、「1冊さつ m 円えんのノートを8 冊さつ買かい、代金だいきんがn 円えんであるときの関係かんけい式しき」という文章ぶんしょうの流ながれからいけば、m × 8 = nを推奨すいしょうしたい。 ただし、m × 8 が 8 × m になっている場合ばあいは、「8 円えんのノートがm 冊さつ」という意味いみになってしまうので問題もんだい文ぶんとは合あわない。常つねに式しきの意味いみをしっかりと意識いしきさせることが大事だいじである。 — 啓けい林りん館かん 小しょう6算数さんすう教科書きょうかしょ『わくわく算数さんすう6上じょう』指導しどう書しょ朱しゅ註 p.58

と説明せつめいされている。ただし、これは日本語にほんごの構文こうぶんに従したがって式しきを作つくった場合ばあいであって、例たとえば、関係かんけい代名詞だいめいしを使つかった英語えいごの構文こうぶんに従したがって式しきを立たてると、順序じゅんじょは逆ぎゃくになる。さらに、

1個いっこ m 円えんの弁当べんとうを3 個こまとめて買かうと、80 円えん安やすくなります。
このときの代金だいきんを表あらわしている式しきは、次つぎのどれですか。

(あ) m×3+80

(い) 3×m+80

(う) m×3-80

(え) 3×m-80

という問題もんだいがあり、（う）のみを正解せいかいとしている。このように、現行げんこうの啓けい林りん館かん教科書きょうかしょでは小学しょうがく6年ねんに至いたるまで「特定とくていの順序じゅんじょで表あらわされる式しきのみが正ただしい」とし、現場げんば教員きょういん向むけのマニュアルでも順序じゅんじょの逆ぎゃくになった式しきは意味いみが文ぶんと合あわないとしている。

小学校しょうがっこう算数さんすう教材きょうざいでは解答かいとう欄らんが「式しき」と「答こたえ」に分わかれているのが通例つうれいである。教員きょういんは、指導しどう書しょに従したがって、「式しき」の欄らんを見みて、児童じどうが問題もんだい文ぶんの読よみ取とりを正ただしくできているかどうかを採点さいてんすることになる。正まさしく読よみ取とりができていないとされる式しきの書かき方かたをしている児童じどうは、答こたえが正ただしくても「式しき」が正ただしくないので不ふ正解せいかいだとされることがある。このような場合ばあいは、「式しき」にバツをつけて「答こたえ」にマルをつけるのが通例つうれいである。

中日新聞ちゅうにちしんぶんの取材しゅざいに対たいして、東京書籍とうきょうしょせきは、文章ぶんしょう題だいの意味いみを理解りかいしているかを判別はんべつする手てがかりとして式しきの順序じゅんじょを見みるといい、また、指導しどう要領ようりょう解説かいせつに「10 × 4は、10が四よっつあることから、40になる」といった記述きじゅつがあることを根拠こんきょに「順序じゅんじょに意味いみがある」と主張しゅちょうした。

児童じどうの理解りかい

伊藤いとう宏ひろしの報告ほうこくによると、 「ここに4まいのふくろがあります。かずや君きみが，1まいのふくろにりんごを3こずつ入いれました。りんごは，ぜんぶでなんこありますか」 という設問せつもんに対たいして、小学しょうがく3年生ねんせい34名めい中ちゅう、8人にんが3 × 4, 1人ひとりが3+3+3+3, 21人にんが4 × 3と答こたえ、その他たの解答かいとうが4人にんだった。 また、絵えをかかせたところ

どうして，そのようなしきになったか，絵えに書かいて教おしえてください。

• 式しきが正答せいとうで，絵えにも正まさしく表あらわすことができた児童じどう（8名めい）
• 式しきが誤あやま答こたえでも，絵えには正まさしく表あらわすことができた児童じどう（21名めい）
• 式しきが正答せいとうで，絵えには正まさしく表あらわすことができなかった児童じどう（1名めい）
• 式しきが誤あやま答こたえで，絵えにも正まさしく表あらわすことができなかった児童じどう（4名めい）

という結果けっかを得えた。ここで、4 × 3は誤あやま答こたえとみなされている。

また、一旦いったん、絵えにもとづいて式しきと答こたえを書かくことができるようになった児童じどうが、かけ算ざんの順序じゅんじょを指導しどうされた後のち、文章ぶんしょう題だいが解とけないと言いい出だし、式しきを書かくのを躊躇ちゅうちょするようになった例れいが報告ほうこくされている。

「正ただしい順序じゅんじょ」を書かかせるための指導しどう

児童じどうに「正ただしい」順序じゅんじょで式しきを書かかせるのは難むずかしいことであり、そのために、いろいろな方法ほうほうが開発かいはつ実践じっせんされている。

式しきとあう絵えを選えらんで線せんで結むすびなさい…

たとえば、田中たなか博史ひろふみは文章ぶんしょうと絵えを線せんで結むすぶことと絵えと式しきを線せんで結むすぶことを練習れんしゅうするドリルを開発かいはつした。このドリルでは、たとえば、「3 × 2」と「3個このさらに2個こずつリンゴがのっている絵え」を結むすぶと誤あやま答こたえであるということになる。

ほかに

「3 × 2は3本ほん耳みみのウサギが2羽わ、2 × 8は2本ほん足あしのタコが8匹ひきいるという意味いみになります。」などと指導しどうを行おこなう。

絵えを描えがかせて、絵えのなかでひとかたまりになっているものを「1つぶんの数かず」にするように指示しじする。

「サンドイッチの法則ほうそく」という特殊とくしゅな規約きやくを遵守じゅんしゅするように指示しじする。

といった「正ただしい順序じゅんじょ」指導しどうが展開てんかいされる。

たとえば「3人にんに4個こずつミカン」の場合ばあい、絵えを描えがかせると、各自かくじが4個こずつミカンを持もっていて、絵えのなかでミカン4個こがひとかたまりになっているので、4を「1つぶんの数かず」として、4 × 3と「立だて式しき」しなければならない。

「100円えんのノートを8冊さつ」の場合ばあいだと、単位たんい（助数詞じょすうし）に注目ちゅうもくして 円えん × 冊さつ = 円えん のようにサンドイッチの形かたちにするのが正ただしく、100 × 8 = 800 が正解せいかいとされる。このような「立だて式しき」のしかたをサンドイッチの法則ほうそくとよぶ。

「かけ算ざんの正ただしい順序じゅんじょ」に対たいする批判ひはん

交換こうかん法則ほうそくを満みたすので、どの順序じゅんじょで書かいても不ふ正解せいかいにすべきでない

表おもて形式けいしき（アレイ図ず）に並ならべたみかん

答案とうあんに6×4=24という式しきを書かいてぺけをつけられたある児童じどうの父兄ふけいは、「6×4=4×6というのは一般いっぱん的てきな常識じょうしきであるし、数学すうがく上じょう、交換こうかん法則ほうそくにもとづく真理しんりでもある」と指摘してきした。 — 朝日新聞あさひしんぶん、1972年ねん1月がつ26日にち

「6人にんのこどもに、1人ひとり4こずつみかんをあたえたい」というかけ算ざんの問題もんだいにおいて、交換こうかん法則ほうそくから6×4は4×6は同おなじ値ちになるため、不ふ正解せいかいにすべきでないという主張しゅちょうがある。

このかけ算ざんの問題もんだいには交換こうかん法則ほうそくが適用てきようできる。理由りゆうの１ひとつは、この問題もんだいを解とこうとしたときにイメージをするために表おもて形式けいしき（アレイ図ず）に並ならべて描えがいた場合ばあい、縦たてから始はじめる式しき（6×4）も横よこから始はじめる式しき（4×6）も図ずから読よみ取とれ、この縦たてと横よこの対等たいとう性せいは交換こうかん法則ほうそくの前提ぜんていであるからである。

１ひとつぶんの数かずを決きめつけるのはよくない

4つずつ配くばるか 6つずつ配くばるかによって１ひとつぶんの数かずが変かわる。

みかんを配くばるのに，トランプを配くばるときのやり方かたで配くばると，1回分かいぶんが6こ，それを4回かいくばるのだから，それを思おもい浮うかべる子こどもは，むしろ，6×4=24 という方式ほうしきをたてるほうが合理ごうり的てきだといえる。 — 遠山とおやま啓あきら、量りょうとは何なにか I, p116

「6人にんのこどもに、1人ひとり4こずつみかんをあたえたい」というかけ算ざんの問題もんだいにおいて、「1つぶんの数かず」が1人ひとりに配くばる4こであるとは限かぎらない。

トランプ配くばりのように6人にんに1こずつみかんを配くばる場合ばあい、1巡じゅんで配くばる6こを「1つぶんの数かず」と考かんがえてもおかしくない。 それを 4巡じゅんするという式しき「6×4=24」は、1つぶんの数かず × いくつ分ぶん = ぜんぶの数かずという数学すうがく的てき思考しこうに基もとづいたかけ算ざんになる。

出題しゅつだい者しゃが恣意しい的てきに想定そうていする「1つぶんの数かず」は、むしろ正ただしい数学すうがく的てき思考しこうに対たいする阻害そがい要因よういんともなりうることから、解答かいとうの正せい不正ふせいに影響えいきょうすべきではない。

順序じゅんじょでは文章ぶんしょう題だいの意味いみを理解りかいしているかを判別はんべつできない

かけ算ざんの順序じゅんじょで「読よみ取とり」が正ただしくできているかあるいは「文章ぶんしょう題だいの意味いみを理解りかいしているか」を判定はんていするという考かんがえ方かたは不合理ふごうりである。 伊藤いとう宏ひろしの報告ほうこくのように絵えを描えがかせた場合ばあい、絵えを見みることによって児童じどうが正まさしく問題もんだい文ぶんを読よみ取とっているか判断はんだんできる。その結果けっか、小学しょうがく3年生ねんせいにおいて、順序じゅんじょの読よみ取とりが適切てきせつにできていても問題もんだいに登場とうじょうした順じゅんに書かく児童じどうのほうが多おおいし、「正ただしい順序じゅんじょ」でない式しきを書かいた児童じどうでも適切てきせつに読よみ取とりができていることが報告ほうこくされている。

また、円えん × 冊さつ = 円えん のようにサンドイッチの形かたちにするのが正ただしいなどと指導しどうすれば、数値すうちと単位たんい（助数詞じょすうし）を見みれば機械きかい的てきに「正ただしい立だて式しき」ができてしまうことになる。問題もんだい文ぶんを正まさしく読よみ取とらせるという当初とうしょの目的もくてきに逆行ぎゃっこうするものである。

このように、かけ算ざんの順序じゅんじょで「読よみ取とり」が正ただしくできているか判定はんていするという考かんがえ方かたは不合理ふごうりであり、説得せっとく力りょくをもたない。

テストは教育きょういくの一いち手段しゅだんであり、不ふ正解せいかいにして終おわらせるべきではない

これ（朝日新聞あさひしんぶん、1972年ねん1月がつ26日にち）を読よんでまず感かんじたことは、（中略ちゅうりゃく）テストは教育きょういくの一いち手段しゅだんであって、その目的もくてきではない。（中略ちゅうりゃく）６×４と書かいた子こどもがいたら、バツをつけるまえに（中略ちゅうりゃく）いいかわるいかを討議とうぎさせるといいだろう。そうすると、その討議とうぎの過程かていで、その子こがまちがっていたら、なぜ誤あやまりとされたかを納得なっとくするだろう。また、４×６と書かいた子こどもも、その子この説明せつめいをきいて６×４の考かんがえ方かたがわかって、賛成さんせいするかもしれない。（中略ちゅうりゃく）バツをつけて終おわりにしたら、せっかくのチャンスをのがすことになってしまう。 — 遠山とおやま啓あきら、量りょうとは何なにか I, p114

一見いっけん正解せいかいと異ことなる解答かいとうを挙あげて討議とうぎさせれば、なぜ誤あやまりかを知しることや、正ただしい考かんがえ方かたをいろいろ知しることができ、教育きょういくの1つの手段しゅだんになるので、かけ算ざんの順序じゅんじょが異ことなっていても正解せいかいの可能かのう性せいがあるテストは、すぐに不ふ正解せいかいにして終おわらせるべきではないという主張しゅちょうである。

この主張しゅちょうでは、正解せいかいかどうかは討議とうぎの後のちで明あきらかになるのだが、討議とうぎに入はいるまでの採点さいてん方法ほうほうや、正まさしく理解りかいしているかどうかを調しらべる目的もくてきのテストの扱あつかいについては言及げんきゅうされていない（テストは点てんを取とることが目的もくてきではないことは言及げんきゅうされている） 。しかし、解答かいとうに書かかれたかけ算ざんの順序じゅんじょが異ことなるかどうかだけで、かけ算ざんの理解りかいが正ただしいかどうかを調しらべることができないことは示しめされている。

多面ためん的てきにものを見みる力ちからや論理ろんり的てきに考かんがえる力ちからを育そだてることに悪影響あくえいきょう

必かならずしも「1つぶんの数かず × いくつ分ぶん = ぜんぶの数かず」というパターンにあてはめて考かんがえなければならないわけではない。

「3人にんにそれぞれ4個こずつミカンを配くばった。ミカンは全部ぜんぶで何なん個こか」という問題もんだいは、長方形ちょうほうけいの形かたちに並ならべて置おいてあるミカンの数かずを求もとめる問題もんだいと同おなじものであるとみなせる。このように考かんがえた場合ばあい、「3 × 4」「4 × 3」いずれも正ただしいことは自明じめいである。また、かけ算ざんの式しきを「1つぶんの数かず × いくつ分ぶん = ぜんぶの数かず」ではなく「いくつ分ぶん × 1つぶんの数かず = ぜんぶの数かず」と解釈かいしゃくすることもできる。

「3 × 2 で3本ほん耳みみのウサギが2羽わ、2 × 8 で2本ほん足あしのタコが8匹ひきという意味いみになります。」という解釈かいしゃくは不適切ふてきせつである。

「かけ算ざんの正ただしい順序じゅんじょ」を推進すいしん・擁護ようごする主張しゅちょう

「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順序じゅんじょで書かく約束やくそくになっている

かけ算ざんの式しきは「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順じゅんに書かく約束やくそくになっているので、問題もんだい文ぶんから正まさしく読よみ取とって、そのとおりに式しきに書かけるようにしましょう。 —  Benesse 小学生しょうがくせいの学習がくしゅうQ&A

かけ算ざんの式しきは「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」であると教おしえているからその順序じゅんじょに書かく約束やくそくになっているので、×の左右さゆうの数かずが逆ぎゃくになった式しきは意味いみが異ことなり、不ふ正解せいかいであるという主張しゅちょうである。

「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順序じゅんじょで書かく約束やくそくがあれば、1つ分ぶんの数すうといくつ分ぶんがそれぞれ正ただしく読よみ取とれているかどうかを、問題もんだい文ぶんと式しきの順序じゅんじょをあえて逆ぎゃくにした問題もんだいによって確認かくにんできる。

かけ算ざんの数字すうじと文章ぶんしょうに表あらわれる数字すうじをあえて逆ぎゃくにした問題もんだい文ぶん

「一いち冊さつ5円えんのノートを，6冊さつ買かったら，いくら支払しはらえばよいでしょう。」という問題もんだいを解とくときには，「5円えん×6」として，その結果けっかを求もとめるのが普通ふつうである。ところが，この問題もんだいを，「ノートを6冊さつ買かいました。どれも1冊さつ5円えんでした。ぜんぶでいくら支払しはらったらよいでしょう。」とすると，「6×5＝30(円えん)」として結果けっかを求もとめるこどもがでてくるであろう。 こどもが，このような誤あやまった解決かいけつをするのは，（以下いか略りゃく） — 文部省もんぶしょう、1951年ねん

田中たなか博史ひろふみは、式しきを「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順序じゅんじょで書かき、逆ぎゃくの順序じゅんじょの式しきは意味いみが異ことなることを明確めいかくにした、九きゅう九きゅうカルタ という算数さんすう教材きょうざいを開発かいはつした。

「5 × 8」
（読よみ札ふだ）1はこに5こ入いりのチョコレートが8はこあります。
「8 × 5」
（読よみ札ふだ）チョコレートが5はこあります。1はこは8こ入いりです。

カードの答こたえの数かずを見みて5 × 8の答こたえを取とろうとすると、これまでは40の答こたえが2まいあって、どちらの式しきかわかりませんでした。このカードなら数かずの横よこに文章ぶんしょう題だいも書かいてありますので、それを読よみ取とることにより、判別はんべつすることができます。 — 田中たなか博史ひろふみ、2011年ねん

「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順序じゅんじょで書かく約束やくそくがあるという擁護ようご派はの主張しゅちょうは、戦後せんごすぐの算数さんすう指導しどうから見みられ、現在げんざいにおいても根強ねづよい。 1951年ねん 小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう算数さんすう科か編へん(試案しあん)、数学すうがく教育きょういく協議きょうぎ会かい、1972年ねん 大阪おおさか府ふの小学校しょうがっこう、1977年ねん 森もり毅あつし、1993年ねん 伊藤いとう武広たけひろ、萩はぎ上うえ紘一こういち、原田はらだ実みのる、2008年ねん 田中たなか耕治こうじ、2011年ねん 守屋もりや誠司せいじ、田中たなか博史ひろふみ、2014年ねん 坪田つぼた耕三こうぞう。 詳くわしくは『#かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだいの経緯けいい』の章しょうを参照さんしょうのこと。

「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」の順序じゅんじょで書かく方ほうが合理ごうり的てきである

日本にっぽんは「4の6倍ばい」式しきに4×6と書かくが，欧米おうべいでは「6倍ばいの4」式しきに6×4と書かく．これは（中略ちゅうりゃく）言語げんご習慣しゅうかんから来きている．ただし，日本にっぽん式しきの方ほうが合理ごうり的てきというのが世界せかいの相場そうば（中略ちゅうりゃく）「4の6倍ばい」式しきに操作そうさをあとから書かく日本にっぽん式しきが便利べんりになる．最近さいきんのコンピューター言語げんごはこちらが便利べんりだし，欧米おうべい語ごでヨコ書がきを左ひだりから右みぎに書かいているときも，6xと逆行ぎゃっこうするよりも，x6と続つづける方ほうがやりやすい． —  森もり毅あつし 、 数かずの現象げんしょう学がく p67,p76

かけ算ざんは、「1つ分ぶんの数すう」×「いくつ分ぶん」のように、操作そうさ内容ないようである乗数じょうすうを後のちに書かく方ほうが合理ごうり的てきであるとの判断はんだんが世界せかい的てきに見みて多おおい。 なお、乗算じょうざん における被乗数ひじょうすうの定義ていぎは掛かけられる方ほうの数かず（1つ分ぶんの数すう）、乗数じょうすうの定義ていぎは掛かける方ほうの数かず（いくつ分ぶん）である。

英文えいぶん式しきは操作そうさと被ひ操作そうさの順序じゅんじょが加算かさん減算げんざんのときと異ことなる

乗数じょうすうを右みぎに書かくと、四則しそく演算えんざんのすべてが 操作そうさされる数かず、操作そうさする数かず の順じゅんに統一とういつでき合理ごうり的てきである。欧米おうべいでは「6×」の書かき方かたも普及ふきゅうしているが、2を引ひくひき算ざんは「−2」のように書かき、演算えんざんによって数字すうじと記号きごうの位置いち関係かんけいが逆ぎゃくである。

電卓でんたくで4を6倍ばいする場合ばあい、4、×、6、＝ の順じゅんに押おしても、6、×、4、＝ の順じゅんに押おしても正ただしい計算けいさん結果けっかは表示ひょうじされるが、6倍ばいした後のちに更さらに2倍ばいする場合ばあい、続つづけて ×、2、＝ の順じゅんに押おすしかない。 逆ぎゃくポーランド記法きほうで行おこなう一部いちぶの電卓でんたく（HP-15Cなど）では、4、Enter、6、× の順じゅんに押おした後のち、2、× の順じゅんに押おすことができるが、四則しそく演算えんざんすべてが逆ぎゃくポーランド記法きほうになるため、更さらに3を引ひく場合ばあい、3、－ の順じゅんに押おさなければならない。 四則しそく演算えんざんのうちかけ算ざんだけ押おす順序じゅんじょが変かわる電卓でんたくは存在そんざいしない。

プログラミング言語げんごは、被乗数ひじょうすうと乗数じょうすうの順序じゅんじょにこだわりはない。 変数へんすうaを6倍ばいした値ねを表あらわす式しきは、a * 6 でも 6 * a でも記述きじゅつできる。 変数へんすう a は数値すうちだけでなく文字もじ列れつにできる言語げんご（Pythonなど）もあり、たとえば "W"*3 や 3*"W" の評価ひょうか結果けっかは "WWW" になる。World Wide Web Consortiumの略称りゃくしょうであるW3C乗数じょうすうが右みぎにある。Rubyは 3*"W" と書かけないが、これは文字もじ列れつのクラスに * 演算えんざんのメソッドがあり、数値すうちのクラスに文字もじ列れつの引数ひきすうを持もつ * 演算えんざんのメソッドがないためである。 クラス（オブジェクト）を被乗数ひじょうすう、メソッドを乗数じょうすうと見みた場合ばあい、被乗数ひじょうすう→乗数じょうすうの順序じゅんじょがあると見みることもできる。 変数へんすう a を6倍ばいする（その結果けっかをまた変数へんすう a に戻もどす）式しきは、a *= 6 のように乗数じょうすうを右みぎに記述きじゅつすることになる。

なお、CPU等とうの内部ないぶ演算えんざん処理しょり（機械きかい語ごやアセンブリ言語げんご）では被乗数ひじょうすうと乗数じょうすうの順序じゅんじょが明確めいかくに区別くべつされる。両者りょうしゃを意識いしきして乗算じょうざん命令めいれいを発行はっこうしないとプログラマーの意図いとと異ことなるバグや無駄むだな処理しょりの増加ぞうかにつながる。

その他たの推進すいしん・擁護ようごする主張しゅちょう

兵庫教育大学ひょうごきょういくだいがく大学院だいがくいん教授きょうじゅ 加藤かとう明あきら ： 児童じどうにかけ算ざんをどのような場面ばめんに使つかうのかを理解りかいさせるためには、かけ算ざんの順序じゅんじょに意味いみがあるとすべき。

筑波大学つくばだいがく附属ふぞく小学校しょうがっこう算数さんすう研究けんきゅう部ぶ・共きょう愛あい学園がくえん大学だいがく前橋まえばし国際こくさい大学だいがく講師こうし 田中たなか博史ひろふみ ： 絵えを描えがくことに飽あきてきた子こどもは、大人おとなに指示しじされなくても簡略かんりゃく化かした図ずを描えがくようになる。これは良よいが、かけ算ざんの順序じゅんじょをまもらないのは認みとめられない。

「なぞって絵えを描えがきましょう」

また、「かけ算ざんの順序じゅんじょが逆ぎゃくになっているのは、かけ算ざんの意味いみを理解りかいしていないからであり、かけ算ざんの意味いみを理解りかいしていないと、わり算ざんを理解りかいできない。」などとして、「かけ算ざんの正ただしい順序じゅんじょ」の正ただしさを主張しゅちょうしたりする。これは、以下いかのような論法ろんぽうである。

1. ただ単たんに「わり算ざんはかけ算ざんの逆算ぎゃくさんだ」と指導しどうするだけでは、じゅうぶんな理解りかいを得えられない。
2. なぜならば、わり算ざんには、「12個このミカンを3人にんで分わけると、1人ひとり何なん個こもらえるか」（等分とうぶん除じょ）というパターンと「12個このミカンを3個こずつ分わけると、ミカンをもらえるのは何人なんにんか」（包含ほうがん除じょ）というパターンがある。
3. 同おなじわり算ざんとよばれているものなのに出題しゅつだいパターンが2つあるので、ただ単たんに「わり算ざんはかけ算ざんの逆算ぎゃくさんだ」と指導しどうするだけでは、じゅうぶんな理解りかいを得えられない。
4. それゆえ、かけ算ざんの学習がくしゅうのときに、何なん個こでひとかたまりになっているか・かたまりがいくつあるかを意識いしきして、問題もんだい文ぶんの読よみ取とりをさせる必要ひつようがある。

このように、「かけ算ざんの順序じゅんじょに意味いみをもたせることによって、読よみ取とりが正ただしくできているか判断はんだんできる。」という考かんがえにもとづいて、「問題もんだい文ぶんの読よみ取とりをしてから立だて式しきするように指導しどうしないとただ計算けいさんができるだけで応用おうよう問題もんだいに対応たいおうできなくなる。」「わり算ざんを理解りかいできなくなる。」などという主張しゅちょうがなされ、かけ算ざんの順序じゅんじょにこだわった指導しどうが展開てんかいされている。

前ぜん国学院大学栃木短期大学こくがくいんだいがくとちぎたんきだいがくの正木まさき孝昌たかまさは、問題もんだいの答こたえを求もとめるには，どちらの順序じゅんじょでもどちらでもいいにもかかわらず、「式しきには，その情景じょうけいを表現ひょうげんするという機能きのうがある。その機能きのうを大切たいせつにするためには」特定とくていの順序じゅんじょで書かかなければならないと主張しゅちょうした。

筑波大学つくばだいがく附属ふぞく小学校しょうがっこう算数さんすう研究けんきゅう部ぶの中心ちゅうしんメンバーの田中たなか博史ひろふみは、意味いみづけのためにかけ算ざんの式しきの数値すうちに順序じゅんじょ性せいを求もとめるのが当あたり前まえだという考かんがえを示しめした。また、割わり算ざんの初期しょき指導しどうまで等分とうぶん除じょ、包含ほうがん除じょの理解りかいの際さいに順序じゅんじょが決きまっているほうが児童じどうにもわかりやすいと主張しゅちょうした。

さらに、田中たなか博史ひろふみは、

「船ふねが5そうあります。1そうに4人にんずつ乗のることにします。」このような問題もんだい文ぶんになっていると子こどもたちは必かならず式しきを間違まちがえますよね。「5 × 4」と書かきます。今いままで文ぶんの中なかに出でてきた順番じゅんばんに数かずを使つかって式しきを書かくだけで、ずっと丸まるをもらえていた子こたちは、必かならずこういう問題もんだいで引ひっかかります。
ところが、この前まえ2年生ねんせいの子こに聞きいてびっくりしたことなのですが、「そろそろ式しきは反対はんたいに書かかなきゃいけないころだ」と言いうんです（笑）。「何なんで？」と聞きくと、「プリントは、後ごの方ほうになるとそういうふうにしないとバツになることが多おおい」と言いうのです。そういえばそうですよね。まとめのテストの文章ぶんしょう題だいの終おわりは、必かならず式しきが逆ぎゃくになる場合ばあいの問題もんだいが多おおいのです。まあ、統計とうけい的てきにみる力ちからは素晴すばらしいものがあるかもしれませんが（笑）、それではやはり意味いみがありません。

そこで、この文ぶんの後のちに「何人なんにん乗のることができますか」と聞きくのを一度いちどやめて、絵えにしてみようと指示しじをします。絵えにすることでイメージ化かさせるのです。文章ぶんしょう題だいは読よんだら絵えにさせます。絵えにするところが考かんがえるところです。正まさしく絵えが描えがけたら、文章ぶんしょうを読よみ取とっていることになります。読よみ取とった絵えを見みて式しきをつくるところは、教おしえていいと思おもいます。「この場面ばめんを、このような式しきに書かくんだよ。」と教おしえます。算数さんすうの式しきは外国がいこく語ごと一緒いっしょで、子こどもにとっては新あたらしい言葉ことばですから、教おしえなければいけません。 — 田中たなか博史ひろふみ、東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ プレミアム講座こうざライブ 田中たなか博史ひろふみの算数さんすう授業じゅぎょうのつくり方かた p62

と述のべ、文章ぶんしょう題だいの内容ないようを正まさしく絵えに描えがければ読よみ取とりができていると判断はんだんできるが、それだけでは不十分ふじゅうぶんで「かけ算ざんの正ただしい順序じゅんじょ」をまもらないのは間違まちがいであるとした。その理由りゆうとして、「算数さんすうの式しきは外国がいこく語ごと一緒いっしょで、子こどもにとっては新あたらしい言葉ことばですから、教おしえなければいけません。」と述のべ、「文章ぶんしょう題だいの内容ないようを式しきに翻訳ほんやくする」という考かんがえ方かたを支持しじした。

そのうえで、「抽象ちゅうしょう化か」については、以下いかのような見解けんかいを示しめした。

「子こどもが大作たいさくの絵えを描えがき、いつまでたっても抽象ちゅうしょう化かしません」と言いうから、「本当ほんとうにたくさん絵えを描えがかせていますか」と私わたしがき返きかえしたところ、それほどたくさんは描えがかせていないのです。文章ぶんしょう題だいを読よんでは絵えに描えがく。たくさん描えがかせる。それだけでいいんです。式しきや、答こたえを求もとめさせないで、お話はなしを読よんだら絵えに描えがくことをいっぱいやらせると、子こどもはそのうちに飽あきてきます。 — 田中たなか博史ひろふみ、東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ プレミアム講座こうざライブ 田中たなか博史ひろふみの算数さんすう授業じゅぎょうのつくり方かた p62

絵えを描えがくことに飽あきてきた子こどもは、大人おとなに指示しじされなくても、文章ぶんしょう題だいの内容ないようを表あらわす簡略かんりゃく化かした図ずを描えがくようになり、抽象ちゅうしょう化かして考かんがえるようになるという。しかし、

このように描えがいたのに、もし式しきを「5 × 4」と書かいたとすると、この子こは読よみ取とりができないのではなくて、式しきの意味いみを間違まちがえて覚おぼえているだけとなります。治療ちりょうするところが変かわりますよね。

式しきを「5 × 4」と書かいた子こどもに「ちゃんと文章ぶんしょうを読よんでごらん」といくら指導しどうしてもだめです。この子こは逆ぎゃくに覚おぼえているわけですから。絵えが図ずにできたら、その後ごで算数さんすうの言葉ことばに表あらわし直なおして「4 × 5」と書かくんだよと、ここは確認かくにんしていいところです。「こういう絵えのことを4 × 5と言いうんだよ」と教おしえるのです。 — 田中たなか博史ひろふみ、東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ プレミアム講座こうざライブ 田中たなか博史ひろふみの算数さんすう授業じゅぎょうのつくり方かた p62

として、かけ算ざんの式しきには具体ぐたい的てきな状況じょうきょうを表あらわす意味いみがあるので正ただしい順序じゅんじょがあるという考かんがえを示しめし、正ただしい順序じゅんじょに従したがわない子こどもは治療ちりょうしなければならないと主張しゅちょうした。

ディポール大学だいがく教育きょういく学部がくぶの高橋たかはし昭彦あきひこは、かけ算ざんの式しきにおいて特定とくていの順序じゅんじょのみが正ただしいという考かんがえを前提ぜんていに、どちらでもよいと考かんがえる先生せんせい・学生がくせいが多おおいアメリカの教育きょういくレベルを低ひくく評価ひょうかする考かんがえを示しめした。

等分とうぶん除じょと包含ほうがん除じょ

かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだいと関連かんれんし、除法じょほうについて初等しょとう的てきな教育きょういく手法しゅほうとして、（整数せいすうの）除法じょほうの「意味いみ」として等分とうぶん除じょと包含ほうがん除じょの2種類しゅるいに分類ぶんるいし導入どうにゅうをはかる、というものがある。ある量りょうが「基準きじゅんとなる量りょう」の「幾いくつ分ぶん」に除じょされるかを考かんがえるとき、「基準きじゅんとなる量りょう」を求もとめるのが等分とうぶん除じょ、「幾いくつ分ぶん」になるかを求もとめるのが包含ほうがん除じょである。

等分とうぶん除じょと包含ほうがん除じょについて東京書籍とうきょうしょせき算数さんすう教科書きょうかしょの著者ちょしゃの1人ひとり、加藤かとう明あきら（兵庫教育大学ひょうごきょういくだいがく大学院だいがくいん教授きょうじゅ）は、

「2年ねん かけ算ざん」で述のべたように、「3×4」の式しきの意味いみは、図ずのように「3個この集あつまり」が「4つ分ぶん」あること、つまり「同おなじ数すうずつの集あつまり」が「いくつ分ぶん」かあるときに、全体ぜんたいの個数こすうを求もとめる計算けいさんがかけ算ざんでした。数学すうがく的てきにはたし算ざんの逆算ぎゃくさんがひき算ざんであり、かけ算ざんの逆算ぎゃくさんがわり算ざんです。したがって、わり算ざんとは、かけ算ざんの式しきの意味いみの「同おなじ数すうずつ」と、「いくつ分ぶん」を求もとめるときに使つかう演算えんざんなのです。 — 加藤かとう明あきら、文溪堂ぶんけいどう お母かあさんの算数さんすうノート p78

として、

(ア) 12このおはじきを、同おなじ数すうずつ4つに分わける場合ばあい（「等分とうぶん除じょ（とうぶんじょ）」といいます） — 加藤かとう明あきら、文溪堂ぶんけいどう お母かあさんの算数さんすうノート p78

(イ) 12このおはじきを、3こずつ分わける場合ばあい（「包含ほうがん除じょ（ほうがんじょ）」といいます） — 加藤かとう明あきら、文溪堂ぶんけいどう お母かあさんの算数さんすうノート p79

と述のべている。なお、ここで「式しきの意味いみ」なる語かたりが出でてくるが、『「3×4」の意味いみは「3個この集あつまり」が「4つ分ぶん」あること』といったような「式しきの意味いみ」の定義ていぎ（「立だて式しき」といった、やはりその世界せかいのみの用語ようごが使つかわれる）は、日本にっぽんの一部いちぶの初等しょとう教育きょういくの世界せかいにだけ存在そんざいする「定義ていぎ」である（かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだい）。

海外かいがいでのかけ算ざんの導入どうにゅう

中国ちゅうごくでは、かけ算ざんの導入どうにゅう時じから、因子いんし × 因子いんし = 積せきと、左右さゆうが対等たいとうな形かたちで教おしえ、両方りょうほうの順序じゅんじょを示しめしている。

アメリカでは、「一般いっぱん的てきに指導しどうされているかけ算ざんの意味いみは、（いくつ分ぶん）×（ひとつ分ぶん） = （全部ぜんぶの数かず）であり、日本にっぽんのそれとは順序じゅんじょが逆ぎゃくである」とされる。しかし、数学すうがく教育きょういくにおいて、式しきの順序じゅんじょは重視じゅうしされていないようである。

例たとえば、私わたしが黒板こくばんに自転車じてんしゃが3台だい並ならんでいる絵えを書かいて、タイヤの数かずを求もとめる式しきは、2 × 3か、それとも3 × 2か、と問とうと、教員きょういん養成ようせい課程かていの学生がくせいばかりでなく、現場げんばで算数さんすうを教おしえている先生せんせいも、ほとんどが、どちらでもかまわないという。その理由りゆうは、「どっちでも答こたえは6だから」というのである。驚おどろくなかれ、大学だいがくで数学すうがく教育きょういくを教おしえている人ひとの中なかにもこのような人ひとは少すくなくないのである。 — 高橋たかはし昭彦あきひこ、東洋館とうようかん出版しゅっぱん 筑波大学つくばだいがく附属ふぞく小学校しょうがっこう算数さんすう研究けんきゅう部ぶ 企画きかく・編集へんしゅう 算数さんすう授業じゅぎょう論究ろんきゅう 2012年ねん（平成へいせい24年ねん） 論究ろんきゅうII かけ算ざんを究きわめる p54 「小学校しょうがっこうでかけ算ざんを教おしえるのは何なにのためか」

参考さんこう文献ぶんけん

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• 文部もんぶ科学かがく省しょう『小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ 算数さんすう編へん』東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ、2008年ねん8月がつ。ISBN 978-4491023731。  PDF文書ぶんしょが以下いかより入手にゅうしゅ可能かのう。“小学校しょうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ：文部もんぶ科学かがく省しょう”. 2013年ねん10月がつ14日にち閲覧えつらん。
• 文部もんぶ科学かがく省しょう『中学校ちゅうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ 数学すうがく編へん』教育きょういく出版しゅっぱん、2008年ねん9月がつ。ISBN 978-4316300139。  PDF文書ぶんしょが以下いかより入手にゅうしゅ可能かのう。“中学校ちゅうがっこう学習がくしゅう指導しどう要領ようりょう解説かいせつ：文部もんぶ科学かがく省しょう”. 2013年ねん10月がつ14日にち閲覧えつらん。
• 国立こくりつ教育きょういく政策せいさく研究所けんきゅうじょ『第だい3期き科学かがく技術ぎじゅつ基本きほん計画けいかくのフォローアップ「理数りすう教育きょういく部分ぶぶん」に係かかる調査ちょうさ研究けんきゅう［理数りすう教科書きょうかしょに関かんする国際こくさい比較ひかく調査ちょうさ結果けっか報告ほうこく］』2009年ねん3月がつ。http://www.nier.go.jp/seika_kaihatsu_2/。 
• 高橋たかはし誠まこと『かけ算ざんには順序じゅんじょがあるのか』岩波書店いわなみしょてん〈岩波いわなみ科学かがくライブラリー〉、2011年ねん。ISBN 978-4000295802。 
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• 田中たなか耕治こうじ『教育きょういく評価ひょうか』岩波書店いわなみしょてん、2008年ねん。ISBN 978-4-00-028050-1。 
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• 田中たなか博史ひろふみ「目的もくてきは，「置おき換かえ」の力ちからを育そだてること」『算数さんすう授業じゅぎょう研究けんきゅう』第だい80巻かん、東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ、2012年ねん3月がつ1日にち、66-67頁ぺーじ、ISBN 978-4-491-02781-4。 
• 田中たなか博史ひろふみ『田中たなか博史ひろふみの楽たのしくて力ちからがつく算数さんすう授業じゅぎょう55の知恵ちえ : おいしい算数さんすう授業じゅぎょうレシピ 2』文溪堂ぶんけいどう、2011年ねん、48頁ぺーじ。ISBN 978-4894237230。 
• 正木まさき孝昌たかまさ「かけ算ざんのイメージを育そだてたい」『算数さんすう授業じゅぎょう研究けんきゅう』第だい80巻かん、東洋館とうようかん出版しゅっぱん社しゃ、2012年ねん3月がつ1日にち、52-53頁ぺーじ、ISBN 978-4-491-02781-4。 

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• 礒田いそだ正美まさみ「日本にっぽんの教育きょういくを支ささえる『教材きょうざい力りょく』」『初等しょとう教育きょういく資料しりょう』、2016年ねん10月がつ号ごう(No.813)、68-71頁ぺーじ
• 礒田いそだ正美まさみ「かけ算ざんの歴史れきしに学まなぶ：我々われわれは、何なにを、なぜ、いかに教おしえるか」『算数さんすう授業じゅぎょう研究けんきゅう 論究ろんきゅう』vol.80
• Isoda, Masami. & Olfos, Raimundo. (Eds.) (2021). Teaching Multiplication with Lesson Study: Japanese and Ibero-Amarican Theories for International Mathematics Education. Springer. ISBN 978-3-030-28560-9. doi: 10.1007/978-3-030-28561-6

関連かんれん項目こうもく

• 交換こうかん法則ほうそく
• 乗法じょうほう
• 除法じょほう
• 作用素さようそ

外部がいぶリンク

• 2011/07/22 掛かけ算ざんの順序じゅんじょ問題もんだいについて(オリジナル記事きじ再掲さいけい) - 物理ぶつり学者がくしゃの菊池きくち誠まことの見解けんかいを読よむことができる
• 「かけ算ざんの順序じゅんじょ」論争ろんそう 解説かいせつ - 北海道教育大学ほっかいどうきょういくだいがくの教授きょうじゅ 宮下みやした英明ひであきによる論考ろんこう。「かけ算ざんには順序じゅんじょがある」という観点かんてんから論争ろんそうの構造こうぞうの解説かいせつが行おこなわれている。
• 「掛かけ算ざんには順序じゅんじょがある」・・・なんて、ご冗談じょうだんでしょう？(1) 開ひらき米べい瑞みず浩ひろしの見解けんかい