Element primitiu
En matemàtiques, un element primitiu d'una extensió de cossos L/K és un element
- L = K(
ζ ),
o en altres paraules, L està generat per
Si l'extensió L/K admet un element primitiu, aleshores L pot ser extensió finita de K, cas en el qual
El teorema de l'element primitiu de teoria de cossos respon la pregunta de quines extensions finites de cossos tenen elements primitius. Per exemple, no és immediatament obvi que si s'adjunta al cos Q de nombres racionals les arrels dels següents polinomis
- X² − 2
i
- X² − 3,
anomenades
γ =α +β
les potències de
En general, el teorema de l'element primitiu s'enuncia de la següent forma:
- L'extensió de cossos L/K és finita i té un element primitiu si i només si hi ha un nombre finit de subextensions de cossos F amb K ⊆ F ⊆ L.
Un corol·lari important d'aquest teorema afirma:
- Tota extensió separable finita L/K té un element primitiu.
Aquest corol·lari és aplicable a l'exemple exposat anteriorment (i a molts de similars), ja que Q té característica 0 pel que tota extensió finita sobre Q és separable.
Per a extensions inseparables (o no separables), es pot afirmar el següent:
- Si el grau de l'extensió [L:K] és un nombre primer, aleshores L/K té un element primitiu.
Si el grau de l'extensió no és un nombre primer i l'extensió no és separable, es poden trobar contraexemples. Per exemple, si K és Fp(T,U), el cos de les funcions racionals amb dues indeterminades T i U sobre el cos finit amb p elements, i L s'obté a partir de K adjuntant una arrel pèssima de T, i de U, aleshores no existeix cap element primitiu de L sobre K. De feto es pot veure que per a qualsevol