Gegenbeispiel

Ein Gegenbeispiel ist in der Mathematik und in der Philosophie, insbesondere in der Logik ein empirischer oder konstruierter Sachverhalt, der eine bestimmte Hypothese widerlegt. Seit Karl Poppers Forderung nach Falsifizierbarkeit gelten heute nur solche Aussagen als wissenschaftlich, zu denen Gegenbeispiele prinzipiell möglich sind.

In der Mathematik beweist man Sätze der Form „Wenn A, dann B“. Der Beweis schließt die Existenz von Gegenbeispielen prinzipiell aus, so dass der Begriff der Falsifizierbarkeit hier nicht sinnvoll ist. Für das Nichtbestehen einer solchen Implikation „Wenn A, dann B“ genügt es, ein Beispiel anzugeben, dass A erfüllt, aber nicht B. Ein solches Beispiel nennt man ein Gegenbeispiel. Ferner spricht man bei der Einführung von mathematischen Eigenschaften von Gegenbeispielen, wenn man ein Beispiel für etwas angibt, das diese Eigenschaft nicht hat. Typische Anwendungen des Begriffs Gegenbeispiel sind daher:

• Es gilt „Wenn A, dann B“. Die Umkehrung „Wenn B, dann A“ gilt nicht, wie das Gegenbeispiel x zeigt.
• Einführung einer Eigenschaft E. Beispiele für E sind x und y. z ist ein Gegenbeispiel (d. h. ein Beispiel, das nicht E hat).

Beispiele

• Gettiers Gegenbeispiele zur Behauptung, Wissen sei „gerechtfertigter wahrer Glaube“.
• Aussage: Alle Primzahlen sind ungerade. Diese Aussage ist falsch, wie das Gegenbeispiel 2 zeigt. (Es genügt für die Falschheit die Existenz eines einzigen Gegenbeispiels.)
• Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die Verknüpfung kommutativ ist. Beispiele sind $(\mathbb {Z} ,+)$ oder $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. Das Gegenbeispiel S₃ zeigt, dass nicht alle Gruppen abelsch sind.

Siehe auch

• Anti-Pattern – sinnähnlicher Bezeichner in der auch sogenannten Software-Entwicklung
• Pathologisches Beispiel, das in besonderem Ausmaß der Intuition widerspricht

Literatur

• Bernard R. Gelbaum, John M. H. Olmsted: Counterexamples in Analysis. Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3.
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. Dover Publications, ISBN 0-486-68735-X.
• Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel: Counterexamples in Probability and Statistics. Chapman & Hall, New York / London 1986, ISBN 0-412-98901-8. 
• Jordan Stoyanov: Counterexamples in Probability (= Dover Books on Mathematics). 3. Auflage. Dover Publications, New York 2013, ISBN 978-0-486-49998-7. 
• Gary L. Wise, Eric B. Hall: Counterexamples in Probability and Real Analyses. Oxford University Press, New York 1993, ISBN 0-19-507068-2. 

Weblinks

Wiktionary: Gegenbeispiel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen