Diophante et Fermat

Introduction

Jusqu'à présent, les historiens des sciences ont concentré principalement leur attention sur l'analyse et la géométrie antiques et leur influence sur la formation de la science aux xvie et xvne siècles. Ordinairement, on attribue la nouvelle algèbre aux Hindous et, plus particulièrement, aux Arabes. Cependant, on sait que l'apparition de l'algèbre littérale remonte à Diophante. Nous montrerons que de très importantes idées et méthodes qui, aujourd'hui, sont du domaine de la géométrie algébrique lui reviennent également.

Comme on le sait, Y Arithmétique de Diophante (1) n'est pas un ouvrage théorique. C'est un recueil de problèmes composé pour le « vénérable Dionysios » (que P. Tannery identifie à l'évêque Dio- nysios d'Alexandrie) et destiné à l'enseignement. Dans Y Arithmétique, les règles générales sont illustrées par des exemples concrets spécialement choisis. Nous sommes en droit de supposer que les connaissances de l'auteur étaient bien plus étendues. Ici, toutefois, nous nous en tiendrons strictement à ce qui nous est parvenu dans les six livres de V Arithmétique, et nous tâcherons de rétablir les méthodes de Diophante par l'analyse de ses problèmes.

Notons que Diophante a essentiellement élargi le domaine numérique. Certes, il donne au début la définition traditionnelle du nombre en tant qu'ensemble d'unités, mais il cherche des solutions rationnelles positives de ses problèmes et il appelle nombre (o ápi0[AÓc) chacune de ces solutions. D'autre part, les nombres négatifs aussi sont en fait introduits dans son Arithmétique : Diophante les désigne par le terme spécial у Xeujnç et définit pour eux « la règle des signes » : « Minus multiplicatum in minus

T. XIX. — 1966 19