Diferencia entre revisiones de «Matriz nilpotente»
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En [[álgebra lineal]], una [[matriz (matemática)|matriz]] <math>N \in M_{n.n}(K)</math> se dice que es [[nilpotente]] si existe <math>k \in \mathbb{N}</math> tal que <math>N^k = 0\,</math>. Se llama í''ndice de nilpotencia'' o se dice que <math>N</math> es ''de índice'' (o ''de orden'') <math>k</math> y se define como <math>min \{k \in \mathbb{N} / N^k = 0\}</math>.
== Teorema ==
Si <math>A\,</math> es una matriz nilpotente, entonces su [[determinante (matemática)|determinante]] es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.▼
▲Si <math>A\,</math> es una matriz nilpotente entonces su [[determinante (matemática)|determinante]] es cero.
Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que <math>A^k=0\,</math>. Por lo tanto, <math>\det(A^k)=0\,</math>. Luego, <math>\det(A)^k=0\,</math> por lo que <math>\det(A)=0\,</math>.
▲=== Demostración (Laura no sabe leer ) ===
{{ecuación|<math>
Por lo tanto: <math>\det(A^k)=0\,</math>▼
▲El recíproco no es cierto: la matriz <math>
S = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
</math>||left}} tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.
== Ejemplos ==
Línea 66 ⟶ 61:
</math>
Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de
:<math>
\begin{bmatrix}
Línea 79 ⟶ 74:
</math>
ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.
==Propiedades adicionales==
* Si ''N'' es nilpotente, entonces ''I'' + ''N'' es [[matriz invertible|invertible]], donde ''I'' es la [[matriz identidad]] de orden ''n'' (''n'' × ''n''). El inverso viene dado por:
{{ecuación|
:<math>(I + N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3 + \cdots,</math>
||left}}
:donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
* Si ''N'' es nilpotente, entonces
{{ecuación|:<math>\det (I + N) = 1,\!\,</math>||left}}
:donde ''I'' es de nuevo la matriz identidad de orden ''n''. Recíprocamente, si ''A'' es una matriz y
{{ecuación|:<math>\det (I + tA) = 1\!\,</math>||left}}
:para todos los valores de ''t'', entonces ''A'' es nilpotente.
* Toda [[matriz singular]] (con determinante nulo) puede escribirse como [[Multiplicación de matrices|producto de matrices]] nilpotentes.<ref>R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, ''Linear and Multilinear Algebra'', Vol. 56, No. 3</ref>
==Generalizaciones==
Un [[operador lineal]] ''T'' es '''localmente nilpotente''' si para todo vector ''v'', existe un ''k'' tal que
{{ecuación|
||left}}
Para operadores sobre [[Espacio vectorial|espacios vectoriales]] de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.
== Referencias ==
{{listaref}}
* [https://web.archive.org/web/20080829202453/http://planetmath.org/encyclopedia/NilpotentMatrix.html Matriz nilpotente] y [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1961 transformación nilpotente] en [[PlanetMath]]. (en inglés)
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Matrices|Nilpotente]]
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