Operatore parità
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]L'operatore parità in meccanica quantistica è l'operatore che effettua una trasformazione di inversione spaziale delle coordinate ovvero cambia il segno di ognuna di esse. La sua azione su di un ket arbitrario definito nella base delle x è la seguente:
dove , quindi :
Dato un generico stato fisico S descritto dalla sua funzione d'onda quindi:
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Lineare
[modifica | modifica wikitesto]P è un operatore lineare in quanto:
Hermitiano (autoaggiunto)
[modifica | modifica wikitesto]P è un operatore autoaggiunto in quanto:
Il che garantisce che abbia autovalori reali. Ciò si evince facilmente in tal modo:
, da cui .
Unitario
[modifica | modifica wikitesto]P è un operatore unitario in quanto:
Gli operatori unitari corrispondono a trasformazioni che non modificano il prodotto scalare. La combinazione delle ultime due proprietà corrisponde all'evidenza che invertendo lo spazio due volte abbiamo una trasformazione identica.
Commutatori
[modifica | modifica wikitesto]L'operatore di parità commuta con gli scalari e con gli pseudovettori, e anticommuta con i vettori e gli pseudoscalari. Ad esempio l'azione dell'inversione spaziale lascia invariati l'energia e il momento angolare, mentre cambia il segno dell'impulso e dell'elicità.
Autostati e autovalori
[modifica | modifica wikitesto]Poiché P è sia unitario che hermitiano i suoi autovalore devono essere di norma unitaria e reali, quindi uno e meno uno.
In definitiva le autofunzioni dell'operatore parità sono le funzioni pari e quelle dispari:
Applicazioni
[modifica | modifica wikitesto]Poiché l'hamiltoniana di un sistema simmetrico per inversione commuta con la Parità è garantita l'esistenza di una base simultanea di autostati dei due operatori. Questo significa che siamo legittimati a cercare le autofunzioni dell'Hamiltoniana tra le funzioni pari e quelle dispari. Un esempio di questo procedimento è la trattazione della buca di potenziale finita.