マチンの公式こうしき

マチンの公式こうしき（英えい: Machin's formula）とは、1706年ねんにイギリスの天文学てんもんがく者しゃジョン・マチンによって発見はっけんされた逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう $arctan x$ を用もちいた円周えんしゅう率りつを計算けいさんするための公式こうしき、すなわち

{\dfrac {\pi }{4}}=4\arctan {\dfrac {1}{5}}-\arctan {\dfrac {1}{239}}

なる公式こうしきである。

概要がいよう

グレゴリー級数きゅうすうすなわち逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう $arctan x$ のマクローリン展開てんかい：

\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\,x^{2n+1}=x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {1}{5}}\,x^{5}-{\frac {1}{7}}\,x^{7}+{\frac {1}{9}}\,x^{9}-\cdots \qquad {\rm {where}}\quad \vert x\vert \leq 1

に $x = 1$ を代入だいにゅうして得えられる級数きゅうすう：

{\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots

はライプニッツの公式こうしきと呼よばれ、見みた目めは綺麗きれいな公式こうしきであるものの、収束しゅうそくが非常ひじょうに遅おそいことで知しられる。しかしながら、 $x$ を十分じゅうぶん小ちいさく取とれば見みた目めの綺麗きれいさは多少たしょう損そこなわれるが、それなりに速はやく収束しゅうそくする級数きゅうすうを得えることができる。実際じっさい、エイブラハム・シャープは $x = 1/ \sqrt 3$ を用もちい、円周えんしゅう率りつを小数点しょうすうてん以下いか71桁けたまで計算けいさんした。

ジョン・マチンは、さらに収束しゅうそく性せいをよくするために逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすう $arctan x$ の関係かんけい式しきを考かんがえ、これをグレゴリー級数きゅうすうと結むすび付つけることにより、非常ひじょうに収束しゅうそく速度そくどが速はやい級数きゅうすうを得えた。さらに、この公式こうしきを発見はっけんしたマチン自身じしんも円周えんしゅう率りつを100桁けたまで求もとめることに成功せいこうした。マチンの公式こうしきや、似にたような $arctan x$ を用もちいた公式こうしきは、1970年代ねんだいに算術さんじゅつ幾何きか平均へいきんなどが用もちいられるようになるまでは円周えんしゅう率りつの計算けいさんに用もちいられ計算けいさん競争きょうそうに貢献こうけんした。その後ごしばらくは新あたらしいアルゴリズムによる円周えんしゅう率りつの計算けいさんが続つづいたが、2002年ねんに金田かねだ康正こうせいによって高野たかの喜久雄きくおの公式こうしきが用もちいられ円周えんしゅう率りつを1兆ちょう2411億おく桁けたまで計算けいさんするという記録きろくに結むすび付ついた。

公式こうしき

等式とうしき：

{\dfrac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

をマチンの公式こうしきという。

この項目こうもくでは $arctan x$ は主おも値ち

-{\frac {\pi }{2}}<\arctan x<{\frac {\pi }{2}}

を取とるものとする。

同おなじことであるが、逆ぎゃく余あまり接せっ関数かんすう $arccot x$ を用もちいて、

{\dfrac {\pi }{4}}=4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239

と書かかれることもある。

主おもな証明しょうめい

三角さんかく関数かんすうの公式こうしきによる証明しょうめい

マチンの公式こうしきは三角さんかく関数かんすうの公式こうしきを用もちいて証明しょうめいできる。

二に倍角ばいかく公式こうしきを2回かい用もちいて、

\tan \left(2\arctan {\frac {1}{5}}\right)={\frac {2\tan(\arctan {\frac {1}{5}})}{1-\tan ^{2}(\arctan {\frac {1}{5}})}}={\frac {2\cdot {\frac {1}{5}}}{1-({\frac {1}{5}})^{2}}}={\frac {5}{12}}

\tan \left(4\arctan {\frac {1}{5}}\right)=\tan \left(2\cdot 2\arctan {\frac {1}{5}}\right)={\frac {2\tan(2\arctan {\frac {1}{5}})}{1-\tan ^{2}(2\arctan {\frac {1}{5}})}}={\frac {2\cdot {\frac {5}{12}}}{1-({\frac {5}{12}})^{2}}}={\frac {120}{119}}

加法かほう定理ていりにより、

\tan \left(4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})-\tan {\frac {\pi }{4}}}{1+\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})\tan {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+1\cdot {\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}

逆ぎゃく関数かんすうをとって、

\arctan {\frac {1}{239}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}

したがって、

4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}

複素数ふくそすうを用もちいた証明しょうめい

複素ふくそ平面へいめん上じょうにおける、逆ぎゃく正接せいせつ関数かんすうによる偏へん角かくの表現ひょうげん。

$a$ 、 $b$ を実数じっすうとし、 $a > 0$ 、 $i$ を虚数きょすう単位たんいとする。

複素数ふくそすう $z = a + bi$ の偏へん角かくは、

\arg z=\arctan {\frac {b}{a}}

である。

複素数ふくそすうの偏へん角かくの範囲はんいは

arctan

の主おも値ちと同おなじ範囲はんいに取とるものとする。

$n$ を整数せいすうとする。ド・モアブルの定理ていりによると $z n = (a + bi) n$ の偏へん角かくは、

\arg z^{n}=n\arctan {\frac {b}{a}}

である。この式しきを利用りようすると、マチンの公式こうしきの左辺さへんは

(5+i)^{4}\,(239+i)^{-1}={\frac {(5+i)^{4}}{239+i}}=2+2i

の左辺さへんの式しきの偏へん角かくに等ひとしいと分わかる。この式しきの右辺うへんの偏へん角かくは $π ぱい / 4$ であるためマチンの公式こうしきが示しめされる。

マチンの公式こうしきによる計算けいさん

マチンの公式こうしきを

\pi =16\arctan {\frac {1}{5}}-4\arctan {\frac {1}{239}}

の形かたちにし、arctan x をグレゴリー級数きゅうすうに直なおして、それぞれ最初さいしょの方ほうの項こうだけを計算けいさんして差さ

d(m)=16\sum _{n=0}^{3m+2}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{5}}\right)^{2n+1}-4\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{239}}\right)^{2n+1}

を取とる。

和わを取とる項こう数すうがそれぞれ 3m + 3 項こうと m + 1 項こうであり異ことなっている。これは、15 と 1239 の値ねが大おおきく異ことなるので、計算けいさんする項こうの値ねの大おおきさを近付ちかづけるために項こう数すうを補正ほせいしているのである。m が 1 増ふえるたびに、計算けいさんすべき項こう数すうは 4 増ふえる。

m = 1 から m = 10 まで計算けいさんすると次つぎ表ひょうのようになる。桁数けたすうの欄らんは実際じっさいの円周えんしゅう率りつの値ねと一致いっちしている小数点しょうすうてん以下いかの桁数けたすうである。参考さんこうまでに末尾まつびに $π ぱい$ の値ねも載のせた。

未知みちの円周えんしゅう率りつを計算けいさんするときには、誤差ごさを評価ひょうかし、有効ゆうこうな桁数けたすうを調しらべなければならないが、ここでは既すでに知しられている円周えんしゅう率りつの値ねと比くらべて、一致いっちすることを確認かくにんするだけにとどめる。

m	d(m)	桁数けたすう	項こう数すう
0	3.14162 …	3	4
1	3.14159 26526 …	8	8
2	3.14159 26535 8983 …	12	12
3	3.14159 26535 89793 2363 …	17	16
4	3.14159 26535 89793 23846 275 …	21	20
5	3.14159 26535 89793 23846 2643377 …	25	24
6	3.14159 26535 89793 23846 26433 8327981 …	30	28
7	3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 502866 …	34	32
8	3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41981 …	38	36
9	3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69341 …	43	40
10	3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3784 …	47	44
$π ぱい$	3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 7494 …	（参考さんこう）

d(m) は 4(m + 1) 個この項こうの足たし算ざんまたは引ひき算ざんによって計算けいさんされるので、m = 10 のときは 44 項こうの和わや差さを計算けいさんしていることになる。ここで普通ふつうのグレゴリー級数きゅうすうを用もちいた場合ばあいの値ねを見みてみると

x = 1 のときのグレゴリー級数きゅうすう

\pi =4\arctan 1=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

は、非常ひじょうに収束しゅうそくが遅おそく、n = 50 までで打うち切きって計算けいさんしてみると

4\sum _{n=0}^{50}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=3.1611\cdots

となり小数点しょうすうてん以下いか 1 桁けたまでしか円周えんしゅう率りつと一致いっちしていない。

シャープの用もちいた x = 1/√3 の場合ばあいのグレゴリー級数きゅうすう

\pi =6\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}=6\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2n+1}

で同おなじように n = 50 までで打うち切きって計算けいさんすると

6\sum _{n=0}^{50}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2n+1}=3.141592653589793238462643395\cdots

となり、円周えんしゅう率りつの実際じっさいの値ねとは小数点しょうすうてん以下いか 25 桁けたまで一致いっちしている。上うえの表ひょうで見みるとマチンの公式こうしきでは d(5) で 25 桁けたまで一致いっちしており、そのときの計算けいさんに用もちいた項こうの数かずは 4 × (5 + 1) = 24 項こうであるので、シャープによる計算けいさんのほぼ半分はんぶんの項こう数すうによって、小数点しょうすうてん以下いか 25 桁けたまでの円周えんしゅう率りつが得えられている。

マチンの公式こうしきの類似るいじ

マチンの公式こうしきに類似るいじした式しきは比較的ひかくてき探さがしやすいため、非常ひじょうに多おおくの形かたちの式しきが見みつかっている。この節ふしでは、その中なかのほんの一部いちぶを紹介しょうかいする。複素数ふくそすうを用もちいたマチンの公式こうしきの証明しょうめいと同様どうようの計算けいさんを用もちいるなどして、計算けいさん機きを用もちいて公式こうしきを探索たんさくしていくことも可能かのうである。