一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん (いっぱんそうたいせいりろん、独 どく : allgemeine Relativitätstheorie , 英 えい : general theory of relativity )は、アルベルト・アインシュタイン が1905年 ねん の特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん に続 つづ いて、それを発展 はってん させ1915年 ねん から1916年 ねん にかけて発表 はっぴょう した物理 ぶつり 学 がく の理論 りろん である。一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん (いっぱんそうたいろん)
質量 しつりょう (地球 ちきゅう )が2次元 じげん で描 えが いた格子 こうし 模様 もよう の平面 へいめん に落 お とし込 こ まれた状態 じょうたい を描 えが いた説明 せつめい 図 ず 。格子 こうし 模様 もよう をゆがめている様子 ようす が視認 しにん できる。また、歪 いが んでいる格子 こうし 模様 もよう 自体 じたい が重力 じゅうりょく と解釈 かいしゃく できる。この説明 せつめい 図 ず を一般人 いっぱんじん にも理解 りかい できるよう例 たと えるなら、重 おも い物 もの がトランポリンに沈 しず む状態 じょうたい と同 おな じである。
概要 がいよう
重力 じゅうりょく 場 じょう の概念 がいねん 図 ず 。中心 ちゅうしん に近 ちか づくほど重力 じゅうりょく が大 おお きい。
一般 いっぱん 相対性原理 そうたいせいげんり と一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい 原理 げんり および等価 とうか 原理 げんり を理論 りろん 的 てき な柱 はしら とし、リーマン幾何 きか 学 がく を数学 すうがく 的 てき 土台 どだい として構築 こうちく された古典 こてん 論 ろん 的 てき な重力 じゅうりょく 場 じょう の理論 りろん であり、ロシアの物理 ぶつり 学者 がくしゃ のレフ・ランダウ は一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん について、現存 げんそん する物理 ぶつり 学 がく の理論 りろん の中 なか で最 もっと も美 うつく しい理論 りろん だと述 の べている[ 1] 。測地 そくち 線 せん の方程式 ほうていしき とアインシュタイン方程式 ほうていしき (重力 じゅうりょく 場 じょう の方程式 ほうていしき )が帰結 きけつ である。時間 じかん と空間 くうかん を結 むす びつけるこの理論 りろん では、アイザック・ニュートン によって万有引力 ばんゆういんりょく として説明 せつめい された現象 げんしょう が、もはやニュートン力学 りきがく 的 てき な意味 いみ での力 ちから ではなく、時空 じくう 連続 れんぞく 体 たい の歪 ゆが み として説明 せつめい される。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん では、次 つぎ のことが予測 よそく される。
重力 じゅうりょく レンズ効果 こうか
重力 じゅうりょく 場 じょう 中 ちゅう では光 ひかり が曲 ま がって進 すす むこと。アーサー・エディントン は、1919年 ねん 5月 がつ 29日 にち の日食 にっしょく で、太陽 たいよう の近傍 きんぼう を通 とお る星 ほし の光 ひかり の曲 ま がり方 かた がニュートン力学 りきがく で予想 よそう されるものの2倍 ばい であることを観測 かんそく で確 たし かめ、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん が正 ただ しいことを示 しめ した。
水星 すいせい の近日 きんじつ 点 てん の移動 いどう
ニュートン力学 りきがく だけでは、水星 すいせい 軌道 きどう のずれ(近日 きんじつ 点 てん 移動 いどう の大 おお きさ)の観測 かんそく 値 ち の説明 せつめい が不完全 ふかんぜん だったが、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん が解決 かいけつ を与 あた え、太陽 たいよう の質量 しつりょう による時空 じくう 連続 れんぞく 体 たい の歪 ゆが みに原因 げんいん があることを示 しめ した。
重力 じゅうりょく 波 は
時空 じくう の歪 ゆが み(重力 じゅうりょく 場 じょう )の変動 へんどう が伝播 でんぱ する現象 げんしょう 。線型 せんけい 近似 きんじ が有効 ゆうこう な弱 よわ い重力 じゅうりょく 波 は の伝播 でんぱ 速度 そくど は光速 こうそく である。アインシュタインによる予測 よそく の発表 はっぴょう から100年 ねん 目 め の2016年 ねん に、アメリカのLIGO により直接 ちょくせつ 観測 かんそく された。
膨張 ぼうちょう 宇宙 うちゅう
時空 じくう は膨張 ぼうちょう または収縮 しゅうしゅく し、定常 ていじょう にとどまることがないこと。ビッグバン 宇宙 うちゅう を導 みちび く。
ブラックホール
限 かぎ られた空間 くうかん に大 おお きな質量 しつりょう が集中 しゅうちゅう すると、光 ひかり さえ脱出 だっしゅつ できないブラックホールが形成 けいせい される。
重力 じゅうりょく による赤 あか 方偏 かたへん 移 うつり
強 つよ い重力 じゅうりょく 場 じょう から放出 ほうしゅつ される光 ひかり の波長 はちょう は元 もと の波長 はちょう より引 ひ き延 の ばされる現象 げんしょう 。
時間 じかん の遅 おく れ
強 つよ い重力 じゅうりょく 場 じょう 中 ちゅう で測 はか る時間 じかん の進 すす み(固有 こゆう 時間 じかん )が、弱 よわ い重力 じゅうりょく 場 じょう 中 ちゅう で測 はか る時間 じかん の進 すす みより遅 おそ いこと。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん は慣性 かんせい 力 りょく と重力 じゅうりょく を結 むす び付 つ ける等価 とうか 原理 げんり のアイデアに基 もと づいている。等価 とうか 原理 げんり とは、簡単 かんたん に言 い えば、外部 がいぶ を観測 かんそく できない箱 はこ の中 なか の観測 かんそく 者 しゃ は、自 みずか らにかかる力 ちから が、箱 はこ が一様 いちよう に加速 かそく されるために生 しょう じている慣性 かんせい 力 りょく なのか、箱 はこ の外部 がいぶ にある質量 しつりょう により生 しょう じている重力 じゅうりょく なのか、を区別 くべつ することができないという主張 しゅちょう である。
相対 そうたい 論 ろん によれば空間 くうかん は時空 じくう 連続 れんぞく 体 たい であり、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん では、その時空 じくう 連続 れんぞく 体 たい が均質 きんしつ でなく歪 いが んだものになる。つまり、質量 しつりょう が時空 じくう 間 あいだ を歪 いが ませることによって、重力 じゅうりょく が生 しょう じると考 かんが える。そうだとすれば、質量 しつりょう の周囲 しゅうい の時 とき 空間 くうかん は歪 いが んでいるために、光 ひかり は直進 ちょくしん せず、また時間 じかん の流 なが れも影響 えいきょう を受 う ける。これが重力 じゅうりょく レンズや時間 じかん の遅 おく れといった現象 げんしょう となって観測 かんそく されることになる。また質量 しつりょう が移動 いどう する場合 ばあい 、その移動 いどう にそって時空 じくう 間 あいだ の歪 ゆが みが移動 いどう ・伝播 でんぱ していくために重力 じゅうりょく 波 は が生 しょう じることも予測 よそく される。
アインシュタイン方程式 ほうていしき から得 え られる時空 じくう は、ブラックホールの存在 そんざい や膨張 ぼうちょう 宇宙 うちゅう モデルなど、アインシュタイン自身 じしん さえそれらの解釈 かいしゃく を拒 こば むほどの驚 おどろ くべき描像である。しかし、ブラックホールや初期 しょき 宇宙 うちゅう の特異 とくい 点 てん の存在 そんざい も理論 りろん として内包 ないほう しており、特異 とくい 点 てん の発生 はっせい は一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん そのものを破綻 はたん させてしまう。将来 しょうらい 的 てき には量子 りょうし 重力 じゅうりょく 理論 りろん が完成 かんせい することにより、この困難 こんなん は解決 かいけつ されるものと期待 きたい されている。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん が成立 せいりつ するまでの研究 けんきゅう
編集 へんしゅう
1905年 ねん に特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん を発表 はっぴょう したアインシュタインは、特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん を加速度 かそくど 運動 うんどう を含 ふく めたものに拡張 かくちょう する理論 りろん の構築 こうちく に取 と り掛 か かった。1907年 ねん に、アインシュタイン自身 じしん が「人生 じんせい で最 もっと も幸福 こうふく な考 かんが え (the happiest thought of my life)」と振 ふ り返 かえ る「重力 じゅうりょく によって生 しょう じる加速度 かそくど は観測 かんそく する座標 ざひょう 系 けい によって局所 きょくしょ 的 てき にキャンセルすることができる」というアイディア(等価 とうか 原理 げんり [ 2] )を得 え る。 光 ひかり の進 すす み方 かた と重力 じゅうりょく に関 かん する論文 ろんぶん を1911年 ねん に出版 しゅっぱん した後 のち 、1912年 ねん からは、重力 じゅうりょく 場 じょう を時空 じくう の幾何 きか 学 がく として取 と り扱 あつか う方法 ほうほう を模索 もさく した。このときにアインシュタインにリーマン幾何 きか 学 がく の存在 そんざい を教 おし えたのが、数学 すうがく 者 しゃ マルセル・グロスマン であった。ただし、このときグロスマンは、「物理 ぶつり 学者 がくしゃ が深入 ふかい りする問題 もんだい ではない」と助言 じょげん したとも伝 つた えられている。1915年 ねん -16年 ねん には、これらの考 かんが えが1組 くみ の微分 びぶん 方程式 ほうていしき (アインシュタイン方程式 ほうていしき )としてまとめられた。
この時期 じき にアインシュタインが発表 はっぴょう した一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん に関 かん する論文 ろんぶん は、以下 いか の通 とお り。
1911年 ねん 論文 ろんぶん 『光 ひかり の伝播 でんぱ に対 たい する重力 じゅうりょく の影響 えいきょう [ 注 ちゅう 1] 』(Annalen der Physik, 35, 898-908)
1914年 ねん 論文 ろんぶん 『一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん および重力 じゅうりょく 論 ろん の草案 そうあん [ 注 ちゅう 2] 』(ZS. f. Math. u. Phys., 62, 225-261)
1915年 ねん 論文 ろんぶん 『水星 すいせい の近日 きんじつ 点 てん の移動 いどう に対 たい する一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん による説明 せつめい [ 注 ちゅう 3] 』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 831-839)
1916年 ねん 論文 ろんぶん 『一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の基礎 きそ [ 注 ちゅう 4] 』(Annalen der Physik (Germany), 49, 769-822)
1916年 ねん 論文 ろんぶん 『ハミルトンの原理 げんり と一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん [ 注 ちゅう 5] 』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 1111-1116)
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の発表 はっぴょう 後 ご
編集 へんしゅう
アインシュタイン方程式 ほうていしき の発表 はっぴょう 後 ご は、その方程式 ほうていしき を解 と くことが研究 けんきゅう の課題 かだい となった。
1916年 ねん にカール・シュヴァルツシルト が、アインシュタイン方程式 ほうていしき を球 たま 対称 たいしょう ・真空 しんくう の条件 じょうけん のもとに解 と き、今日 きょう ブラックホール と呼 よ ばれる時空 じくう を表 あらわ すシュヴァルツシルト解 かい を発見 はっけん した。アインシュタイン自身 じしん は、自 みずか ら導 みちび いた方程式 ほうていしき から、重力 じゅうりょく 波 は の概念 がいねん を提案 ていあん したり、宇宙 うちゅう 全体 ぜんたい に適用 てきよう すると動的 どうてき な宇宙 うちゅう が得 え られてしまうことから、宇宙 うちゅう 項 こう を新 あら たに方程式 ほうていしき に加 くわ えるなどの提案 ていあん を行 おこな っている。
1917年 ねん 論文 ろんぶん 『一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん についての宇宙 うちゅう 論 ろん 的 てき 考察 こうさつ 』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 142-152)
1918年 ねん 論文 ろんぶん 『重力 じゅうりょく 波 は について』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 154-167)
1919年 ねん 5月 がつ 29日 にち の皆既 かいき 日食 にっしょく の写真 しゃしん 。アーサー・エディントンが撮影 さつえい した。
1919年 ねん 5月 がつ 29日 にち にアーサー・エディントン が皆既 かいき 日食 にっしょく を利用 りよう して、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん により予測 よそく された太陽 たいよう 近傍 きんぼう での光 ひかり の曲 ま がりを確認 かくにん したことにより、理論 りろん の正 ただ しさが認 みと められ、世間 せけん への認知 にんち が一気 いっき に広 ひろ まった。
1922年 ねん には、宇宙 うちゅう 膨張 ぼうちょう を示唆 しさ するフリードマン・ロバートソンモデルが提案 ていあん されるが、アインシュタイン自身 じしん は、宇宙 うちゅう が定常 ていじょう であると信 しん じていたので、現実 げんじつ 的 てき な宇宙 うちゅう の姿 すがた であるとは受 う け入 い れようとはしなかった。
しかし、1929年 ねん には、エドウィン・ハッブル が、遠方 えんぽう の銀河 ぎんが の赤 あか 方偏 かたへん 移 うつり より、宇宙 うちゅう が膨張 ぼうちょう していることを示 しめ し、これにより、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の予測 よそく する時空 じくう の描像が正 ただ しいことが判明 はんめい した。後 のち にアインシュタインは宇宙 うちゅう 項 こう の導入 どうにゅう を取 と り下 さ げ、「生涯 しょうがい 最大 さいだい の失敗 しっぱい だった (the biggest blunder in my career)」とジョージ・ガモフ に語 かた ったという。
1931年 ねん 、スブラマニアン・チャンドラセカール は、白色 はくしょく 矮星 の質量 しつりょう に上限 じょうげん があることを理論 りろん 的 てき 計算 けいさん によって示 しめ した。今日 きょう 、チャンドラセカール限界 げんかい として知 し られる式 しき は、万有引力 ばんゆういんりょく 定数 ていすう G 、プランク定数 ていすう h 、光速 こうそく c の3つの基本 きほん 定数 ていすう を含 ふく み、古典 こてん 物理 ぶつり ・量子 りょうし 物理 ぶつり 双方 そうほう の成果 せいか を集大成 しゅうたいせい したものでもある。チャンドラセカールは、「星 ほし の構造 こうぞう と進化 しんか にとって重要 じゅうよう な物理 ぶつり 的 てき 過程 かてい の理論 りろん 的 てき 研究 けんきゅう 」の功績 こうせき でノーベル物理 ぶつり 学 がく 賞 しょう (1983年 ねん )を受賞 じゅしょう した。
1939年 ねん 、ロバート・オッペンハイマー とゲオルグ・ヴォルコフ (George Volkoff ) は、中性子星 ちゅうせいしせい 形成 けいせい のメカニズムを考察 こうさつ する過程 かてい で、重力 じゅうりょく 崩壊 ほうかい 現象 げんしょう が起 お きることを予測 よそく した。
その後 ご しばらく、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん は、「数学 すうがく 的 てき 産物 さんぶつ 」として実質 じっしつ 的 てき な物理 ぶつり 研究 けんきゅう の主流 しゅりゅう からは外 はず れている。
重力 じゅうりょく 波 は は果 は たして物理 ぶつり 的 てき な実体 じったい であるのかどうかという論争 ろんそう や、アインシュタイン方程式 ほうていしき の厳密 げんみつ 解 かい の分類 ぶんるい 方法 ほうほう などの研究 けんきゅう がしばらく続 つづ くが、1960年代 ねんだい のパルサー の発見 はっけん やブラックホール候補 こうほ 天体 てんたい の発見 はっけん 、そしてロイ・カー による回転 かいてん ブラックホール解 かい (カー解 かい )の発見 はっけん を契機 けいき に、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん は天文学 てんもんがく の表 おもて 舞台 ぶたい に登場 とうじょう する。同 どう 時期 じき に、スティーヴン・ホーキング とロジャー・ペンローズ が特異 とくい 点 てん 定理 ていり を発表 はっぴょう し、数学 すうがく 的 てき ・物理 ぶつり 的 てき に進展 しんてん を始 はじ めると共 とも に、ジョン・ホイーラー らが、古典 こてん 重力 じゅうりょく ・量子 りょうし 重力 じゅうりょく 双方 そうほう に物理 ぶつり 的 てき な描像を次々 つぎつぎ と提出 ていしゅつ し始 はじ めた。ワームホール (1957年 ねん )やブラックホール (1967年 ねん )という名前 なまえ を命名 めいめい したのは、ホイーラーである。
1974年 ねん 、ジョゼフ・テイラー とラッセル・ハルス は、連 れん 星 ぼし パルサー PSR B1913+16 を発見 はっけん した。連 れん 星 ぼし の自転 じてん 周期 しゅうき とパルスの放射 ほうしゃ 周期 しゅうき を精密 せいみつ に観測 かんそく することによって、重力 じゅうりょく 波 は により、連 れん 星 ほし 系 けい からエネルギーが徐々 じょじょ に運 はこ び去 さ られていることを示 しめ し、重力 じゅうりょく 波 は の存在 そんざい を間接 かんせつ 的 てき に証明 しょうめい した。この業績 ぎょうせき により、2人 ふたり は「重力 じゅうりょく 研究 けんきゅう の新 あたら しい可能 かのう 性 せい を開 ひら いた新型 しんがた 連 れん 星 ぼし パルサーの発見 はっけん 」としてノーベル物理 ぶつり 学 がく 賞 しょう (1993年 ねん )を受賞 じゅしょう した。
重力 じゅうりょく 波 は の直接 ちょくせつ 観測 かんそく も試 こころ みられ続 つづ け、2016年 ねん に重力 じゅうりょく 波 は 検出 けんしゅつ 器 き (レーザー干渉 かんしょう 計 けい )により、連 れん 星 ぼし ブラックホールの合体 がったい イベントによる重力 じゅうりょく 波 は を初 はじ めて直接 ちょくせつ 検出 けんしゅつ したことが発表 はっぴょう された。
また、宇宙 うちゅう 論 ろん 研究 けんきゅう では、ビッグバン 宇宙 うちゅう モデル(1947年 ねん )が有力 ゆうりょく とされているが、さらにその初期 しょき 宇宙 うちゅう の膨張 ぼうちょう 則 そく を修正 しゅうせい したインフレーション宇宙 うちゅう モデル(1981年 ねん )も正 ただ しいことが、2006年 ねん のWMAP 衛星 えいせい による宇宙 うちゅう 背景 はいけい 輻射 ふくしゃ の観測 かんそく により決定的 けっていてき になったと考 かんが える人 ひと も多 おお い。最近 さいきん は、高次 こうじ 元 もと 宇宙 うちゅう モデルが脚光 きゃっこう を浴 あ びているが、これらの宇宙 うちゅう モデルは、いずれも一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん を基礎 きそ にして議論 ぎろん される。
アインシュタイン以後 いご 、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん 以外 いがい の重力 じゅうりょく 理論 りろん も、数多 かずおお く提案 ていあん されているが、現在 げんざい までにほとんどが過去 かこ の観測 かんそく 結果 けっか を照合 しょうごう した上 うえ で棄却 ききゃく されている。実質 じっしつ 的 てき に対抗 たいこう 馬 ば となるのは、カール・ブランス とロバート・H・ディッケ によるブランス・ディッケ重力 じゅうりょく 理論 りろん であるが、現在 げんざい の観測 かんそく では、ブランス・ディッケ理論 りろん のパラメーターは、ほとんど一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん に近 ちか づけなくてはならず、両者 りょうしゃ を区別 くべつ することが難 むずか しいほどである。量子 りょうし 論 ろん と一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん の統一 とういつ という物理 ぶつり 学 がく の試 こころ みは未 いま だ進行 しんこう 中 ちゅう であるものの、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん を積極 せっきょく 的 てき に否定 ひてい する観測 かんそく 事実 じじつ ・実験 じっけん 事実 じじつ は一 ひと つもない。他 た に提案 ていあん されたどの重力 じゅうりょく 理論 りろん よりも一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん は単純 たんじゅん な形 かたち をしていることから、重力 じゅうりょく は一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん で記述 きじゅつ される、と考 かんが えるのが現代 げんだい の物理 ぶつり 学 がく である。
万有引力 ばんゆういんりょく の法則 ほうそく との関係 かんけい
編集 へんしゅう
アインシュタイン方程式 ほうていしき は微分 びぶん 方程式 ほうていしき として与 あた えられているため局所 きょくしょ 的 てき な理論 りろん ではあるが、ちょうど電磁気 でんじき 学 がく における局所 きょくしょ 的 てき なマクスウェル方程式 ほうていしき から大域 たいいき 的 てき なクーロンの法則 ほうそく を導 みちび くことができるように、アインシュタイン方程式 ほうていしき は静的 せいてき なニュートンの万有引力 ばんゆういんりょく の法則 ほうそく を包含 ほうがん している。万有引力 ばんゆういんりょく の法則 ほうそく との主 おも な違 ちが いは次 つぎ の3点 てん である。
重力 じゅうりょく は瞬時 しゅんじ に伝 つた わるのではなく光 ひかり と同 おな じ速 はや さ(光速 こうそく )で伝 つた わる。
重力 じゅうりょく から重力 じゅうりょく が発生 はっせい する(非線形 ひせんけい 相互 そうご 作用 さよう )。
質量 しつりょう を持 も つ物体 ぶったい の加速 かそく 運動 うんどう により、重力 じゅうりょく 波 は が放射 ほうしゃ される。
ここで、3.は荷電 かでん 粒子 りゅうし が加速 かそく 運動 うんどう することにより電磁波 でんじは が放射 ほうしゃ されることと類似 るいじ している。これは、万有引力 ばんゆういんりょく の法則 ほうそく やクーロンの法則 ほうそく に、運動 うんどう する対象 たいしょう の自己 じこ の重力 じゅうりょく や電荷 でんか の効果 こうか を取 と り入 い れていることに対応 たいおう している。
特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん との関係 かんけい
編集 へんしゅう
後述 こうじゅつ するように、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん における時空 じくう 間 あいだ は数学 すうがく 的 てき には各 かく 点 てん の接 せっ ベクトル空間 くうかん にミンコフスキー計量 けいりょう をいれた4次元 じげん 多様 たよう 体 たい (ローレンツ多様 たよう 体 たい )で、アインシュタイン方程式 ほうていしき を満 み たすものである。
よって各 かく 点 てん の接 せっ ベクトル空間 くうかん は、特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん に従 したが うミンコフスキー空間 くうかん であり、接 せっ ベクトル空間 くうかん とは、数学 すうがく 的 てき にはテイラー展開 てんかい の一 いち 次 じ の項 こう に対応 たいおう している。
これはすなわち、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の側 がわ からみた場合 ばあい 、特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん とは時空 じくう 間 あいだ 上 じょう に任意 にんい に固定 こてい された一 いち 点 てん の近傍 きんぼう において、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん を一 いち 次 じ 近似 きんじ したものである事 こと を意味 いみ している。なお、(宇宙 うちゅう 項 こう のない)アインシュタイン方程式 ほうていしき に登場 とうじょう する各項 かくこう (曲 きょく 率 りつ やエネルギー・運動 うんどう 量 りょう テンソル )は、二 に 次 じ の微分 びぶん に関 かか わる項 こう であり、一 いち 次 じ 近似 きんじ である特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん には登場 とうじょう しない。
逆 ぎゃく に特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の側 がわ から一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん をみると、特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の数学 すうがく 的 てき 定式 ていしき 化 か であるミンコフスキー空間 くうかん は、全 すべ ての点 てん に同一 どういつ のミンコフスキー計量 けいりょう をいれた平坦 へいたん なローレンツ多様 たよう 体 たい である。
このローレンツ多様 たよう 体 たい 上 じょう では曲 きょく 率 りつ は全 ぜん 点 てん でゼロであるので、この事実 じじつ を(宇宙 うちゅう 項 こう のない)アインシュタイン方程式 ほうていしき に代入 だいにゅう すると、この空間 くうかん ではエネルギー・運動 うんどう 量 りょう テンソル がゼロである事 こと を意味 いみ する。
また、平坦 へいたん なローレンツ多様 たよう 体 たい 上 じょう では共 きょう 変 へん 微分 びぶん と通常 つうじょう の微分 びぶん は一致 いっち するので、全 すべ ての線形 せんけい 座標 ざひょう でクリストッフェル記号 きごう は消 き えている。クリストッフェル記号 きごう は物理 ぶつり 学的 がくてき には重力 じゅうりょく に対応 たいおう しているので、これはすなわち全 すべ ての線形 せんけい 座標 ざひょう で重力 じゅうりょく がゼロである事 こと を意味 いみ する。
以上 いじょう より特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん とは、エネルギー・運動 うんどう 量 りょう テンソルの影響 えいきょう が無視 むし できる程度 ていど に、すなわち宇宙 うちゅう 全体 ぜんたい に比 くら べれば微小 びしょう な領域 りょういき における理論 りろん であり、空間 くうかん の曲 きょく 率 りつ も領域 りょういき の微小 びしょう さゆえに無視 むし できる場合 ばあい の理論 りろん であると言 い える。
量子 りょうし 論 ろん は一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん と同様 どうよう に物理 ぶつり 学 がく の基本 きほん 的 てき な理論 りろん の1つであると考 かんが えられている。しかし、一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん と量子 りょうし 論 ろん を整合 せいごう させた理論 りろん (量子 りょうし 重力 じゅうりょく 理論 りろん )は未 いま だに完成 かんせい していない。現在 げんざい 、人類 じんるい の知 し っているあらゆる物理 ぶつり 法則 ほうそく は全 すべ て場 ば の量子 りょうし 論 ろん および一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん のどちらかから導 みちび くことができる。そのため、その2つを導 みちび くことのできる量子 りょうし 重力 じゅうりょく 理論 りろん はこの世 よ の全 すべ てを説明 せつめい できる万物 ばんぶつ の理論 りろん とも呼 よ ばれている。
基本 きほん 的 てき に相対性理論 そうたいせいりろん で取 と り扱 あつか われる重力 じゅうりょく は、4つの基本 きほん 相互 そうご 作用 さよう のうち他 た の3つの力 ちから に比 くら べて圧倒的 あっとうてき に小 ちい さく、天体 てんたい 物理 ぶつり 学 がく や天文学 てんもんがく で取 と り扱 あつか う天文 てんもん 現象 げんしょう のような巨視的 きょしてき なレベル以下 いか の大 おお きさでは無視 むし できる。逆 ぎゃく に、量子 りょうし 論 ろん 効果 こうか は量子 りょうし 化学 かがく や量子力学 りょうしりきがく 、素粒子 そりゅうし 物理 ぶつり 学 がく で取 と り扱 あつか う分子 ぶんし や原子 げんし 、クォーク などのような微視的 びしてき なレベル以上 いじょう の大 おお きさでは無視 むし できる。よって相対性理論 そうたいせいりろん を適用 てきよう する場面 ばめん と量子 りょうし 論 ろん を適用 てきよう する場面 ばめん は重 かさ ならないためほとんどの場合 ばあい この両者 りょうしゃ を考慮 こうりょ する必要 ひつよう はない。しかし、ブラックホール やビッグバン などの大 だい 質量 しつりょう かつ微視的 びしてき なスケールの現象 げんしょう を説明 せつめい するためにはこの両者 りょうしゃ を併用 へいよう する必要 ひつよう があるが、相対 そうたい 論 ろん と量子 りょうし 論 ろん を従来 じゅうらい 用 もち いられてきた摂動 せつどう 法 ほう を用 もち いて統合 とうごう しようとすると、両者 りょうしゃ の間 あいだ に深刻 しんこく な対立 たいりつ が生 しょう じてしまい、並立 へいりつ させることが出来 でき ない。従来 じゅうらい の量子 りょうし 論 ろん では摂動 せつどう 展開 てんかい 時 じ に生 しょう じる紫 むらさき 外 がい 発散 はっさん (英語 えいご 版 ばん ) を繰 く り込 こ み によって解消 かいしょう しているが、重力 じゅうりょく にはこの手法 しゅほう が適用 てきよう できないのである。
この2つの理論 りろん の対立 たいりつ を折衷 せっちゅう する様々 さまざま な意見 いけん やその立証 りっしょう が試 こころ みられているが、未 いま だ決定的 けっていてき な理論 りろん は出 で てきていない。
曲 ま がった時空 じくう 上 じょう の場 ば の理論 りろん (Quantum field theory in curved spacetime)
編集 へんしゅう
一般 いっぱん に場 ば の量子 りょうし 論 ろん においては平坦 へいたん なミンコフスキー時空 じくう における粒子 りゅうし を扱 あつか うが、重力 じゅうりょく の効果 こうか を近似 きんじ 的 てき (半 はん 古典 こてん 的 てき )に背景 はいけい 時空 じくう (曲 ま がった時空 じくう )として導入 どうにゅう することにより、場 ば の量子 りょうし 論 ろん に曲 ま がった時空 じくう の効果 こうか を近似 きんじ 的 てき に取 と り入 い れた理論 りろん である。
重力 じゅうりょく 子 こ の影響 えいきょう を背景 はいけい 時空 じくう として近似 きんじ しているため、強 つよ い重力 じゅうりょく 場 じょう のもとでは時空 じくう を完全 かんぜん に量子 りょうし 化 か したような量子 りょうし 重力 じゅうりょく 理論 りろん に修正 しゅうせい されるべきである。欠点 けってん としては、時空 じくう が静的 せいてき なものであるため完全 かんぜん には相対 そうたい 論 ろん 的 てき ではない。
ホーキング放射 ほうしゃ はこの理論 りろん のもとで予測 よそく された。
超 ちょう 弦 つる 理論 りろん は、従来 じゅうらい の量子 りょうし 論 ろん では大 おお きさを持 も たない点 てん と仮定 かてい されている粒子 りゅうし を、長 なが さを持 も つ「ひも」と仮定 かてい しなおすことにより紫 むらさき 外 がい 発散 はっさん の問題 もんだい を解消 かいしょう している。理論 りろん 的 てき な探求 たんきゅう は進 すす んでいるものの、実験 じっけん 的 てき 裏付 うらづ けが非常 ひじょう に乏 とぼ しく未 いま だ仮説 かせつ の域 いき を脱 だっ していない。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の内容 ないよう
編集 へんしゅう
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん は、次 つぎ の仮定 かてい を出発 しゅっぱつ 点 てん にする。あくまでも仮定 かてい であり、これが基準 きじゅん 点 てん とするものではない。
一般 いっぱん 相対性原理 そうたいせいげんり
物理 ぶつり 学 がく の法則 ほうそく は、任意 にんい の仕方 しかた で運動 うんどう している座標 ざひょう 系 けい に関 かん していつも成立 せいりつ する
一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい の仮定 かてい
自然 しぜん の一般 いっぱん 法則 ほうそく [ 注 ちゅう 6] は、すべての座標 ざひょう 系 けい に対 たい して成 な り立 た つ、すなわち任意 にんい の座標 ざひょう 系 けい に対 たい して(一般 いっぱん )共 きょう 変 へん な方程式 ほうていしき で表 あらわ されなくてはならない。
局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい における特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の成立 せいりつ 仮定 かてい
無限 むげん に小 ちい さな4次元 じげん 領域 りょういき (4次元 じげん の擬 なずらえ リーマン多様 たよう 体 たい のある点 てん における局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい または接 せっ 空間 くうかん )に対 たい しては、座標 ざひょう を適当 てきとう に選 えら べば、特殊 とくしゅ の意味 いみ での相対性理論 そうたいせいりろん が原則 げんそく として成 な り立 た つ[ 注 ちゅう 7] 。時空 じくう のある点 てん における基本 きほん 計量 けいりょう テンソル g i j は、その座標 ざひょう 系 けい に関 かん する重力 じゅうりょく 場 じょう を記述 きじゅつ する。基本 きほん 計量 けいりょう テンソルの行列 ぎょうれつ 式 しき g は常 つね に有限 ゆうげん の負 まけ の値 ね を持 も つ。
測地 そくち 線 せん の仮定 かてい
自由 じゆう 質点 しつてん 運動 うんどう は測地 そくち 線 せん である
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん 成立 せいりつ の歴史 れきし 上 じょう 、等価 とうか 原理 げんり (equivalence principle ) はスタートポイントとして考 かんが えられたが、数学 すうがく 的 てき に重要 じゅうよう であるのは、一般 いっぱん 相対性原理 そうたいせいげんり (一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい の仮定 かてい と局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい における特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の成立 せいりつ 仮定 かてい )である。
時空 じくう モデルとしてのリーマン多様 たよう 体 たい に求 もと められる条件 じょうけん
編集 へんしゅう
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん においては、重力 じゅうりょく のある空間 くうかん を光 ひかり が通過 つうか するとき光 ひかり は曲 ま がる(光 ひかり のとる経路 けいろ が伸 の びる)ことから、時空 じくう は、重力 じゅうりょく 場 じょう を基本 きほん 計量 けいりょう テンソルとする4次元 じげん のリーマン多様 たよう 体 たい として扱 あつか われる[ 注 ちゅう 8] 。可 か 微分 びぶん 多様 たよう 体 たい M がリーマン多様 たよう 体 たい であるとは、M 上 うえ の各 かく 点 てん に基本 きほん 計量 けいりょう テンソル g ij (x ) が与 あた えられているものを言 い う。なお、局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) の四 よっ つの座標 ざひょう の内 うち 、x 0 は適当 てきとう な測定 そくてい 単位 たんい で測 はか られた時間 じかん 座標 ざひょう 、x 1 , x 2 , x 3 は空間 くうかん 座標 ざひょう とする。すなわち、x 0 = ct , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z であるとする。さらに、リーマン多様 たよう 体 たい 上 じょう に定義 ていぎ されるテンソル概念 がいねん に対 たい して、上下 じょうげ に現 あらわ れる同 おな じ添字 そえじ については常 つね に和 わ を取 と るというアインシュタインの縮 ちぢみ 約 やく 記法 きほう を用 もち いる。
一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい の仮定 かてい
リーマン多様 たよう 体 たい を導入 どうにゅう することで、一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい の仮定 かてい は、
ある自然 しぜん の一般 いっぱん 法則 ほうそく がある座標 ざひょう 系 けい で一 ひと つのテンソルの成分 せいぶん がすべてゼロになる形 かたち で書 か き表 あらわ すことができるとき、すなわち、
(テンソルの成分 せいぶん ) = 0
とできるとき、その法則 ほうそく は一般 いっぱん 共 ども 変性 へんせい を持 も つ
というように、リーマン多様 たよう 体 たい 上 じょう で定義 ていぎ されるテンソル概念 がいねん の性質 せいしつ として定式 ていしき 化 か できるようになる。
局所 きょくしょ 座標 ざひょう 系 けい における特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん の成立 せいりつ 仮定 かてい
リーマン幾何 きか 学 がく によれば、リーマン多様 たよう 体 たい 上 じょう の無限 むげん に近 ちか い2点 てん 間 あいだ の距離 きょり ds は
d
s
2
=
g
i
j
d
x
i
d
x
j
{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}
の平方 へいほう で与 あた えられる。この ds を4次元 じげん 空間 くうかん の無限 むげん に近 ちか い点 てん に属 ぞく する線 せん 素 もと (line element ) の大 おお きさと呼 よ ぶが、これは、特殊 とくしゅ 相対性理論 そうたいせいりろん が成 な り立 た つような座標 ざひょう 系 けい においては、ミンコフスキー が指摘 してき した4次元 じげん 空間 くうかん における不 ふ 変量 へんりょう
d
s
2
=
c
2
d
t
2
−
d
x
2
−
d
y
2
−
d
z
2
{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}
と一致 いっち するものでなくてはならない。すなわち、適当 てきとう な座標 ざひょう 変換 へんかん により、計量 けいりょう テンソル gij は、
g
t
t
=
1
,
g
x
x
=
g
y
y
=
g
z
z
=
−
1
{\displaystyle g_{tt}=1,~g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=-1}
[ 注 ちゅう 9]
行列 ぎょうれつ 形式 けいしき で描 か けば、
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}
となることが要請 ようせい される。これはより一般 いっぱん 的 てき な表現 ひょうげん として、有限 ゆうげん で常 つね に負 まけ の値 ね をもつ基本 きほん 計量 けいりょう テンソルの行列 ぎょうれつ 式 しき g = det(gij ) に対 たい する次 つぎ の条件 じょうけん
−
g
=
1
{\displaystyle {\sqrt {-g}}=1}
という形 かたち で条件 じょうけん として求 もと められる。
擬 なずらえ リーマン空間 くうかん における測地 そくち 線 せん (geodesic ) は、通常 つうじょう の計量 けいりょう 空間 くうかん における定義 ていぎ と同様 どうよう に、2点 てん 間 あいだ の長 なが さを最小 さいしょう にする曲線 きょくせん として定義 ていぎ される。曲線 きょくせん の長 なが さは、
l
(
γ がんま
)
=
∫
γ がんま
±
g
μ みゅー
ν にゅー
d
x
μ みゅー
d
x
ν にゅー
=
∫
γ がんま
±
g
μ みゅー
ν にゅー
d
x
μ みゅー
d
t
d
x
ν にゅー
d
t
d
t
{\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\,dt}
で与 あた えられる。ここでの積分 せきぶん は、曲線 きょくせん γ がんま (t ) に沿 そ うものとする。ルート内 ない の符号 ふごう の+は空間 くうかん 的 てき な曲線 きょくせん に対 たい して、負 まけ の符号 ふごう は時間 じかん 的 てき な曲線 きょくせん に対 たい して適用 てきよう し、いずれの場合 ばあい も長 なが さが実数 じっすう になるようにする。
この長 なが さの極 きょく 値 ち をもたらす条件 じょうけん を導出 どうしゅつ すると、測地 そくち 線 せん の方程式 ほうていしき が得 え られる。局所 きょくしょ 座標 ざひょう で表現 ひょうげん すると、方程式 ほうていしき は、
d
2
x
μ みゅー
d
t
2
+
Γ がんま
ν にゅー
ρ ろー
μ みゅー
d
x
ν にゅー
d
t
d
x
ρ ろー
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\nu \rho }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dt}}{\frac {dx^{\rho }}{dt}}=0}
となる。ここで、x μ みゅー (t ) は、曲線 きょくせん γ がんま (t ) の座標 ざひょう であり、Γ がんま μ みゅー ν にゅー ρ ろー は先 さき に登場 とうじょう したクリストッフェル記号 きごう である。座標 ざひょう の常微分 じょうびぶん 方程式 ほうていしき として得 え られるこの式 しき は、初期 しょき 値 ち と初 はつ 速度 そくど を与 あた えれば解 かい を一意 いちい に決定 けってい する。この式 しき は、曲 ま がった時空 じくう における光 ひかり ・粒子 りゅうし の運動 うんどう 方程式 ほうていしき である。
時空 じくう の曲 きょく 率 りつ は、レヴィ・チヴィタ接続 せつぞく ∇ が定義 ていぎ するリーマン曲 きょく 率 りつ テンソル (Riemann tensor ) R ρ ろー σ しぐま μ みゅー ν にゅー で表現 ひょうげん される。局所 きょくしょ 座標 ざひょう 表現 ひょうげん では、次 つぎ のように書 か ける。
R
ρ ろー
σ しぐま
μ みゅー
ν にゅー
=
∂
∂
x
μ みゅー
Γ がんま
ρ ろー
ν にゅー
σ しぐま
−
∂
∂
x
ν にゅー
Γ がんま
ρ ろー
μ みゅー
σ しぐま
+
Γ がんま
ρ ろー
μ みゅー
λ らむだ
Γ がんま
λ らむだ
ν にゅー
σ しぐま
−
Γ がんま
ρ ろー
ν にゅー
λ らむだ
Γ がんま
λ らむだ
μ みゅー
σ しぐま
{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }}
物理 ぶつり 的 てき には、このリーマン曲 きょく 率 りつ テンソルから、2成分 せいぶん を縮 ちぢみ 約 やく したリッチテンソル (Ricci tensor ) Rμ みゅー ν にゅー と、さらに添字 そえじ を縮 ちぢみ 約 やく したリッチスカラー曲 きょく 率 りつ (Ricci scalar ) R
R
μ みゅー
ν にゅー
=
R
ρ ろー
μ みゅー
ρ ろー
ν にゅー
{\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\rho }}_{\mu \rho \nu }}
R
=
g
μ みゅー
ν にゅー
R
μ みゅー
ν にゅー
{\displaystyle R_{}^{}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}
を考 かんが えればよく、さらにその組 く み合 あ わせである、
G
μ みゅー
ν にゅー
=
R
μ みゅー
ν にゅー
−
1
2
R
g
μ みゅー
ν にゅー
{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}
が物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ で定 さだ まることをアインシュタインが見 み いだした。この最後 さいご の組 く み合 あ わせ Gμ みゅー ν にゅー をアインシュタイン・テンソル (Einstein tensor ) と呼 よ ぶ。
アインシュタイン方程式 ほうていしき とその特徴 とくちょう
編集 へんしゅう
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の基本 きほん 方程式 ほうていしき は、
G
μ みゅー
ν にゅー
+
Λ らむだ
g
μ みゅー
ν にゅー
=
κ かっぱ
T
μ みゅー
ν にゅー
{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}
と表 あらわ され、アインシュタイン方程式 ほうていしき と呼 よ ばれる。ここで Gμ みゅー ν にゅー はアインシュタインテンソル、gμ みゅー ν にゅー は計量 けいりょう テンソル、Λ らむだ は宇宙 うちゅう 項 こう 、Tμ みゅー ν にゅー はエネルギー・運動 うんどう 量 りょう テンソル である。非 ひ 相対 そうたい 論 ろん 的 てき 極限 きょくげん でニュートンの重力 じゅうりょく 理論 りろん に収束 しゅうそく することから、右辺 うへん の比例 ひれい 係数 けいすう κ かっぱ (アインシュタインの定数 ていすう )は、
κ かっぱ
=
8
π ぱい
G
c
4
{\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}
となる。G は万有引力 ばんゆういんりょく 定数 ていすう 、 c は光速 こうそく である。4次元 じげん 空間 くうかん を考 かんが えれば、テンソルは対称 たいしょう なので、アインシュタイン方程式 ほうていしき は、10本 ほん の方程式 ほうていしき からなる。
アインシュタイン方程式 ほうていしき の左辺 さへん は時空 じくう の曲 きょく 率 りつ を表 あらわ し、右辺 うへん は物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ を表 あらわ す。右辺 うへん の物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ の項 こう により時空 じくう が曲 きょく 率 りつ を持 も ち、その曲 きょく 率 りつ の影響 えいきょう で次 つぎ の瞬間 しゅんかん の物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ が定 さだ まる、という構造 こうぞう である。真空 しんくう の時空 じくう であれば、右辺 うへん をゼロとすればよい。例 たと えば、重力 じゅうりょく 以外 いがい の力 ちから を考 かんが えないと、次 つぎ のようになる。
右辺 うへん のエネルギー運動 うんどう 量 りょう テンソルが増加 ぞうか の場合 ばあい (アインシュタインの特殊 とくしゅ 相対 そうたい 論 ろん によるとエネルギーと質量 しつりょう は等価 とうか であるから、エネルギー運動 うんどう 量 りょう テンソルの増加 ぞうか は質量 しつりょう の増加 ぞうか を意味 いみ する)、左辺 さへん も増加 ぞうか しなければならない。これは時空 じくう の曲 きょく 率 りつ が増加 ぞうか することを意味 いみ する。アインシュタインの解釈 かいしゃく によると重力 じゅうりょく とは時空 じくう の湾曲 わんきょく によるものであったから、曲 きょく 率 りつ の増加 ぞうか は重力 じゅうりょく の増大 ぞうだい を表 あらわ す。右辺 うへん のエネルギー運動 うんどう 量 りょう テンソルの増大 ぞうだい は質量 しつりょう が増大 ぞうだい する事 こと を表 あらわ し、この方程式 ほうていしき によると、それは左辺 さへん の時空 じくう の曲 きょく 率 りつ 、つまり重力 じゅうりょく がさらに増大 ぞうだい することを意味 いみ する。
すなわち、重力 じゅうりょく は非線形 ひせんけい で、重力 じゅうりょく 自身 じしん は自己 じこ 増大 ぞうだい してゆく。通常 つうじょう の恒星 こうせい のモデルでは、核 かく 融合 ゆうごう による、生 しょう じる光 ひかり (電磁波 でんじは )の輻射 ふくしゃ 圧 あつ とガスによる圧力 あつりょく が、重力 じゅうりょく と釣 つ り合 あ うように恒星 こうせい の半径 はんけい が決 き まる。星 ほし が燃 も え尽 つ きて支 ささ える力 ちから がなくなると、重力 じゅうりょく 崩壊 ほうかい し、電子 でんし の縮退 しゅくたい 圧 あつ で支 ささ えられる白色 はくしょく 矮星 か、中性子 ちゅうせいし の縮退 しゅくたい 圧 あつ で支 ささ えられる中性子星 ちゅうせいしせい 、あるいは、ブラックホール になることが予測 よそく される。
アインシュタイン方程式 ほうていしき の数学 すうがく 的 てき な特徴 とくちょう は、次 つぎ のような点 てん にある。
アインシュタイン方程式 ほうていしき の厳密 げんみつ 解 かい
編集 へんしゅう
アインシュタイン方程式 ほうていしき 自身 じしん に何 なん ら近似 きんじ することなく得 え られる解析 かいせき 解 かい のことを厳密 げんみつ 解 かい という。良 よ く知 し られている厳密 げんみつ 解 かい に、次 つぎ のものがある。
シュヴァルツシルト解 かい
カール・シュヴァルツシルト が1916年 ねん に発表 はっぴょう した解 かい 。真空 しんくう で球 たま 対称 たいしょう を仮定 かてい した解 かい で、ブラックホールを表 あらわ す最 もっと も単純 たんじゅん な解 かい 。
カー解 かい
ロイ・カー が1962年 ねん 発表 はっぴょう した解 かい 。真空 しんくう で軸 じく 対称 たいしょう 時空 じくう を仮定 かてい した解 かい で、回転 かいてん するブラックホールを表 あらわ す最 もっと も単純 たんじゅん な解 かい 。
ドジッター解 かい
ウィレム・ド・ジッター が1917年 ねん に発表 はっぴょう した解 かい 。真空 しんくう で宇宙 うちゅう 項 こう がある場合 ばあい の膨張 ぼうちょう 宇宙 うちゅう 解 かい 。ド・ジッター宇宙 うちゅう を表 あらわ す。
フリードマン・ロバートソン・ウォーカー解 かい
アレクサンドル・フリードマン 、ハワード・ロバートソン 、アーサー・ウォーカー が1922年 ねん に発表 はっぴょう した解 かい 。時空 じくう の球 たま 対称 たいしょう 性 せい を仮定 かてい し、物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ を一様 いちよう 等 ひとし 方 かた な流体 りゅうたい 近似 きんじ した解 かい で、ビッグバン膨張 ぼうちょう 宇宙 うちゅう を表 あらわ す解 かい 。
ゲーデル解 かい
クルト・ゲーデル が1949年 ねん に発表 はっぴょう した解 かい 。物質 ぶっしつ 分布 ぶんぷ を規定 きてい するエネルギー・運動 うんどう 量 りょう テンソル を、回転 かいてん する一様 いちよう なダスト粒子 りゅうし として仮定 かてい し、ゼロでない宇宙 うちゅう 項 こう を仮定 かてい した解 かい で、ゲーデルの回転 かいてん 宇宙 うちゅう を表 あらわ す解 かい 。
現在 げんざい でも、新 あたら しい解 かい (解析 かいせき 解 かい )を発見 はっけん すれば、発見 はっけん 者 しゃ の名前 なまえ がつく。ただし、同 おな じ物理 ぶつり 的 てき な時空 じくう であっても、異 こと なる座標 ざひょう 表現 ひょうげん を用 もち いて、異 こと なる解 かい のように表現 ひょうげん されることがあるので、注意 ちゅうい することが必要 ひつよう である。
一般 いっぱん 相対性理論 そうたいせいりろん の応用 おうよう
編集 へんしゅう
自動車 じどうしゃ などの位置 いち をリアルタイムに測定 そくてい 表示 ひょうじ するカーナビゲーションシステム は、GNSS の代表 だいひょう といえるGPS などを利用 りよう しており、GPS衛星 えいせい などに搭載 とうさい された原子 げんし 時計 とけい に基 もと づき生成 せいせい される航法 こうほう 信号 しんごう に依存 いぞん している。
GPS衛星 えいせい からの信号 しんごう を受信 じゅしん する装置 そうち では、さまざまな要因 よういん による補正 ほせい を行 おこな うが、GPS衛星 えいせい の時計 とけい との同期 どうき に関 かん するものとして、地表 ちひょう に対 たい して高速 こうそく で運動 うんどう するGPS衛星 えいせい の、特殊 とくしゅ 相対 そうたい 論 ろん 効果 こうか による地表 ちひょう からみた時間 じかん の遅 おく れ 、および地球 ちきゅう の重力 じゅうりょく 場 じょう による地上 ちじょう の時間 じかん の遅 おく れ、い換 いか えれば一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん 効果 こうか による衛星 えいせい の時計 とけい の進 すす みが含 ふく まれる[ 注 ちゅう 10] 。
GPS衛星 えいせい の軌道 きどう 速度 そくど は秒速 びょうそく 約 やく 4キロメートル と高速 こうそく であるため、特殊 とくしゅ 相対 そうたい 論 ろん によって時間 じかん の進 すす み方 かた がわずかではあるが遅 おそ くなる。一方 いっぽう 、GPS衛星 えいせい の高度 こうど は約 やく 2万 まん キロメートルで、地球 ちきゅう の重力 じゅうりょく 場 じょう の影響 えいきょう が小 ちい さいことから、一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん によって地上 ちじょう よりも時間 じかん の進 すす み方 かた が速 はや くなる。このように特殊 とくしゅ 相対 そうたい 論 ろん と一般 いっぱん 相対 そうたい 論 ろん で互 たが いに逆 ぎゃく の効果 こうか をもたらすことになる。この相対 そうたい 論 ろん 的 てき 補正 ほせい をせずに1日 にち 放置 ほうち すると、位置 いち 情報 じょうほう が約 やく 11キロメートルもずれてしまうほどの時刻 じこく 差 さ になることから、相対 そうたい 論 ろん 的 てき 補正 ほせい はGPSシステムの運用 うんよう に不可欠 ふかけつ である[ 9] 。