一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん
	アインシュタイン方程式ほうていしき
	入門にゅうもん; 数学すうがく的てき定式ていしき化か; 関連かんれん書籍しょせき
基本きほん概念がいねん
	特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろん; 等価とうか原理げんり; 世界せかい線せん · リーマン幾何きか学がく
現象げんしょう
	ケプラー問題もんだい（英語えいご版ばん） · レンズ · 重力じゅうりょく波は; 慣性かんせい系けいの引ひきずり · 測地そくち効果こうか（英語えいご版ばん）; 事象じしょうの地平ちへい面めん · 特異とくい点てん ; ブラックホール
方程式ほうていしき
	線形せんけい化か重力じゅうりょく（英語えいご版ばん）; PPN形式けいしき; アインシュタイン方程式ほうていしき; フリードマン方程式ほうていしき; ADM形式けいしき（英語えいご版ばん）; BSSN形式けいしき（英語えいご版ばん）
高度こうどな理論りろん
	カルツァ＝クライン理論りろん; 量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん
解かい（英語えいご版ばん）
	シュヴァルツシルト ; ライスナー・ノルドシュトロム · ゲーデル; カー · カー・ニューマン; カスナー（英語えいご版ばん） · Taub-NUT（英語えいご版ばん） · ミルン・モデル（英語えいご版ばん）; ロバートソン・ウォーカー · pp波は（英語えいご版ばん）
科学かがく者しゃ
	アインシュタイン · ミンコフスキー · エディントン; ルメートル · シュヴァルツシルト; ロバートソン · カー · フリードマン; チャンドラセカール · ホーキング;
	表ひょう; 話はなし; 編へん; 歴れき;

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一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん（いっぱんそうたいせいりろん、独どく: allgemeine Relativitätstheorie, 英えい: general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年ねんの特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんに続つづいて、それを発展はってんさせ1915年ねんから1916年ねんにかけて発表はっぴょうした物理ぶつり学がくの理論りろんである。一般いっぱん相対そうたい論ろん（いっぱんそうたいろん）

概要がいよう

重力じゅうりょく場じょうの概念がいねん図ず。中心ちゅうしんに近ちかづくほど重力じゅうりょくが大おおきい。

一般いっぱん相対性原理そうたいせいげんりと一般いっぱん共ども変性へんせい原理げんりおよび等価とうか原理げんりを理論りろん的てきな柱はしらとし、リーマン幾何きか学がくを数学すうがく的てき土台どだいとして構築こうちくされた古典こてん論ろん的てきな重力じゅうりょく場じょうの理論りろんであり、ロシアの物理ぶつり学者がくしゃのレフ・ランダウは一般いっぱん相対そうたい論ろんについて、現存げんそんする物理ぶつり学がくの理論りろんの中なかで最もっとも美うつくしい理論りろんだと述のべている^[1]。測地そくち線せんの方程式ほうていしきとアインシュタイン方程式ほうていしき（重力じゅうりょく場じょうの方程式ほうていしき）が帰結きけつである。時間じかんと空間くうかんを結むすびつけるこの理論りろんでは、アイザック・ニュートンによって万有引力ばんゆういんりょくとして説明せつめいされた現象げんしょうが、もはやニュートン力学りきがく的てきな意味いみでの力ちからではなく、時空じくう連続れんぞく体たいの歪ゆがみとして説明せつめいされる。

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんでは、次つぎのことが予測よそくされる。

重力じゅうりょくレンズ効果こうか: 重力じゅうりょく場じょう中ちゅうでは光ひかりが曲まがって進すすむこと。アーサー・エディントンは、1919年ねん5月がつ29日にちの日食にっしょくで、太陽たいようの近傍きんぼうを通とおる星ほしの光ひかりの曲まがり方かたがニュートン力学りきがくで予想よそうされるものの2倍ばいであることを観測かんそくで確たしかめ、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんが正ただしいことを示しめした。
水星すいせいの近日きんじつ点てんの移動いどう: ニュートン力学りきがくだけでは、水星すいせい軌道きどうのずれ（近日きんじつ点てん移動いどうの大おおきさ）の観測かんそく値ちの説明せつめいが不完全ふかんぜんだったが、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんが解決かいけつを与あたえ、太陽たいようの質量しつりょうによる時空じくう連続れんぞく体たいの歪ゆがみに原因げんいんがあることを示しめした。
重力じゅうりょく波は: 時空じくうの歪ゆがみ（重力じゅうりょく場じょう）の変動へんどうが伝播でんぱする現象げんしょう。線型せんけい近似きんじが有効ゆうこうな弱よわい重力じゅうりょく波はの伝播でんぱ速度そくどは光速こうそくである。アインシュタインによる予測よそくの発表はっぴょうから100年ねん目めの2016年ねんに、アメリカのLIGOにより直接ちょくせつ観測かんそくされた。
膨張ぼうちょう宇宙うちゅう: 時空じくうは膨張ぼうちょうまたは収縮しゅうしゅくし、定常ていじょうにとどまることがないこと。ビッグバン宇宙うちゅうを導みちびく。
ブラックホール: 限かぎられた空間くうかんに大おおきな質量しつりょうが集中しゅうちゅうすると、光ひかりさえ脱出だっしゅつできないブラックホールが形成けいせいされる。
重力じゅうりょくによる赤あか方偏かたへん移うつり: 強つよい重力じゅうりょく場じょうから放出ほうしゅつされる光ひかりの波長はちょうは元もとの波長はちょうより引ひき延のばされる現象げんしょう。
時間じかんの遅おくれ: 強つよい重力じゅうりょく場じょう中ちゅうで測はかる時間じかんの進すすみ（固有こゆう時間じかん）が、弱よわい重力じゅうりょく場じょう中ちゅうで測はかる時間じかんの進すすみより遅おそいこと。

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんは慣性かんせい力りょくと重力じゅうりょくを結むすび付つける等価とうか原理げんりのアイデアに基もとづいている。等価とうか原理げんりとは、簡単かんたんに言いえば、外部がいぶを観測かんそくできない箱はこの中なかの観測かんそく者しゃは、自みずからにかかる力ちからが、箱はこが一様いちように加速かそくされるために生しょうじている慣性かんせい力りょくなのか、箱はこの外部がいぶにある質量しつりょうにより生しょうじている重力じゅうりょくなのか、を区別くべつすることができないという主張しゅちょうである。

相対そうたい論ろんによれば空間くうかんは時空じくう連続れんぞく体たいであり、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんでは、その時空じくう連続れんぞく体たいが均質きんしつでなく歪いがんだものになる。つまり、質量しつりょうが時空じくう間あいだを歪いがませることによって、重力じゅうりょくが生しょうじると考かんがえる。そうだとすれば、質量しつりょうの周囲しゅういの時とき空間くうかんは歪いがんでいるために、光ひかりは直進ちょくしんせず、また時間じかんの流ながれも影響えいきょうを受うける。これが重力じゅうりょくレンズや時間じかんの遅おくれといった現象げんしょうとなって観測かんそくされることになる。また質量しつりょうが移動いどうする場合ばあい、その移動いどうにそって時空じくう間あいだの歪ゆがみが移動いどう・伝播でんぱしていくために重力じゅうりょく波はが生しょうじることも予測よそくされる。

アインシュタイン方程式ほうていしきから得えられる時空じくうは、ブラックホールの存在そんざいや膨張ぼうちょう宇宙うちゅうモデルなど、アインシュタイン自身じしんさえそれらの解釈かいしゃくを拒こばむほどの驚おどろくべき描像である。しかし、ブラックホールや初期しょき宇宙うちゅうの特異とくい点てんの存在そんざいも理論りろんとして内包ないほうしており、特異とくい点てんの発生はっせいは一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんそのものを破綻はたんさせてしまう。将来しょうらい的てきには量子りょうし重力じゅうりょく理論りろんが完成かんせいすることにより、この困難こんなんは解決かいけつされるものと期待きたいされている。

歴史れきし

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんが成立せいりつするまでの研究けんきゅう

1905年ねんに特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんを発表はっぴょうしたアインシュタインは、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんを加速度かそくど運動うんどうを含ふくめたものに拡張かくちょうする理論りろんの構築こうちくに取とり掛かかった。1907年ねんに、アインシュタイン自身じしんが「人生じんせいで最もっとも幸福こうふくな考かんがえ (the happiest thought of my life)」と振ふり返かえる「重力じゅうりょくによって生しょうじる加速度かそくどは観測かんそくする座標ざひょう系けいによって局所きょくしょ的てきにキャンセルすることができる」というアイディア（等価とうか原理げんり^[2]）を得える。光ひかりの進すすみ方かたと重力じゅうりょくに関かんする論文ろんぶんを1911年ねんに出版しゅっぱんした後のち、1912年ねんからは、重力じゅうりょく場じょうを時空じくうの幾何きか学がくとして取とり扱あつかう方法ほうほうを模索もさくした。このときにアインシュタインにリーマン幾何きか学がくの存在そんざいを教おしえたのが、数学すうがく者しゃマルセル・グロスマンであった。ただし、このときグロスマンは、「物理ぶつり学者がくしゃが深入ふかいりする問題もんだいではない」と助言じょげんしたとも伝つたえられている。1915年ねん-16年ねんには、これらの考かんがえが1組くみの微分びぶん方程式ほうていしき（アインシュタイン方程式ほうていしき）としてまとめられた。

この時期じきにアインシュタインが発表はっぴょうした一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんに関かんする論文ろんぶんは、以下いかの通とおり。

1911年ねん論文ろんぶん『光ひかりの伝播でんぱに対たいする重力じゅうりょくの影響えいきょう^{[注ちゅう 1]}』(Annalen der Physik, 35, 898-908)
1914年ねん論文ろんぶん『一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんおよび重力じゅうりょく論ろんの草案そうあん^{[注ちゅう 2]}』(ZS. f. Math. u. Phys., 62, 225-261)
1915年ねん論文ろんぶん『水星すいせいの近日きんじつ点てんの移動いどうに対たいする一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんによる説明せつめい^{[注ちゅう 3]}』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 831-839)
1916年ねん論文ろんぶん『一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの基礎きそ^{[注ちゅう 4]}』(Annalen der Physik (Germany), 49, 769-822)
1916年ねん論文ろんぶん『ハミルトンの原理げんりと一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん^{[注ちゅう 5]}』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 1111-1116)

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの発表はっぴょう後ご

アインシュタイン方程式ほうていしきの発表はっぴょう後ごは、その方程式ほうていしきを解とくことが研究けんきゅうの課題かだいとなった。

1916年ねんにカール・シュヴァルツシルトが、アインシュタイン方程式ほうていしきを球たま対称たいしょう・真空しんくうの条件じょうけんのもとに解とき、今日きょうブラックホールと呼よばれる時空じくうを表あらわすシュヴァルツシルト解かいを発見はっけんした。アインシュタイン自身じしんは、自みずから導みちびいた方程式ほうていしきから、重力じゅうりょく波はの概念がいねんを提案ていあんしたり、宇宙うちゅう全体ぜんたいに適用てきようすると動的どうてきな宇宙うちゅうが得えられてしまうことから、宇宙うちゅう項こうを新あらたに方程式ほうていしきに加くわえるなどの提案ていあんを行おこなっている。

1917年ねん論文ろんぶん『一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんについての宇宙うちゅう論ろん的てき考察こうさつ』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 142-152)
1918年ねん論文ろんぶん『重力じゅうりょく波はについて』(S.B. Preuss. Akad. Wiss., 154-167)

1919年ねん5月がつ29日にちの皆既かいき日食にっしょくの写真しゃしん。アーサー・エディントンが撮影さつえいした。

1919年ねん5月がつ29日にちにアーサー・エディントンが皆既かいき日食にっしょくを利用りようして、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんにより予測よそくされた太陽たいよう近傍きんぼうでの光ひかりの曲まがりを確認かくにんしたことにより、理論りろんの正ただしさが認みとめられ、世間せけんへの認知にんちが一気いっきに広ひろまった。

1922年ねんには、宇宙うちゅう膨張ぼうちょうを示唆しさするフリードマン・ロバートソンモデルが提案ていあんされるが、アインシュタイン自身じしんは、宇宙うちゅうが定常ていじょうであると信しんじていたので、現実げんじつ的てきな宇宙うちゅうの姿すがたであるとは受うけ入いれようとはしなかった。

しかし、1929年ねんには、エドウィン・ハッブルが、遠方えんぽうの銀河ぎんがの赤あか方偏かたへん移うつりより、宇宙うちゅうが膨張ぼうちょうしていることを示しめし、これにより、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの予測よそくする時空じくうの描像が正ただしいことが判明はんめいした。後のちにアインシュタインは宇宙うちゅう項こうの導入どうにゅうを取とり下さげ、「生涯しょうがい最大さいだいの失敗しっぱいだった (the biggest blunder in my career)」とジョージ・ガモフに語かたったという。

1931年ねん、スブラマニアン・チャンドラセカールは、白色はくしょく矮星の質量しつりょうに上限じょうげんがあることを理論りろん的てき計算けいさんによって示しめした。今日きょう、チャンドラセカール限界げんかいとして知しられる式しきは、万有引力ばんゆういんりょく定数ていすう $G$ 、プランク定数ていすう $h$ 、光速こうそく $c$ の3つの基本きほん定数ていすうを含ふくみ、古典こてん物理ぶつり・量子りょうし物理ぶつり双方そうほうの成果せいかを集大成しゅうたいせいしたものでもある。チャンドラセカールは、「星ほしの構造こうぞうと進化しんかにとって重要じゅうような物理ぶつり的てき過程かていの理論りろん的てき研究けんきゅう」の功績こうせきでノーベル物理ぶつり学がく賞しょう（1983年ねん）を受賞じゅしょうした。

1939年ねん、ロバート・オッペンハイマーとゲオルグ・ヴォルコフ (George Volkoff) は、中性子星ちゅうせいしせい形成けいせいのメカニズムを考察こうさつする過程かていで、重力じゅうりょく崩壊ほうかい現象げんしょうが起おきることを予測よそくした。

その後ごしばらく、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんは、「数学すうがく的てき産物さんぶつ」として実質じっしつ的てきな物理ぶつり研究けんきゅうの主流しゅりゅうからは外はずれている。

重力じゅうりょく波はは果はたして物理ぶつり的てきな実体じったいであるのかどうかという論争ろんそうや、アインシュタイン方程式ほうていしきの厳密げんみつ解かいの分類ぶんるい方法ほうほうなどの研究けんきゅうがしばらく続つづくが、1960年代ねんだいのパルサーの発見はっけんやブラックホール候補こうほ天体てんたいの発見はっけん、そしてロイ・カーによる回転かいてんブラックホール解かい（カー解かい）の発見はっけんを契機けいきに、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんは天文学てんもんがくの表おもて舞台ぶたいに登場とうじょうする。同どう時期じきに、スティーヴン・ホーキングとロジャー・ペンローズが特異とくい点てん定理ていりを発表はっぴょうし、数学すうがく的てき・物理ぶつり的てきに進展しんてんを始はじめると共ともに、ジョン・ホイーラーらが、古典こてん重力じゅうりょく・量子りょうし重力じゅうりょく双方そうほうに物理ぶつり的てきな描像を次々つぎつぎと提出ていしゅつし始はじめた。ワームホール（1957年ねん）やブラックホール（1967年ねん）という名前なまえを命名めいめいしたのは、ホイーラーである。

1974年ねん、ジョゼフ・テイラーとラッセル・ハルスは、連れん星ぼしパルサー PSR B1913+16 を発見はっけんした。連れん星ぼしの自転じてん周期しゅうきとパルスの放射ほうしゃ周期しゅうきを精密せいみつに観測かんそくすることによって、重力じゅうりょく波はにより、連れん星ほし系けいからエネルギーが徐々じょじょに運はこび去さられていることを示しめし、重力じゅうりょく波はの存在そんざいを間接かんせつ的てきに証明しょうめいした。この業績ぎょうせきにより、2人ふたりは「重力じゅうりょく研究けんきゅうの新あたらしい可能かのう性せいを開ひらいた新型しんがた連れん星ぼしパルサーの発見はっけん」としてノーベル物理ぶつり学がく賞しょう（1993年ねん）を受賞じゅしょうした。

重力じゅうりょく波はの直接ちょくせつ観測かんそくも試こころみられ続つづけ、2016年ねんに重力じゅうりょく波は検出けんしゅつ器き（レーザー干渉かんしょう計けい）により、連れん星ぼしブラックホールの合体がったいイベントによる重力じゅうりょく波はを初はじめて直接ちょくせつ検出けんしゅつしたことが発表はっぴょうされた。

また、宇宙うちゅう論ろん研究けんきゅうでは、ビッグバン宇宙うちゅうモデル（1947年ねん）が有力ゆうりょくとされているが、さらにその初期しょき宇宙うちゅうの膨張ぼうちょう則そくを修正しゅうせいしたインフレーション宇宙うちゅうモデル（1981年ねん）も正ただしいことが、2006年ねんのWMAP衛星えいせいによる宇宙うちゅう背景はいけい輻射ふくしゃの観測かんそくにより決定的けっていてきになったと考かんがえる人ひとも多おおい。最近さいきんは、高次こうじ元もと宇宙うちゅうモデルが脚光きゃっこうを浴あびているが、これらの宇宙うちゅうモデルは、いずれも一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんを基礎きそにして議論ぎろんされる。

アインシュタイン以後いご、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん以外いがいの重力じゅうりょく理論りろんも、数多かずおおく提案ていあんされているが、現在げんざいまでにほとんどが過去かこの観測かんそく結果けっかを照合しょうごうした上うえで棄却ききゃくされている。実質じっしつ的てきに対抗たいこう馬ばとなるのは、カール・ブランスとロバート・H・ディッケによるブランス・ディッケ重力じゅうりょく理論りろんであるが、現在げんざいの観測かんそくでは、ブランス・ディッケ理論りろんのパラメーターは、ほとんど一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんに近ちかづけなくてはならず、両者りょうしゃを区別くべつすることが難むずかしいほどである。量子りょうし論ろんと一般いっぱん相対そうたい論ろんの統一とういつという物理ぶつり学がくの試こころみは未いまだ進行しんこう中ちゅうであるものの、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんを積極せっきょく的てきに否定ひていする観測かんそく事実じじつ・実験じっけん事実じじつは一ひとつもない。他たに提案ていあんされたどの重力じゅうりょく理論りろんよりも一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんは単純たんじゅんな形かたちをしていることから、重力じゅうりょくは一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんで記述きじゅつされる、と考かんがえるのが現代げんだいの物理ぶつり学がくである。

物理ぶつり学がくとしての位置いちづけ

万有引力ばんゆういんりょくの法則ほうそくとの関係かんけい

アインシュタイン方程式ほうていしきは微分びぶん方程式ほうていしきとして与あたえられているため局所きょくしょ的てきな理論りろんではあるが、ちょうど電磁気でんじき学がくにおける局所きょくしょ的てきなマクスウェル方程式ほうていしきから大域たいいき的てきなクーロンの法則ほうそくを導みちびくことができるように、アインシュタイン方程式ほうていしきは静的せいてきなニュートンの万有引力ばんゆういんりょくの法則ほうそくを包含ほうがんしている。万有引力ばんゆういんりょくの法則ほうそくとの主おもな違ちがいは次つぎの3点てんである。

重力じゅうりょくは瞬時しゅんじに伝つたわるのではなく光ひかりと同おなじ速はやさ（光速こうそく）で伝つたわる。
重力じゅうりょくから重力じゅうりょくが発生はっせいする（非線形ひせんけい相互そうご作用さよう）。
質量しつりょうを持もつ物体ぶったいの加速かそく運動うんどうにより、重力じゅうりょく波はが放射ほうしゃされる。

ここで、3.は荷電かでん粒子りゅうしが加速かそく運動うんどうすることにより電磁波でんじはが放射ほうしゃされることと類似るいじしている。これは、万有引力ばんゆういんりょくの法則ほうそくやクーロンの法則ほうそくに、運動うんどうする対象たいしょうの自己じこの重力じゅうりょくや電荷でんかの効果こうかを取とり入いれていることに対応たいおうしている。

特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんとの関係かんけい

後述こうじゅつするように、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんにおける時空じくう間あいだは数学すうがく的てきには各かく点てんの接せっベクトル空間くうかんにミンコフスキー計量けいりょうをいれた4次元じげん多様たよう体たい（ローレンツ多様たよう体たい）で、アインシュタイン方程式ほうていしきを満みたすものである。

よって各かく点てんの接せっベクトル空間くうかんは、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんに従したがうミンコフスキー空間くうかんであり、接せっベクトル空間くうかんとは、数学すうがく的てきにはテイラー展開てんかいの一いち次じの項こうに対応たいおうしている。

これはすなわち、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの側がわからみた場合ばあい、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんとは時空じくう間あいだ上じょうに任意にんいに固定こていされた一いち点てんの近傍きんぼうにおいて、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんを一いち次じ近似きんじしたものである事ことを意味いみしている。なお、（宇宙うちゅう項こうのない）アインシュタイン方程式ほうていしきに登場とうじょうする各項かくこう（曲きょく率りつやエネルギー・運動うんどう量りょうテンソル）は、二に次じの微分びぶんに関かかわる項こうであり、一いち次じ近似きんじである特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんには登場とうじょうしない。

逆ぎゃくに特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの側がわから一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんをみると、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの数学すうがく的てき定式ていしき化かであるミンコフスキー空間くうかんは、全すべての点てんに同一どういつのミンコフスキー計量けいりょうをいれた平坦へいたんなローレンツ多様たよう体たいである。

このローレンツ多様たよう体たい上じょうでは曲きょく率りつは全ぜん点てんでゼロであるので、この事実じじつを（宇宙うちゅう項こうのない）アインシュタイン方程式ほうていしきに代入だいにゅうすると、この空間くうかんではエネルギー・運動うんどう量りょうテンソルがゼロである事ことを意味いみする。

また、平坦へいたんなローレンツ多様たよう体たい上じょうでは共きょう変へん微分びぶんと通常つうじょうの微分びぶんは一致いっちするので、全すべての線形せんけい座標ざひょうでクリストッフェル記号きごうは消きえている。クリストッフェル記号きごうは物理ぶつり学的がくてきには重力じゅうりょくに対応たいおうしているので、これはすなわち全すべての線形せんけい座標ざひょうで重力じゅうりょくがゼロである事ことを意味いみする。

以上いじょうより特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんとは、エネルギー・運動うんどう量りょうテンソルの影響えいきょうが無視むしできる程度ていどに、すなわち宇宙うちゅう全体ぜんたいに比くらべれば微小びしょうな領域りょういきにおける理論りろんであり、空間くうかんの曲きょく率りつも領域りょういきの微小びしょうさゆえに無視むしできる場合ばあいの理論りろんであると言いえる。

量子力学りょうしりきがくとの関係かんけい

詳細しょうさいは「量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん」を参照さんしょう

量子りょうし論ろんは一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんと同様どうように物理ぶつり学がくの基本きほん的てきな理論りろんの1つであると考かんがえられている。しかし、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんと量子りょうし論ろんを整合せいごうさせた理論りろん（量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん）は未いまだに完成かんせいしていない。現在げんざい、人類じんるいの知しっているあらゆる物理ぶつり法則ほうそくは全すべて場ばの量子りょうし論ろんおよび一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんのどちらかから導みちびくことができる。そのため、その2つを導みちびくことのできる量子りょうし重力じゅうりょく理論りろんはこの世よの全すべてを説明せつめいできる万物ばんぶつの理論りろんとも呼よばれている。

基本きほん的てきに相対性理論そうたいせいりろんで取とり扱あつかわれる重力じゅうりょくは、4つの基本きほん相互そうご作用さようのうち他たの3つの力ちからに比くらべて圧倒的あっとうてきに小ちいさく、天体てんたい物理ぶつり学がくや天文学てんもんがくで取とり扱あつかう天文てんもん現象げんしょうのような巨視的きょしてきなレベル以下いかの大おおきさでは無視むしできる。逆ぎゃくに、量子りょうし論ろん効果こうかは量子りょうし化学かがくや量子力学りょうしりきがく、素粒子そりゅうし物理ぶつり学がくで取とり扱あつかう分子ぶんしや原子げんし、クォークなどのような微視的びしてきなレベル以上いじょうの大おおきさでは無視むしできる。よって相対性理論そうたいせいりろんを適用てきようする場面ばめんと量子りょうし論ろんを適用てきようする場面ばめんは重かさならないためほとんどの場合ばあいこの両者りょうしゃを考慮こうりょする必要ひつようはない。しかし、ブラックホールやビッグバンなどの大だい質量しつりょうかつ微視的びしてきなスケールの現象げんしょうを説明せつめいするためにはこの両者りょうしゃを併用へいようする必要ひつようがあるが、相対そうたい論ろんと量子りょうし論ろんを従来じゅうらい用もちいられてきた摂動せつどう法ほうを用もちいて統合とうごうしようとすると、両者りょうしゃの間あいだに深刻しんこくな対立たいりつが生しょうじてしまい、並立へいりつさせることが出来できない。従来じゅうらいの量子りょうし論ろんでは摂動せつどう展開てんかい時じに生しょうじる紫むらさき外がい発散はっさん（英語えいご版ばん）を繰くり込こみによって解消かいしょうしているが、重力じゅうりょくにはこの手法しゅほうが適用てきようできないのである。

この2つの理論りろんの対立たいりつを折衷せっちゅうする様々さまざまな意見いけんやその立証りっしょうが試こころみられているが、未いまだ決定的けっていてきな理論りろんは出でてきていない。

曲まがった時空じくう上じょうの場ばの理論りろん (Quantum field theory in curved spacetime)

一般いっぱんに場ばの量子りょうし論ろんにおいては平坦へいたんなミンコフスキー時空じくうにおける粒子りゅうしを扱あつかうが、重力じゅうりょくの効果こうかを近似きんじ的てき（半はん古典こてん的てき）に背景はいけい時空じくう（曲まがった時空じくう）として導入どうにゅうすることにより、場ばの量子りょうし論ろんに曲まがった時空じくうの効果こうかを近似きんじ的てきに取とり入いれた理論りろんである。

重力じゅうりょく子この影響えいきょうを背景はいけい時空じくうとして近似きんじしているため、強つよい重力じゅうりょく場じょうのもとでは時空じくうを完全かんぜんに量子りょうし化かしたような量子りょうし重力じゅうりょく理論りろんに修正しゅうせいされるべきである。欠点けってんとしては、時空じくうが静的せいてきなものであるため完全かんぜんには相対そうたい論ろん的てきではない。

ホーキング放射ほうしゃはこの理論りろんのもとで予測よそくされた。

超ちょう弦つる理論りろん

詳細しょうさいは「超ちょう弦つる理論りろん」を参照さんしょう

超ちょう弦つる理論りろんは、従来じゅうらいの量子りょうし論ろんでは大おおきさを持もたない点てんと仮定かていされている粒子りゅうしを、長ながさを持もつ「ひも」と仮定かていしなおすことにより紫むらさき外がい発散はっさんの問題もんだいを解消かいしょうしている。理論りろん的てきな探求たんきゅうは進すすんでいるものの、実験じっけん的てき裏付うらづけが非常ひじょうに乏とぼしく未いまだ仮説かせつの域いきを脱だっしていない。

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの内容ないよう

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんは、次つぎの仮定かていを出発しゅっぱつ点てんにする。あくまでも仮定かていであり、これが基準きじゅん点てんとするものではない。

一般いっぱん相対性原理そうたいせいげんり

物理ぶつり学がくの法則ほうそくは、任意にんいの仕方しかたで運動うんどうしている座標ざひょう系けいに関かんしていつも成立せいりつする^[3]

一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かてい: 自然しぜんの一般いっぱん法則ほうそく^{[注ちゅう 6]}は、すべての座標ざひょう系けいに対たいして成なり立たつ、すなわち任意にんいの座標ざひょう系けいに対たいして（一般いっぱん）共きょう変へんな方程式ほうていしきで表あらわされなくてはならない^[4]。
局所きょくしょ座標ざひょう系けいにおける特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの成立せいりつ仮定かてい: 無限むげんに小ちいさな4次元じげん領域りょういき（4次元じげんの擬なずらえリーマン多様たよう体たいのある点てんにおける局所きょくしょ座標ざひょう系けいまたは接せっ空間くうかん）に対たいしては、座標ざひょうを適当てきとうに選えらべば、特殊とくしゅの意味いみでの相対性理論そうたいせいりろんが原則げんそくとして成なり立たつ^{[注ちゅう 7]}。時空じくうのある点てんにおける基本きほん計量けいりょうテンソル $g i j$ は、その座標ざひょう系けいに関かんする重力じゅうりょく場じょうを記述きじゅつする^[6]。基本きほん計量けいりょうテンソルの行列ぎょうれつ式しき $g$ は常つねに有限ゆうげんの負まけの値ねを持もつ^[7]。

測地そくち線せんの仮定かてい: 自由じゆう質点しつてん運動うんどうは測地そくち線せんである

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん成立せいりつの歴史れきし上じょう、等価とうか原理げんり (equivalence principle) はスタートポイントとして考かんがえられたが、数学すうがく的てきに重要じゅうようであるのは、一般いっぱん相対性原理そうたいせいげんり（一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かていと局所きょくしょ座標ざひょう系けいにおける特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの成立せいりつ仮定かてい）である。

時空じくうモデルとしてのリーマン多様たよう体たいに求もとめられる条件じょうけん

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんにおいては、重力じゅうりょくのある空間くうかんを光ひかりが通過つうかするとき光ひかりは曲まがる（光ひかりのとる経路けいろが伸のびる）ことから、時空じくうは、重力じゅうりょく場じょうを基本きほん計量けいりょうテンソルとする4次元じげんのリーマン多様たよう体たいとして扱あつかわれる^{[注ちゅう 8]}。可か微分びぶん多様たよう体たい M がリーマン多様たよう体たいであるとは、M 上うえの各かく点てんに基本きほん計量けいりょうテンソル $g ij (x)$ が与あたえられているものを言いう。なお、局所きょくしょ座標ざひょう系けい $(x 0, x 1, x 2, x 3)$ の四よっつの座標ざひょうの内うち、 $x 0$ は適当てきとうな測定そくてい単位たんいで測はかられた時間じかん座標ざひょう、 $x 1, x 2, x 3$ は空間くうかん座標ざひょうとする。すなわち、 $x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z$ であるとする。さらに、リーマン多様たよう体たい上じょうに定義ていぎされるテンソル概念がいねんに対たいして、上下じょうげに現あらわれる同おなじ添字そえじについては常つねに和わを取とるというアインシュタインの縮ちぢみ約やく記法きほうを用もちいる。

一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かてい

リーマン多様たよう体たいを導入どうにゅうすることで、一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かていは、

ある自然しぜんの一般いっぱん法則ほうそくがある座標ざひょう系けいで一ひとつのテンソルの成分せいぶんがすべてゼロになる形かたちで書かき表あらわすことができるとき、すなわち、

（テンソルの成分せいぶん）＝ 0

とできるとき、その法則ほうそくは一般いっぱん共ども変性へんせいを持もつ

というように、リーマン多様たよう体たい上じょうで定義ていぎされるテンソル概念がいねんの性質せいしつとして定式ていしき化かできるようになる。

局所きょくしょ座標ざひょう系けいにおける特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの成立せいりつ仮定かてい

リーマン幾何きか学がくによれば、リーマン多様たよう体たい上じょうの無限むげんに近ちかい2点てん間あいだの距離きょり ds は

ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}

の平方へいほうで与あたえられる。この ds を4次元じげん空間くうかんの無限むげんに近ちかい点てんに属ぞくする線せん素もと (line element) の大おおきさと呼よぶ^[8]が、これは、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんが成なり立たつような座標ざひょう系けいにおいては、ミンコフスキーが指摘してきした4次元じげん空間くうかんにおける不ふ変量へんりょう

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}

と一致いっちするものでなくてはならない。すなわち、適当てきとうな座標ざひょう変換へんかんにより、計量けいりょうテンソル $g ij$ は、

g_{tt}=1,~g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=-1

^{[注ちゅう 9]}

行列ぎょうれつ形式けいしきで描かけば、

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}

となることが要請ようせいされる。これはより一般いっぱん的てきな表現ひょうげんとして、有限ゆうげんで常つねに負まけの値ねをもつ基本きほん計量けいりょうテンソルの行列ぎょうれつ式しき $g = det(g ij)$ に対たいする次つぎの条件じょうけん

{\sqrt {-g}}=1

という形かたちで条件じょうけんとして求もとめられる。

測地そくち線せんの方程式ほうていしき

擬なずらえリーマン空間くうかんにおける測地そくち線せん (geodesic) は、通常つうじょうの計量けいりょう空間くうかんにおける定義ていぎと同様どうように、2点てん間あいだの長ながさを最小さいしょうにする曲線きょくせんとして定義ていぎされる。曲線きょくせんの長ながさは、

$l(\gamma )=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}}=\int _{\gamma }{\sqrt {\pm g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}\,dt$

で与あたえられる。ここでの積分せきぶんは、曲線きょくせん $γ がんま (t)$ に沿そうものとする。ルート内ないの符号ふごうの+は空間くうかん的てきな曲線きょくせんに対たいして、負まけの符号ふごうは時間じかん的てきな曲線きょくせんに対たいして適用てきようし、いずれの場合ばあいも長ながさが実数じっすうになるようにする。

この長ながさの極きょく値ちをもたらす条件じょうけんを導出どうしゅつすると、測地そくち線せんの方程式ほうていしきが得えられる。局所きょくしょ座標ざひょうで表現ひょうげんすると、方程式ほうていしきは、

${\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\Gamma _{~\nu \rho }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dt}}{\frac {dx^{\rho }}{dt}}=0$

となる。ここで、 $x μ みゅー (t)$ は、曲線きょくせん $γ がんま (t)$ の座標ざひょうであり、 $Γ がんま μ みゅー ν にゅー ρ ろー$ は先さきに登場とうじょうしたクリストッフェル記号きごうである。座標ざひょうの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきとして得えられるこの式しきは、初期しょき値ちと初はつ速度そくどを与あたえれば解かいを一意いちいに決定けっていする。この式しきは、曲まがった時空じくうにおける光ひかり・粒子りゅうしの運動うんどう方程式ほうていしきである。

リーマンテンソル、アインシュタイン・テンソル

時空じくうの曲きょく率りつは、レヴィ・チヴィタ接続せつぞく ∇ が定義ていぎするリーマン曲きょく率りつテンソル (Riemann tensor) $R ρ ろー σ しぐま μ みゅー ν にゅー$ で表現ひょうげんされる。局所きょくしょ座標ざひょう表現ひょうげんでは、次つぎのように書かける。

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }$

物理ぶつり的てきには、このリーマン曲きょく率りつテンソルから、2成分せいぶんを縮ちぢみ約やくしたリッチテンソル (Ricci tensor) $R μ みゅー ν にゅー$ と、さらに添字そえじを縮ちぢみ約やくしたリッチスカラー曲きょく率りつ (Ricci scalar) $R$

$R_{\mu \nu }={R^{\rho }}_{\mu \rho \nu }$

$R_{}^{}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$

を考かんがえればよく、さらにその組くみ合あわせである、

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$

が物質ぶっしつ分布ぶんぷで定さだまることをアインシュタインが見みいだした。この最後さいごの組くみ合あわせ $G μ みゅー ν にゅー$ をアインシュタイン・テンソル (Einstein tensor) と呼よぶ。

アインシュタイン方程式ほうていしきとその特徴とくちょう

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの基本きほん方程式ほうていしきは、

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

と表あらわされ、アインシュタイン方程式ほうていしきと呼よばれる。ここで $G μ みゅー ν にゅー$ はアインシュタインテンソル、 $g μ みゅー ν にゅー$ は計量けいりょうテンソル、 $Λ らむだ$ は宇宙うちゅう項こう、 $T μ みゅー ν にゅー$ はエネルギー・運動うんどう量りょうテンソルである。非ひ相対そうたい論ろん的てき極限きょくげんでニュートンの重力じゅうりょく理論りろんに収束しゅうそくすることから、右辺うへんの比例ひれい係数けいすう $κ かっぱ$ （アインシュタインの定数ていすう）は、

$\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$

となる。 $G$ は万有引力ばんゆういんりょく定数ていすう、 $c$ は光速こうそくである。4次元じげん空間くうかんを考かんがえれば、テンソルは対称たいしょうなので、アインシュタイン方程式ほうていしきは、10本ほんの方程式ほうていしきからなる。

アインシュタイン方程式ほうていしきの左辺さへんは時空じくうの曲きょく率りつを表あらわし、右辺うへんは物質ぶっしつ分布ぶんぷを表あらわす。右辺うへんの物質ぶっしつ分布ぶんぷの項こうにより時空じくうが曲きょく率りつを持もち、その曲きょく率りつの影響えいきょうで次つぎの瞬間しゅんかんの物質ぶっしつ分布ぶんぷが定さだまる、という構造こうぞうである。真空しんくうの時空じくうであれば、右辺うへんをゼロとすればよい。例たとえば、重力じゅうりょく以外いがいの力ちからを考かんがえないと、次つぎのようになる。

右辺うへんのエネルギー運動うんどう量りょうテンソルが増加ぞうかの場合ばあい（アインシュタインの特殊とくしゅ相対そうたい論ろんによるとエネルギーと質量しつりょうは等価とうかであるから、エネルギー運動うんどう量りょうテンソルの増加ぞうかは質量しつりょうの増加ぞうかを意味いみする）、左辺さへんも増加ぞうかしなければならない。これは時空じくうの曲きょく率りつが増加ぞうかすることを意味いみする。アインシュタインの解釈かいしゃくによると重力じゅうりょくとは時空じくうの湾曲わんきょくによるものであったから、曲きょく率りつの増加ぞうかは重力じゅうりょくの増大ぞうだいを表あらわす。右辺うへんのエネルギー運動うんどう量りょうテンソルの増大ぞうだいは質量しつりょうが増大ぞうだいする事ことを表あらわし、この方程式ほうていしきによると、それは左辺さへんの時空じくうの曲きょく率りつ、つまり重力じゅうりょくがさらに増大ぞうだいすることを意味いみする。

すなわち、重力じゅうりょくは非線形ひせんけいで、重力じゅうりょく自身じしんは自己じこ増大ぞうだいしてゆく。通常つうじょうの恒星こうせいのモデルでは、核かく融合ゆうごうによる、生しょうじる光ひかり（電磁波でんじは）の輻射ふくしゃ圧あつとガスによる圧力あつりょくが、重力じゅうりょくと釣つり合あうように恒星こうせいの半径はんけいが決きまる。星ほしが燃もえ尽つきて支ささえる力ちからがなくなると、重力じゅうりょく崩壊ほうかいし、電子でんしの縮退しゅくたい圧あつで支ささえられる白色はくしょく矮星か、中性子ちゅうせいしの縮退しゅくたい圧あつで支ささえられる中性子星ちゅうせいしせい、あるいは、ブラックホールになることが予測よそくされる。

アインシュタイン方程式ほうていしきの数学すうがく的てきな特徴とくちょうは、次つぎのような点てんにある。

座標ざひょう変換へんかんに対たいし、共きょう変へん的てきであるので、「時間じかん座標ざひょう1＋空間くうかん座標ざひょう3」のみではなく、「光ひかりの進行しんこう方向ほうこう2＋空間くうかん座標ざひょう2」といった分解ぶんかい表現ひょうげんも可能かのうである。
非線形ひせんけいの2階かいの偏へん微分びぶん方程式ほうていしき（楕円だえん型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしきおよび双そう曲きょく型がた偏へん微分びぶん方程式ほうていしき）である。
時空じくう構造こうぞうを論ろんじていながら、時空じくう全体ぜんたいの大域たいいき的てき構造こうぞうやトポロジーを仮定かていしない。
得えられる解かいには、特異とくい点てんが存在そんざいする（特異とくい点てん定理ていり）。

アインシュタイン方程式ほうていしきの厳密げんみつ解かい

アインシュタイン方程式ほうていしき自身じしんに何なんら近似きんじすることなく得えられる解析かいせき解かいのことを厳密げんみつ解かいという。良よく知しられている厳密げんみつ解かいに、次つぎのものがある。

シュヴァルツシルト解かい: カール・シュヴァルツシルトが1916年ねんに発表はっぴょうした解かい。真空しんくうで球たま対称たいしょうを仮定かていした解かいで、ブラックホールを表あらわす最もっとも単純たんじゅんな解かい。
カー解かい: ロイ・カーが1962年ねん発表はっぴょうした解かい。真空しんくうで軸じく対称たいしょう時空じくうを仮定かていした解かいで、回転かいてんするブラックホールを表あらわす最もっとも単純たんじゅんな解かい。
ドジッター解かい: ウィレム・ド・ジッターが1917年ねんに発表はっぴょうした解かい。真空しんくうで宇宙うちゅう項こうがある場合ばあいの膨張ぼうちょう宇宙うちゅう解かい。ド・ジッター宇宙うちゅうを表あらわす。
フリードマン・ロバートソン・ウォーカー解かい: アレクサンドル・フリードマン、ハワード・ロバートソン、アーサー・ウォーカーが1922年ねんに発表はっぴょうした解かい。時空じくうの球たま対称たいしょう性せいを仮定かていし、物質ぶっしつ分布ぶんぷを一様いちよう等ひとし方かたな流体りゅうたい近似きんじした解かいで、ビッグバン膨張ぼうちょう宇宙うちゅうを表あらわす解かい。
ゲーデル解かい: クルト・ゲーデルが1949年ねんに発表はっぴょうした解かい。物質ぶっしつ分布ぶんぷを規定きていするエネルギー・運動うんどう量りょうテンソルを、回転かいてんする一様いちようなダスト粒子りゅうしとして仮定かていし、ゼロでない宇宙うちゅう項こうを仮定かていした解かいで、ゲーデルの回転かいてん宇宙うちゅうを表あらわす解かい。

現在げんざいでも、新あたらしい解かい（解析かいせき解かい）を発見はっけんすれば、発見はっけん者しゃの名前なまえがつく。ただし、同おなじ物理ぶつり的てきな時空じくうであっても、異ことなる座標ざひょう表現ひょうげんを用もちいて、異ことなる解かいのように表現ひょうげんされることがあるので、注意ちゅういすることが必要ひつようである。

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんの応用おうよう

GNSS

自動車じどうしゃなどの位置いちをリアルタイムに測定そくてい表示ひょうじするカーナビゲーションシステムは、GNSSの代表だいひょうといえるGPSなどを利用りようしており、GPS衛星えいせいなどに搭載とうさいされた原子げんし時計とけいに基もとづき生成せいせいされる航法こうほう信号しんごうに依存いぞんしている。

GPS衛星えいせいからの信号しんごうを受信じゅしんする装置そうちでは、さまざまな要因よういんによる補正ほせいを行おこなうが、GPS衛星えいせいの時計とけいとの同期どうきに関かんするものとして、地表ちひょうに対たいして高速こうそくで運動うんどうするGPS衛星えいせいの、特殊とくしゅ相対そうたい論ろん効果こうかによる地表ちひょうからみた時間じかんの遅おくれ、および地球ちきゅうの重力じゅうりょく場じょうによる地上ちじょうの時間じかんの遅おくれ、い換いかえれば一般いっぱん相対そうたい論ろん効果こうかによる衛星えいせいの時計とけいの進すすみが含ふくまれる^{[注ちゅう 10]}。

GPS衛星えいせいの軌道きどう速度そくどは秒速びょうそく約やく4キロメートルと高速こうそくであるため、特殊とくしゅ相対そうたい論ろんによって時間じかんの進すすみ方かたがわずかではあるが遅おそくなる。一方いっぽう、GPS衛星えいせいの高度こうどは約やく2万まんキロメートルで、地球ちきゅうの重力じゅうりょく場じょうの影響えいきょうが小ちいさいことから、一般いっぱん相対そうたい論ろんによって地上ちじょうよりも時間じかんの進すすみ方かたが速はやくなる。このように特殊とくしゅ相対そうたい論ろんと一般いっぱん相対そうたい論ろんで互たがいに逆ぎゃくの効果こうかをもたらすことになる。この相対そうたい論ろん的てき補正ほせいをせずに1日にち放置ほうちすると、位置いち情報じょうほうが約やく11キロメートルもずれてしまうほどの時刻じこく差さになることから、相対そうたい論ろん的てき補正ほせいはGPSシステムの運用うんように不可欠ふかけつである^[9]。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ 原題げんだい：Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes
^ 原題げんだい：Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation
^ 原題げんだい： Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Bibcode: 1915SPAW.......831E. doi:10.1002/3527608958.ch4. .
^ 原題げんだい：Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie
^ 原題げんだい： Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie. Bibcode: 1916SPAW......1111E. doi:10.1002/3527608958.ch9.
^ 一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かていにおいては『自然しぜんの一般いっぱん法則ほうそく』であり『物理ぶつり法則ほうそく』ではない。
^ 重力じゅうりょく場じょうがある場合ばあいは、等価とうか原理げんりにより、座標ざひょう系けいの加速かそく状態じょうたいを適当てきとうに選えらぶことで、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんが成なり立たつ座標ざひょう系けいを取とることができる^[5]。
^ 通常つうじょう、数学すうがくでリーマン多様たよう体たいというとユークリッド空間くうかんをパッチワークのように張はり合あわせたものを指さし、2点てん間あいだの距離きょりの2乗じょうが非負ひふの正せい定値ていち計量けいりょうと呼よばれる空間くうかんである。それに対たいして、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんが扱あつかうのは、時間じかんと空間くうかんの意味いみをもつ座標ざひょうを含ふくむミンコフスキー空間くうかんを張はり合あわせたものであり、2点てん間あいだの距離きょりが虚数きょすうになり得える不定ふてい計量けいりょうの空間くうかんである。このため、擬なずらえリーマン多様たよう体たい (pseudo-Riemannian manifold) とも呼よばれる。
^ これをミンコフスキー計量けいりょう (metric) と呼よぶこともある。
^ 他たに地球ちきゅう自転じてんに起因きいんする信号しんごう伝播でんぱに対たいするサニャック効果こうかもある。

出典しゅってん

^ 場ばの古典こてん論ろん, p. 253.
^ 選集せんしゅう2 [A2]一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんおよび重力じゅうりょく論ろんの草案そうあん (1914), p.34
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 100.
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 104.
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), pp. 105–107.
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 106.
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 117.
^ リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 105.
^ Neil Ashby (May 2002). “Relativity and the Global Positioning System”. Physics Today (American Institute of Physics) 55 (5): 41. doi:10.1063/1.1485583.

参考さんこう文献ぶんけん

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外部がいぶリンク

ブリタニカ国際こくさい大だい百科ひゃっか事典じてん小しょう項目こうもく事典じてん『一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん』 - コトバンク
General relativity - ブリタニカ百科ひゃっか事典じてん

[3] 原題げんだい：Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes

[4] 原題げんだい：Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation

[5] 原題げんだい： Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Bibcode: 1915SPAW.......831E. doi:10.1002/3527608958.ch4. .

[6] 原題げんだい：Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie

[7] 原題げんだい： Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie. Bibcode: 1916SPAW......1111E. doi:10.1002/3527608958.ch9.

[9] 一般いっぱん共ども変性へんせいの仮定かていにおいては『自然しぜんの一般いっぱん法則ほうそく』であり『物理ぶつり法則ほうそく』ではない。

[12] 重力じゅうりょく場じょうがある場合ばあいは、等価とうか原理げんりにより、座標ざひょう系けいの加速かそく状態じょうたいを適当てきとうに選えらぶことで、特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんが成なり立たつ座標ざひょう系けいを取とることができる^[5]。

[15] 通常つうじょう、数学すうがくでリーマン多様たよう体たいというとユークリッド空間くうかんをパッチワークのように張はり合あわせたものを指さし、2点てん間あいだの距離きょりの2乗じょうが非負ひふの正せい定値ていち計量けいりょうと呼よばれる空間くうかんである。それに対たいして、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんが扱あつかうのは、時間じかんと空間くうかんの意味いみをもつ座標ざひょうを含ふくむミンコフスキー空間くうかんを張はり合あわせたものであり、2点てん間あいだの距離きょりが虚数きょすうになり得える不定ふてい計量けいりょうの空間くうかんである。このため、擬なずらえリーマン多様たよう体たい (pseudo-Riemannian manifold) とも呼よばれる。

[17] これをミンコフスキー計量けいりょう (metric) と呼よぶこともある。

[18] 他たに地球ちきゅう自転じてんに起因きいんする信号しんごう伝播でんぱに対たいするサニャック効果こうかもある。

[1] 場ばの古典こてん論ろん, p. 253.

[2] 選集せんしゅう2 [A2]一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんおよび重力じゅうりょく論ろんの草案そうあん (1914), p.34

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971100-8] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 100.

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971104-10] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 104.

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971105–107-11] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), pp. 105–107.

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971106-13] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 106.

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971117-14] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 117.

[FOOTNOTEリーマン幾何とその応用1971105-16] リーマン幾何きかとその応用おうよう (1971), p. 105.

[19] Neil Ashby (May 2002). “Relativity and the Global Positioning System”. Physics Today (American Institute of Physics) 55 (5): 41. doi:10.1063/1.1485583.

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