数学 すうがく において、円 えん (えん、英 えい : circle )とは、平面 へいめん (2次元 じげん ユークリッド空間 くうかん )上 じょう の、定点 ていてん O(オー) からの距離 きょり が等 ひと しい点 てん の集合 しゅうごう でできる曲線 きょくせん のことをいう。
その「定点 ていてん O(オー)」を円 えん の中心 ちゅうしん という。円 えん の中心 ちゅうしん と円周 えんしゅう 上 じょう の 1 点 てん を結 むす ぶ線分 せんぶん や、その線分 せんぶん の長 なが さは半径 はんけい という[ 1] [ 2]
円 えん は定 てい 幅 はば 図形 ずけい の一 ひと つ。
なお円 えん が囲 かこ む部分 ぶぶん すなわち「円 えん の内部 ないぶ 」を含 ふく めて「円 えん 」ということもある。この場合 ばあい 、厳密 げんみつ さを必要 ひつよう とする時 とき は、境界 きょうかい となる曲線 きょくせん のほうは「円周 えんしゅう (circumference)」 という。これに対 たい して、内部 ないぶ を含 ふく めていることを強調 きょうちょう するときには「円 えん 板 ばん (disk)」 という。また、三角形 さんかっけい 、四角形 しかっけい などと呼称 こしょう を統一 とういつ して「円形 えんけい 」ということもある。
習慣 しゅうかん 的 てき に、とりあえず円 えん をひとつ挙 あ げその中心 ちゅうしん に名称 めいしょう をつける時 とき は「O (オー)」と呼 よ ぶことが多 おお い。これは原点 げんてん を英語 えいご で「オリジン(英 えい : Origin )」というのでその頭文字 かしらもじ をとったものである。中心 ちゅうしん が点 てん Oである円 えん は「円 えん O(えんオー)」と呼 よ ぶ。なお中心 ちゅうしん は英語 えいご では「センター(英 えい : Center )」というので、円 えん の中心 ちゅうしん が「C(シー)」になっている文献 ぶんけん もある[ 3] 。
なお、数学 すうがく 以外 いがい の分野 ぶんや ではこの曲線 きょくせん のことを(あるいはそれに近 ちか い卵 たまご 形 がた の総称 そうしょう として)「丸 まる (まる)」という俗称 ぞくしょう で呼称 こしょう することがある。
円 えん : 中心 ちゅうしん 、半径 はんけい ・直径 ちょっけい 、円周 えんしゅう
円周 えんしゅう と2 点 てん で交 まじ わる直線 ちょくせん を割 わり 線 せん という。このときの交点 こうてん を 2 点 てん A, B とするとき、円周 えんしゅう によって、割 わり 線 せん から切 き り取 と られる線分 せんぶん AB のことを弦 つる といい、弦 つる AB と呼 よ ぶ。特 とく に円 えん の中心 ちゅうしん を通 とお る割 わり 線 せん を中心 ちゅうしん 線 せん という。中心 ちゅうしん 線 せん は円 えん の対称 たいしょう 軸 じく であり、円 えん の面積 めんせき を 2 等分 とうぶん する。円周 えんしゅう が中心 ちゅうしん 線 せん から切 き り取 と る弦 つる やその長 なが さを、円 えん の直径 ちょっけい という。直径 ちょっけい は半径 はんけい の 2 倍 ばい に等 ひと しい。円周 えんしゅう の長 なが さは、円 えん の大 おお きさによってさまざまであるが、円周 えんしゅう の長 なが さの直径 ちょっけい に対 たい する比 ひ の値 ね は、円 えん に依 よ らず一定 いってい であり、これを円周 えんしゅう 率 りつ という。特 とく に断 ことわ りのない限 かぎ り、普通 ふつう 、円周 えんしゅう 率 りつ は π ぱい で表 あらわ す。円 えん の半径 はんけい を r (半径 はんけい の英語 えいご radiusの頭文字 かしらもじ が由来 ゆらい ) とすると、円周 えんしゅう の長 なが さは 2π ぱい r で表 あらわ される。また、円 えん の面積 めんせき は、π ぱい r 2 で表 あらわ すことができる。同 おな じ長 なが さの周 しゅう を持 も つ閉曲線 へいきょくせん の中 なか で、面積 めんせき が最大 さいだい のものである。(等 とう 周 しゅう 問題 もんだい )
中心 ちゅうしん 角 かく と円周 えんしゅう 角 かく
一方 いっぽう 、円周 えんしゅう は割 わり 線 せん によって 2 つの部分 ぶぶん に分 わ けられる。このそれぞれの部分 ぶぶん を 円弧 えんこ (arc) または単 たん に弧 こ という。
2つの弧 こ の長 なが さが等 ひと しくないとき、長 なが い方 ほう の弧 こ を 優 ゆう 弧 こ (major arc)、短 みじか い方 ほう の弧 こ を劣 れつ 弧 こ (minor arc) という。
2つの弧 こ の長 なが さが等 ひと しいとき、これらの弧 こ を 半 はん 円周 えんしゅう という。このとき、割 わり 線 せん は円 えん の中心 ちゅうしん を通 とお る中心 ちゅうしん 線 せん である。
円周 えんしゅう 上 じょう の2点 てん A, B を両 りょう 端 はし とする弧 こ を弧 こ AB と呼 よ ぶ。記号 きごう では、A͡B と表記 ひょうき する(記号 きごう ⌒ は AB の上 うえ にかぶせて書 か くのが正 ただ しい)。これでは優 ゆう 弧 こ ・劣 れつ 弧 こ のどちらであるかを指定 してい できていないデメリットがあり、一方 いっぽう を特定 とくてい したい場合 ばあい は、その弧 こ 上 じょう の点 てん P を用 もち いて 弧 こ APB のように表記 ひょうき する。
円 えん O の周 しゅう 上 じょう に2点 てん A, B があるとき、半径 はんけい OA, OB と弧 こ AB とで囲 かこ まれた図形 ずけい を扇形 せんけい (sector) O-A͡B という。また、扇形 せんけい に含 ふく まれる側 がわ の ∠BOA を弧 こ AB を見込 みこ む中心 ちゅうしん 角 かく という。一 ひと つの円 えん で考 かんが えるとき、中心 ちゅうしん 角 かく とその角 かく が見込 みこ む弧 こ の長 なが さは比例 ひれい する。同様 どうよう に、中心 ちゅうしん 角 かく とその角 かく が切 き り取 と る扇形 せんけい の面積 めんせき も比例 ひれい する。
弦 つる AB と弧 こ AB で囲 かこ まれた図形 ずけい を弓形 きゅうけい (segment) という。
弧 こ AB に対 たい して、弧 こ AB 上 じょう にない円 えん O の周 しゅう 上 じょう の点 てん P を取 と るとき、∠APB を弧 こ AB に対 たい する円周 えんしゅう 角 かく という。弧 こ AB に対 たい する円周 えんしゅう 角 かく は点 てん P の位置 いち に依 よ らず一定 いってい であり、中心 ちゅうしん 角 かく AOB の半分 はんぶん に等 ひと しい(円周 えんしゅう 角 かく の定理 ていり )。特 とく に弧 こ AB が半 はん 円周 えんしゅう のときは、弧 こ AB に対 たい する円周 えんしゅう 角 かく は直角 ちょっかく である(直径 ちょっけい を見込 みこ む円周 えんしゅう 角 かく :ターレスの定理 ていり )。
円 えん と内接 ないせつ 四角形 しかっけい
円 えん O の周 しゅう 上 じょう に 4 点 てん A, B, C, D があるとき、四角形 しかっけい ABCD は円 えん O に内接 ないせつ する という(内接 ないせつ 四角形 しかっけい )。このとき、円 えん O を四角形 しかっけい ABCD の外接 がいせつ 円 えん という。四角形 しかっけい が円 えん に内接 ないせつ するならば、四角形 しかっけい の対 たい 角 かく の和 わ は平 たいら 角 かく に等 ひと しい(内接 ないせつ 四角形 しかっけい の定理 ていり )。円 えん に内接 ないせつ する四角形 しかっけい の外角 がいかく の大 おお きさは、その内 うち 対 たい 角 かく の大 おお きさに等 ひと しい。また、これらの逆 ぎゃく も成立 せいりつ する(四 よん 点 てん 共 ども 円 えん 定理 ていり 、内接 ないせつ 四角形 しかっけい の定理 ていり )。
接 せっ 弦 つる 定理 ていり
円周 えんしゅう と直線 ちょくせん が1つの共有 きょうゆう 点 てん を持 も つとき、その直線 ちょくせん を円 えん の接線 せっせん (tangent) といい、共有 きょうゆう 点 てん を接点 せってん という。円 えん の中心 ちゅうしん と接点 せってん を結 むす ぶ半径 はんけい (接点 せってん 半径 はんけい )は、接線 せっせん と接点 せってん で直交 ちょっこう する。
円 えん の外部 がいぶ の点 てん A から円 えん O に2つの接線 せっせん が描 えが ける。この接点 せってん を S, T とすると、線分 せんぶん AS, AT の長 なが さを接線 せっせん の長 なが さ という。接線 せっせん の長 なが さは等 ひと しい。円 えん の接線 せっせん とその接点 せってん を通 とお る弦 つる が作 つく る角 かく は、その角 かく の中 なか にある弧 こ に対 たい する円周 えんしゅう 角 かく に等 ひと しい(接 せっ 弦 つる 定理 ていり )。すなわち、下図 したず で AT が接線 せっせん ならば、∠BAT = ∠APB である。接 せっ 弦 つる 定理 ていり は逆 ぎゃく も成立 せいりつ する。
円 えん の接吻 せっぷん 数 すう は6である。このことの完全 かんぜん な証明 しょうめい は1910年 ねん までできなかった。[要 よう 出典 しゅってん ]
半径 はんけい が異 こと なる2円 えん の位置 いち 関係 かんけい
2つの円 えん (円 えん A, 円 えん B とする)の位置 いち 関係 かんけい は次 つぎ の場合 ばあい に分 わ けられる。
円 えん A が円 えん B の内部 ないぶ にある場合 ばあい : 円 えん B は円 えん A を内包 ないほう する という。特 とく に、中心 ちゅうしん の位置 いち が一致 いっち するとき、この2円 えん を同心円 どうしんえん と呼 よ ぶ。
円 えん A が円 えん B の周 しゅう または内部 ないぶ にあり、1点 てん のみを共有 きょうゆう する場合 ばあい : 円 えん A は円 えん B に内接 ないせつ する という。
2円 えん が異 こと なる2点 てん を共有 きょうゆう する場合 ばあい : 2円 えん は2点 てん で交 まじ わる という。この2点 てん を結 むす ぶ弦 つる を共通 きょうつう 弦 つる という。
2円 えん が互 たが いの周 しゅう または外部 がいぶ にあり、1点 てん のみを共有 きょうゆう する場合 ばあい : 円 えん A は円 えん B に外接 がいせつ する という。
2円 えん が互 たが いの外部 がいぶ にあり、共有 きょうゆう 点 てん がない場合 ばあい : 2円 えん は離 はな れている という。
直線 ちょくせん XYを共通 きょうつう 弦 つる とする正 せい 円 えん をA・B、Xを包 つつ みYを外 そと にする正 せい 円 えん をC、Yを包 つつ みXを外 そと にする正 せい 円 えん をD、ACの共通 きょうつう 弦 つる とBCの共通 きょうつう 弦 つる の交点 こうてん をE、ADの共通 きょうつう 弦 つる とBDの共通 きょうつう 弦 つる の交点 こうてん をF、とした時 とき 、EとFはXYの線上 せんじょう にある。
三角形 さんかっけい の三 さん 辺 へん の位置 いち と長 なが さそのものを直径 ちょっけい とする三 みっ つの円 えん によって生 しょう じる3本 ほん の共通 きょうつう 弦 つる は、その三角形 さんかっけい の3本 ほん の頂 いただき 垂線 すいせん となる。
既定 きてい の共通 きょうつう 弦 つる を持 も つ2円 えん (A・B)と、その共通 きょうつう 弦 つる の一端 いったん のみを包 つつ む任意 にんい の別 べつ の円 えん Cとの間 あいだ にできる2本 ほん の共通 きょうつう 弦 つる (ACとBCの共通 きょうつう 弦 つる )の交点 こうてん は、ABの共通 きょうつう 弦 つる 上 じょう に存在 そんざい する。
三角形 さんかっけい の三 さん 辺 へん の位置 いち と長 なが さそのものを直径 ちょっけい とする三 みっ つの円 えん によって生 しょう じる3本 ほん の共通 きょうつう 弦 つる は、その三角形 さんかっけい の3本 ほん の頂 いただき 垂線 すいせん となる。
2つの円 えん に共通 きょうつう する接線 せっせん を共通 きょうつう 接線 せっせん という。
特 とく に、2円 えん が共通 きょうつう 接線 せっせん に関 かん して、同 おな じ側 がわ にあるとき共通 きょうつう 外接 がいせつ 線 せん 、異 こと なる側 がわ にあるとき共通 きょうつう 内接 ないせつ 線 せん という。
上記 じょうき の場合 ばあい 分 わ けにおいて、描 えが ける共通 きょうつう 接線 せっせん の個数 こすう は、
なし
共通 きょうつう 外接 がいせつ 線 せん 1本 ほん
共通 きょうつう 外接 がいせつ 線 せん 2本 ほん
共通 きょうつう 内接 ないせつ 線 せん 1本 ほん 、共通 きょうつう 外接 がいせつ 線 せん 2本 ほん の計 けい 3本 ほん
共通 きょうつう 内接 ないせつ 線 せん 2本 ほん 、共通 きょうつう 外接 がいせつ 線 せん 2本 ほん の計 けい 4本 ほん
のいずれか。
半径 はんけい r ≔ 1 , 中心 ちゅうしん (a , b ) ≔ (1.2, −0.5) の円 えん
解析 かいせき 幾何 きか 学 がく において、(a , b ) を中心 ちゅうしん とする半径 はんけい r の円 えん は
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
を満 み たす点 てん (x , y ) 全体 ぜんたい の軌跡 きせき である。この方程式 ほうていしき を、円 えん の方程式 ほうていしき と言 い う。これは、中心 ちゅうしん (a , b ) と円上 えんじょう の任意 にんい の点 てん (x , y ) との二 に 点 てん 間 あいだ の距離 きょり が r であるということを述 の べたものに他 た ならず、半径 はんけい を斜辺 しゃへん とする直角 ちょっかく 三角形 さんかっけい にピタゴラスの定理 ていり を適用 てきよう しすることで導出 どうしゅつ できる(直角 ちょっかく を挟 はさ む二 に 辺 へん は、各 かく 座標 ざひょう の絶対 ぜったい 差 さ |x − a |, |y − b | を長 なが さとする)。
中心 ちゅうしん を原点 げんてん に取 と れば、方程式 ほうていしき は
x
2
+
y
2
=
r
2
{\textstyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}
と簡単 かんたん になる。
α あるふぁ , β べーた , γ がんま , δ でるた は実数 じっすう で α あるふぁ ≠ 0 なるものとし、
a
:=
−
β べーた
α あるふぁ
,
b
:=
−
γ がんま
α あるふぁ
,
ρ ろー
:=
β べーた
2
+
γ がんま
2
−
α あるふぁ
δ でるた
α あるふぁ
2
{\displaystyle a:={\frac {-\beta }{\alpha }},\quad b:={\frac {-\gamma }{\alpha }},\quad \rho :={\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \delta }{\alpha ^{2}}}}
と書 か けば、上記 じょうき の方程式 ほうていしき は
f
(
x
,
y
)
:=
α あるふぁ
(
x
2
+
y
2
)
+
2
(
β べーた
x
+
γ がんま
y
)
+
δ でるた
=
0
{\displaystyle f(x,y):=\alpha (x^{2}+y^{2})+2(\beta x+\gamma y)+\delta =0}
の形 かたち になる。この形 かたち (x 2 , y 2 の係数 けいすう が等 ひと しく、xy の項 こう を持 も たない)の方程式 ほうていしき が与 あた えられたとき、以下 いか の何 いず れか一 ひと つのみが成 な り立 た つ:
ρ ろー < 0 のときは、この方程式 ほうていしき に解 かい となる実 み 点 てん は存在 そんざい しない。この場合 ばあい を虚 きょ 円 えん [ 4] (imaginary circle ) の方程式 ほうていしき と呼 よ ぶ。
ρ ろー = 0 のとき、方程式 ほうていしき f (x , y ) = 0 は中心 ちゅうしん となる一 いち 点 てん O ≔ (a , b ) のみを解 かい とし、点 てん 円 えん [ 5] (point circle ) の方程式 ほうていしき と言 い う。
ρ ろー > 0 のときには、f (x , y ) = 0 は O を中心 ちゅうしん とする半径 はんけい r ≔ √ ρ ろー の円 えん (あるいは実 じつ 円 えん (real circle ))の方程式 ほうていしき になる。
α あるふぁ = 0 のとき f (x , y ) = 0 は直線 ちょくせん の方程式 ほうていしき であり、a, b, ρ ろー は(射影 しゃえい 平面 へいめん 上 じょう で、あるいは見 み かけ上 じょう )無限 むげん 大 だい になる。実 じつ は、直線 ちょくせん を「無限 むげん 遠 とお 点 てん を中心 ちゅうしん とする半径 はんけい 無限 むげん 大 だい の円 えん 」と考 かんが えることができる(一般 いっぱん 化 か された円 えん (英語 えいご 版 ばん ) の項 こう を参照 さんしょう )。
ベクトル表示 ひょうじ
中心 ちゅうしん の位置 いち ベクトルを c とし、円上 えんじょう の任意 にんい の点 てん の位置 いち ベクトルを x とすると、これら二 に 点 てん 間 あいだ の距離 きょり は、ベクトルのユークリッドノルム ‖ • ‖ ≔ ‖ • ‖2 : (x , y ) ↦ √ x 2 + y 2 を用 もち いて、‖ x − c ‖ と書 か けるから、半径 はんけい r の円 えん の方程式 ほうていしき は
‖
x
−
c
‖
=
r
{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|=r}
となる。各 かく 点 てん の成分 せいぶん 表示 ひょうじ が c ≔ (a , b ), x ≔ (x , y ) と与 あた えられれば、
r
2
=
‖
x
−
c
‖
2
=
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
{\textstyle r^{2}=\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}
は上記 じょうき の円 えん の方程式 ほうていしき である。
媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ
(a , b ) を中心 ちゅうしん とする半径 はんけい r の円 えん の方程式 ほうていしき を正弦 せいげん 函数 かんすう および余弦 よげん 函数 かんすう を用 もち いて
{
x
=
a
+
r
cos
(
θ しーた
)
y
=
b
+
r
sin
(
θ しーた
)
(
0
≤
θ しーた
<
2
π ぱい
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r\cos(\theta )\\y=b+r\sin(\theta )\end{cases}}\qquad (0\leq \theta <2\pi )}
と媒介 ばいかい 表示 ひょうじ できる。幾何 きか 学的 がくてき には、媒介 ばいかい 変数 へんすう θ しーた を (a , b ) から出 で る (x , y ) を通 とお る半 はん 直線 ちょくせん が、始 はじめ 線 せん (x -軸 じく の正 せい の部分 ぶぶん )に対 たい してなす角 かく の角度 かくど と解釈 かいしゃく できる。
円 えん の別 べつ の媒介 ばいかい 表示 ひょうじ が半角 はんかく 正接 せいせつ 置換 ちかん により、
{
x
=
a
+
r
1
−
t
2
1
+
t
2
y
=
b
+
r
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle {\begin{cases}x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}}
と与 あた えられる。幾何 きか 学的 がくてき には、この媒介 ばいかい 変数 へんすう t の r に対 たい する比 ひ を、中心 ちゅうしん を通 とお り x -軸 じく に平行 へいこう な直線 ちょくせん に関 かん する立体 りったい 射影 しゃえい として解釈 かいしゃく できる。この媒介 ばいかい 表示 ひょうじ は、t が任意 にんい の実数 じっすう のみならず無限 むげん 遠 とお 点 てん においても意味 いみ を持 も つが、その一方 いっぽう で円 えん の最 もっと も下 した にある一 いち 点 てん は表 あらわ せないので除 のぞ かなければならない。
三 さん 点 てん 標準 ひょうじゅん 形 がた
同 どう 一直線 いっちょくせん 上 じょう にない三 さん 点 てん を (xi , yi ) (i = 1, 2, 3 ) とすると、その三 さん 点 てん を通 とお るという条件 じょうけん を満 み たす円 えん は一 ひと つに決 き まり、その方程式 ほうていしき を
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
(
y
−
y
1
)
(
y
−
y
2
)
(
y
−
y
1
)
(
x
−
x
2
)
−
(
y
−
y
2
)
(
x
−
x
1
)
=
(
x
3
−
x
1
)
(
x
3
−
x
2
)
+
(
y
3
−
y
1
)
(
y
3
−
y
2
)
(
y
3
−
y
1
)
(
x
3
−
x
2
)
−
(
y
3
−
y
2
)
(
x
3
−
x
1
)
{\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}
という形 かたち に表 あらわ すことができる。これは行列 ぎょうれつ 式 しき を用 もち いて
|
x
2
+
y
2
x
y
1
x
1
2
+
y
1
2
x
1
y
1
1
x
2
2
+
y
2
2
x
2
y
2
1
x
3
2
+
y
3
2
x
3
y
3
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}
と表 あらわ すこともできる。
射影 しゃえい 平面 へいめん 上 うえ の円 えん の方程式 ほうていしき は、円上 えんじょう の任意 にんい の点 てん の斉 ひとし 次 じ 座標 ざひょう (英語 えいご 版 ばん ) を(埋 う め込 こ み (x , y ) ↦ [x : y : 1] のもとで) [x : y : z ] と書 か くとき、その一般 いっぱん 形 がた を
x
2
+
y
2
−
2
a
x
z
−
2
b
y
z
+
c
z
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0}
と書 か くことができる。
平面 へいめん の座標 ざひょう 系 けい として、直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい の代 か わりに極座標 きょくざひょう 系 けい を用 もち いれば、円 えん の方程式 ほうていしき の極座標 きょくざひょう 表示 ひょうじ が作 つく れる。円上 えんじょう の任意 にんい の点 てん の極座標 きょくざひょう を (r , θ しーた ) とし、中心 ちゅうしん の極座標 きょくざひょう を (r 0 , φ ふぁい ) (つまり、中心 ちゅうしん の原点 げんてん からの距離 きょり が r 0 で、φ ふぁい は原点 げんてん から中心 ちゅうしん へ結 むす んだ半 はん 直線 ちょくせん が、x -軸 じく の正 せい の部分 ぶぶん から反 はん 時計 とけい 回 まわ りになす角 かく )とするとき、半径 はんけい ρ ろー の円 えん の極 きょく 方程式 ほうていしき は
r
2
−
2
r
r
0
cos
(
θ しーた
−
φ ふぁい
)
+
r
0
2
=
ρ ろー
2
{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=\rho ^{2}}
と書 か ける。
中心 ちゅうしん が原点 げんてん にあるときには、方程式 ほうていしき は r = ρ ろー (θ しーた は任意 にんい ) という単純 たんじゅん な形 かたち をしている(極座標 きょくざひょう 系 けい において原点 げんてん は、動 どう 径 みち 成分 せいぶん が r = 0 かつ偏 へん 角 かく 成分 せいぶん θ しーた は任意 にんい と表 あらわ されるのであった)。
原点 げんてん が円上 えんじょう にあるとき、方程式 ほうていしき は
r
=
2
ρ ろー
cos
(
θ しーた
−
φ ふぁい
)
{\textstyle r=2\rho \cos(\theta -\varphi )}
と簡約 かんやく される。例 たと えば、半径 はんけい ρ ろー が中心 ちゅうしん の動 どう 径 みち 成分 せいぶん r 0 に等 ひと しいときはそうである。
一般 いっぱん の場合 ばあい の方程式 ほうていしき を r について解 と くことができて、
r
=
r
0
cos
(
θ しーた
−
ϕ
)
±
ρ ろー
2
−
r
0
2
sin
2
(
θ しーた
−
φ ふぁい
)
{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {\rho ^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}}
となる。ここで ± の符号 ふごう を両方 りょうほう 取 と らないと、半円 はんえん しか記述 きじゅつ できない場合 ばあい があるので注意 ちゅうい 。
複素数 ふくそすう 平面 へいめん を用 もち いれば、平面 へいめん 上 じょう の円 えん は複素数 ふくそすう を用 もち いても記述 きじゅつ できる。中心 ちゅうしん が c で半径 はんけい が r の円 えん の方程式 ほうていしき は、複素数 ふくそすう の絶対 ぜったい 値 ち を用 もち いて
|
z
−
c
|
=
r
{\displaystyle |z-c|=r}
と書 か ける。これは本質 ほんしつ 的 てき に円 えん のベクトル方程式 ほうていしき と同 おな じものである(複素数 ふくそすう 平面 へいめん における複素数 ふくそすう の加法 かほう および実 じつ 数 すう 倍 ばい は、成分 せいぶん 表示 ひょうじ された平面 へいめん ベクトルの加法 かほう および実数 じっすう 倍 ばい と同一 どういつ であり、複素数 ふくそすう の絶対 ぜったい 値 ち はユークリッドノルムと同一 どういつ 視 し できる)。極 ごく 形式 けいしき を考 かんが えれば、|z − c | = r という条件 じょうけん は、z − c = r ⋅exp (iθ しーた ) (θ しーた は任意 にんい ) と同値 どうち であることがわかる(これは上記 じょうき の媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ に対応 たいおう する)。
複素数 ふくそすう の積 せき に関 かん して |z |2 = z ⋅z が成 な り立 た つことに注意 ちゅうい すれば、この方程式 ほうていしき は実数 じっすう p, q および複素数 ふくそすう g を用 もち いて
p
z
z
¯
+
g
z
+
g
z
¯
=
q
{\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}
の形 かたち に書 か ける(
p
:=
1
,
g
:=
−
c
¯
,
q
:=
r
2
−
|
c
|
2
{\displaystyle p:=1,\,g:=-{\overline {c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}}
)。この形 かたち の方程式 ほうていしき は、円 えん だけでなく一般 いっぱん には一般 いっぱん 化 か された円 えん (英語 えいご 版 ばん ) を表 あらわ すものである(一般 いっぱん 化 か された円 えん とは、通常 つうじょう の円 えん となるか、さもなくば直線 ちょくせん である)。
極 ごく 方程式 ほうていしき も極 ごく 形式 けいしき を用 もち いれば複素数 ふくそすう で記述 きじゅつ できる。
円上 えんじょう の点 てん P における接線 せっせん は、P を通 とお る直径 ちょっけい に垂直 すいちょく である。したがって、円 えん の中心 ちゅうしん を (a , b ) , 半径 はんけい を r とし、P ≔ (x 1 , y 1 ) とすれば、垂直 すいちょく 条件 じょうけん により接線 せっせん の方程式 ほうていしき は (x 1 − a )x + (y 1 – b )y = c の形 かたち をしていなければならない。これが (x 1 , y 1 ) を通 とお るから c は決定 けってい できて、接線 せっせん の方程式 ほうていしき は
(
x
1
−
a
)
x
+
(
y
1
−
b
)
y
=
(
x
1
−
a
)
x
1
+
(
y
1
−
b
)
y
1
{\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}}
または
(
x
1
−
a
)
(
x
−
a
)
+
(
y
1
−
b
)
(
y
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}
の形 かたち に書 か ける。y 1 ≠ b ならばこの接線 せっせん の傾 かたむ きは
d
y
d
x
=
−
x
1
−
a
y
1
−
b
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}
であるが、これを陰 かげ 函数 かんすう 微分 びぶん 法 ほう を用 もち いて求 もと めることもできる。
中心 ちゅうしん が原点 げんてん にあるときは、接線 せっせん の方程式 ほうていしき は
x
1
x
+
y
1
y
=
r
2
{\textstyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}
となり、傾 かたむ きは
d
y
d
x
=
−
x
1
y
1
{\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}}
である。原点 げんてん を中心 ちゅうしん とする円 えん では、各 かく 点 てん の位置 いち ベクトル (x , y ) と接 せっ ベクトル (dx , dy ) が常 つね に直交 ちょっこう する(つまり、内積 ないせき が零 れい になる)から、
x
d
x
+
y
d
y
=
0
x{\mathit {dx}}+y{\mathit {dy}}=0
は微分 びぶん 形 がた の円 えん の方程式 ほうていしき である。
三角形 さんかっけい や円 えん に関 かん する事柄 ことがら を扱 あつか う幾何 きか 学 がく (相似 そうじ や面積 めんせき を用 もち いない)は円 えん 論 ろん と呼 よ ばれ、古来 こらい 非常 ひじょう に深 ふか く研究 けんきゅう されてきた。最 もっと も平面 へいめん 幾何 きか 学 がく らしい幾何 きか 学 がく とも呼 よ ばれる。
三角形 さんかっけい の
それぞれの頂点 ちょうてん から対辺 たいへん に下 お ろした垂線 すいせん の足 あし (3つ)
辺 あたり の中点 ちゅうてん (3つ)
頂点 ちょうてん と垂心 すいしん を結 むす んだ線分 せんぶん の中点 ちゅうてん (3つ)
は全 すべ て同 どう 一 いち 円 えん 上 じょう にある。この円 えん のことを九 きゅう 点 てん 円 えん と呼 よ ぶ。
三角形 さんかっけい のそれぞれの頂点 ちょうてん から下 お ろした垂線 すいせん の足 あし から他 た の二 に 辺 へん に下 お ろした、合計 ごうけい 6 個 こ の垂線 すいせん の足 あし は、同 どう 一 いち 円周 えんしゅう 上 じょう にある、という定理 ていり 。中学 ちゅうがく で習 なら う円 えん の性質 せいしつ だけで証明 しょうめい することができるが、かなり難解 なんかい 。
円 えん に内接 ないせつ する六角形 ろっかっけい の対辺 たいへん の延長線 えんちょうせん の交点 こうてん は一直線 いっちょくせん 上 じょう にある。さらに拡張 かくちょう して、二 に 次 じ 曲線 きょくせん 上 じょう に異 こと なる6つの点 てん P1 ~P6 を取 と ると、直線 ちょくせん P1 P2 と P4 P5 の交点 こうてん Q1 、P2 P3 と P5 P6 の交点 こうてん Q2 、P3 P4 と P6 P1 の交点 こうてん Q3 は同 どう 一直線 いっちょくせん 上 じょう にある。また、Pi における接線 せっせん と Pj における接線 せっせん の交点 こうてん を Rij とすると、3 直線 ちょくせん R12 R45 , R23 R56 , R34 R61 は1点 てん で交 まじ わる。一番 いちばん 初 はじ めの、円 えん に内接 ないせつ する六角形 ろっかっけい の証明 しょうめい は、うまく補助 ほじょ 円 えん を書 か くことで、円 えん の性質 せいしつ と三角形 さんかっけい の相似 そうじ だけですることができる。
三角形 さんかっけい の内接 ないせつ 円 えん は、九 きゅう 点 てん 円 えん に内接 ないせつ する。
3 次元 じげん ユークリッド空間 くうかん においてある点 てん からの距離 きょり が一定 いってい であるような点 てん の集合 しゅうごう を球面 きゅうめん という。内部 ないぶ を含 ふく めた球面 きゅうめん を球 たま という。一般 いっぱん に、n を自然 しぜん 数 すう とするとき、n + 1 次元 じげん ユークリッド空間 くうかん においてある点 てん からの距離 きょり が一定 いってい であるような点 てん の集合 しゅうごう のことを、n 次元 じげん 球面 きゅうめん といい、Sn と書 か く。円 えん は 1 次元 じげん 球面 きゅうめん である。
2つの点 てん (焦点 しょうてん と呼 よ ばれる)からの距離 きょり の和 わ が一定 いってい であるような点 てん の軌跡 きせき を楕円 だえん という。楕円 だえん は一般 いっぱん に円 えん を潰 つぶ したような形 かたち をしており、楕円 だえん のうち特別 とくべつ な場合 ばあい ――2つの焦点 しょうてん が一 いち 点 てん で一致 いっち する場合 ばあい ――が円 えん である(このとき、焦点 しょうてん は「円 えん の中心 ちゅうしん 」と呼 よ ばれる)。一般 いっぱん の楕円 だえん でなく円 えん であることを特 とく に明示 めいじ したいときには、円 えん のことを正 せい 円 えん (せいえん)または真 ま 円 えん (しんえん)と呼 よ ぶことがある。
異 こと なる p に対 たい する p -ノルム単位 たんい 円 えん を図示 ずし したもの。
「定点 ていてん からの距離 きょり が一定 いってい である点 てん 全体 ぜんたい の成 な す集合 しゅうごう 」として円 えん を定義 ていぎ するならば、定義 ていぎ に用 もち いる「距離 きょり 」の定義 ていぎ を変 か えれば異 こと なる形状 けいじょう の「円 えん 」を考 かんが えることができるということになる。p -ノルム(英語 えいご 版 ばん ) の誘導 ゆうどう する距離 きょり は
‖
x
‖
p
:=
(
|
x
1
|
p
+
|
x
2
|
p
+
⋯
+
|
x
n
|
p
)
1
/
p
{\displaystyle \|x\|_{p}:=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}}
で与 あた えられる。ユークリッド幾何 きか 学 がく における通常 つうじょう のユークリッド距離 きょり :
‖
x
‖
2
=
|
x
1
|
2
+
|
x
2
|
2
+
⋯
+
|
x
n
|
2
{\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}}
は p = 2 の場合 ばあい である。
タクシー幾何 きか 学 がく で用 もち いるマンハッタン距離 きょり (L 1 -距離 きょり )は p = 1 の場合 ばあい であり、この距離 きょり に関 かん する円 えん (タクシー円 えん )は各 かく 辺 あたり が座標軸 ざひょうじく から45° ずれた正方形 せいほうけい となる。半径 はんけい r のタクシー円 えん の各 かく 辺 あたり の長 なが さは、ユークリッド距離 きょり で測 はか れば √ 2 r だが、タクシー距離 きょり で測 はか れば 2r である。よって、この幾何 きか 学 がく で円周 えんしゅう 率 りつ (半径 はんけい に対 たい する周 しゅう 長 ちょう の比 ひ )に相当 そうとう するものは 4 ということになる。タクシー幾何 きか 学 がく における単位 たんい 円 えん (半径 はんけい が 1 の円 えん )の方程式 ほうていしき は、直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい では
|
x
|
+
|
y
|
=
1
{\textstyle |x|+|y|=1}
, 極座標 きょくざひょう 系 けい では
r
=
1
|
sin
θ しーた
|
+
|
cos
θ しーた
|
{\textstyle r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}}
と書 か ける。これは、その中心 ちゅうしん のフォンノイマン近傍 きんぼう (英語 えいご 版 ばん ) である。
平面 へいめん 上 じょう のチェビシェフ距離 きょり (L ∞ -距離 きょり )に対 たい する半径 はんけい r の円 えん もまた各 かく 辺 あたり の長 なが さが 2r の正方形 せいほうけい (ただし、各 かく 辺 あたり は座標軸 ざひょうじく に平行 へいこう )であるから、平面 へいめん チェビシェフ距離 きょり は平面 へいめん マンハッタン距離 きょり を回転 かいてん およびスケール変換 へんかん したものと看做 みな せる。しかし L 1 と L ∞ の間 あいだ に成 な り立 た つこの同値 どうち 性 せい は他 た の次元 じげん に一般 いっぱん 化 か することはできない。
その他 た の円 えん を特別 とくべつ の場合 ばあい として含 ふく む曲線 きょくせん 族 ぞく
編集 へんしゅう
円 えん は他 た の様々 さまざま な図形 ずけい の極限 きょくげん の場合 ばあい と見 み ることができる:
デカルトの卵 たまご 形 がた 線 せん は焦点 しょうてん と呼 よ ばれるふたつの定点 ていてん からの距離 きょり の重 おも み付 つ き和 わ が一定 いってい となるような点 てん 全体 ぜんたい の成 な す軌跡 きせき である。各 かく 距離 きょり に付 つ ける重 おも みが全 すべ て等 ひと しいとき楕円 だえん となり、離 はなれ 心 しん 率 りつ が 0 であるような楕円 だえん として円 えん が得 え られる(これは二 ふた つの焦点 しょうてん が互 たが いに重 かさ なる極限 きょくげん の場合 ばあい であり、一致 いっち した焦点 しょうてん は得 え られる円 えん の中心 ちゅうしん となる)。ふたつの重 おも みのうちの一方 いっぽう を 0 として得 え られるデカルトの卵 たまご 形 がた 線 せん としても、円 えん が得 え られる。
超 ちょう 楕円 だえん は、適当 てきとう な正数 せいすう a, b > 0 と自然 しぜん 数 すう n に対 たい する
|
x
a
|
n
+
|
y
b
|
n
=
1
{\textstyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1}
の形 かたち の方程式 ほうていしき を持 も つ。b = a のとき超 ちょう 円 えん と言 い う。円 えん は n = 2 となる特別 とくべつ な超 ちょう 円 えん である。
カッシーニの卵 たまご 形 がた 線 せん は二 ふた つの定点 ていてん からの距離 きょり の積 せき が一定 いってい となるような点 てん 全体 ぜんたい の軌跡 きせき を言 い う。ふたつの定点 ていてん が一致 いっち するとき、円 えん が得 え られる。
定 てい 幅 はば 曲線 きょくせん は、その幅 はば —図形 ずけい の幅 はば は、それを挟 はさ む二 ふた つの平行 へいこう 線 せん が、各々 おのおの その図形 ずけい の境界 きょうかい と一 いち 点 てん のみを共有 きょうゆう するときの、それら平行 へいこう 線 せん 間 あいだ の距離 きょり として定 さだ める—が平行 へいこう 線 せん の方向 ほうこう のとり方 かた に依 よ らず一定 いってい であるような図形 ずけい を言 い う。円 えん はもっとも単純 たんじゅん な定 てい 幅 はば 曲線 きょくせん 形 がた の例 れい である。
半径 はんけい R の円弧 えんこ 上 じょう の始点 してん で幅 はば w 1 、終点 しゅうてん で幅 はば w 2 の拡幅 かくふく 円弧 えんこ の長 なが さの計算 けいさん
L
=
R
θ しーた
{\displaystyle L=R\theta }
k
=
w
2
−
w
1
L
{\displaystyle k={\frac {w_{2}-w_{1}}{L}}}
とすると、
d
L
=
(
R
+
w
1
+
k
R
θ しーた
)
d
θ しーた
{\displaystyle dL=(R+w_{1}+kR\theta )d\theta }
L
w
=
(
R
+
w
1
)
θ しーた
+
1
2
k
R
θ しーた
2
=
L
{
1
+
w
1
R
+
k
L
2
R
}
=
L
{
1
+
1
R
(
w
1
+
1
2
k
L
)
}
=
L
{
1
+
1
R
(
w
1
+
1
2
(
w
2
−
w
1
)
)
}
=
L
{
1
+
1
R
w
1
+
w
2
2
}
=
(
R
+
w
1
+
w
2
2
)
θ しーた
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}Lw&=&\displaystyle (R+w_{1})\theta +{\frac {1}{2}}kR\theta ^{2}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {w_{1}}{R}}+{\frac {kL}{2R}}\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}(w_{1}+{\frac {1}{2}}kL)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}\left(w_{1}+{\frac {1}{2}}(w_{2}-w_{1})\right)\right\}\\&=&\displaystyle L\left\{1+{\frac {1}{R}}{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right\}\\&=&\displaystyle \left(R+{\frac {w_{1}+w_{2}}{2}}\right)\theta \end{array}}}
ゆえに、拡幅 かくふく 円 えん の長 なが さは、平均 へいきん 半径 はんけい に中心 ちゅうしん 角 かく をかけたものとなる。
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円 えん (数学 すうがく )に
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