OpenGL

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3Dプログラミング

3Dに必要ひつような数学すうがく

ここまでで2Dのゲームプログラミングを見みてきました。ここまででもある程度ていど高度こうどな数学すうがくが現あらわれています。例たとえば，w:ベクトルやw:三角さんかく比ひはその例れいでどちらも高等こうとう学校がっこう数学すうがくで扱あつかわれる題材だいざいで、割合わりあい高度こうどな数学すうがくといえます。残念ざんねんながら3Dプログラミングでは更さらに高度こうどな数学すうがくが必要ひつようとなります。

3Dプログラミングでは4x4までのw:行列ぎょうれつの演算えんざんが必要ひつようになります。2x2までの行列ぎょうれつ演算えんざんについては高等こうとう学校がっこう数学すうがくCを参照さんしょうしてください。また、任意にんいの階数かいすうの行列ぎょうれつ演算えんざんについては線型せんけい代数だいすう学がくを参照さんしょうしてください。具体ぐたい的てきには、逆ぎゃく行列ぎょうれつを求もとめる演算えんざん（w:クラメールの公式こうしき、w:ガウスの消去しょうきょ法ほうなど）までを学習がくしゅうしておくとよいでしょう。

また、ゲームによっては初等しょとう的てきな力学りきがくの法則ほうそくを扱あつかう場合ばあいがあります。残念ざんねんながら3次元じげん空間くうかんでの一般いっぱん的てきな力学りきがく運動うんどうは高等こうとう学校がっこう物理ぶつりの範囲はんいを超こえます。このような内容ないようを習得しゅうとくするには，古典こてん力学りきがくを読よむ必要ひつようがあります。

いずれにしても、3Dプログラミングに必要ひつような数学すうがくはw:理系りけいの大学だいがく1, 2年ねん程度ていどで習ならう内容ないようです。

3Dプログラミング

w:3D (3 Dimension) プログラミングは3つの数値すうちで表あらわされる座標ざひょうを持もつ物体ぶったいを扱あつかうプログラミング技法ぎほうです。普通ふつうコンピュータで画面がめん表示ひょうじとして用もちいられているw:ディスプレイは、厚あつみのある事柄ことがらを表示ひょうじすることはできません。これは、ディスプレイの表示ひょうじ方法ほうほうが2つの座標ざひょう（縦たてと横よこ）で表あらわされる表示ひょうじ方法ほうほうであることによります。一方いっぽう，計算けいさん機上きじょうのデータとしては，3つの数値すうちを組くみとして扱あつかうことは，2つの数値すうちを組くみとして扱あつかうことと比くらべて格別かくべつに難むずかしいことではありません。そのため、ある物体ぶったいが存在そんざいする位置いちを3次元じげんの座標ざひょうで表あらわし，その座標ざひょうを操作そうさすることで物体ぶったいの3次元じげん中ちゅうでの移動いどうなどを扱あつかうことができます。この時とき，最終さいしゅう的てきに操作そうさの結果けっかを表示ひょうじするには2次元じげんのディスプレイを扱あつかう必要ひつようがあるため，3次元じげんの座標ざひょうを2次元じげんの座標ざひょうに変換へんかんする方法ほうほうが必要ひつようになります。

3次元じげんの座標ざひょうから2次元じげんの座標ざひょうを引ひき出だす方法ほうほうとして，射影しゃえい行列ぎょうれつ（線形せんけい代数だいすうなどを参照さんしょう）を利用りようする方法ほうほうがあげられます。射影しゃえい行列ぎょうれつ $P_{i}$ は，

\sum _{i}P_{i}=1

P_{i}^{2}=P_{i}

（和わを取とらない）を満みたす行列ぎょうれつのことです。ここでは、z軸じく方向ほうこうを厚あつみの方向ほうこうとして取とり，射影しゃえい行列ぎょうれつとして，

P_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

P_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

を取とります。この2つの行列ぎょうれつは $P_{1}+P_{2}=1,P_{1}^{2}=P_{1},P_{2}^{2}=P_{2}$ を満みたします。ここで、ある点てん ${\vec {x}}$ の3次元じげん座標ざひょうを

{\vec {x}}=(x,y,z)

とした時とき，その点てんの2次元じげん座標ざひょうを

P_{1}{\vec {x}}=(x,y,0)

のx, y成分せいぶんで表あらわします。これはあらゆる3次元じげん座標ざひょうにただ1つの2次元じげん座標ざひょうを与あたえる射影しゃえいで，3次元じげん座標ざひょうから2次元じげん座標ざひょうを取とり出だす1つの方法ほうほうということになります。

ここまでで3次元じげん座標ざひょうから2次元じげん座標ざひょうを取とり出だす方法ほうほうを述のべました。ここからは、実際じっさいにこの方法ほうほうをプログラムする方法ほうほうを述のべます。上うえの方法ほうほうを扱あつかうには、行列ぎょうれつの計算けいさんと、ベクトルを扱あつかう方法ほうほうが必要ひつようです。実際じっさいにはこれらの方法ほうほうはいろいろなライブラリで扱あつかわれており（例たとえば，w:en:GSL(GNU Scientific Library)など），実際じっさいのプログラミングではそれらを用もちいるとよいでしょう。もちろん自力じりきで実装じっそうすることもできます。

上うえで述のべた通とおり，行列ぎょうれつやベクトルを扱あつかう演算えんざんはプログラムで扱あつかうこともできますが，実際じっさいにはそれはあまり行おこなわれません。それはそのような計算けいさんはw:CPUにとって手間てまがかかることが多おおく，全すべてをCPUを使つかって計算けいさんしようとすると多おおくの時間じかんがかかるからです。このような計算けいさんを扱あつかうためには，w:グラフィックボード、w:ビデオカードと呼よばれる機器ききを使つかうことが推奨すいしょうされます。これらは、3次元じげんの計算けいさんをするために特とく化かした演算えんざん装置そうち（CPUに対たいして，w:GPUと呼よばれることがある）を持もっており，CPUを使つかって計算けいさんを行おこなうよりも速はやく演算えんざんを行おこなうことができます。ただし、そのような機器ききがない環境かんきょうでも全すべての計算けいさんをCPUを使つかって行おこなうことで3Dの描画びょうがを行おこなうことは可能かのうです。

ここまでで、3Dの計算けいさんを扱あつかうために専用せんようの機器ききを使つかえることを述のべました。ここからは実際じっさいにそのような機器ききを使つかう方法ほうほうについて述のべます。また、そのような機器ききがなくとも，同おなじプログラムを使つかってCPUに計算けいさんをさせる方法ほうほうがあることについても述のべます。

実際じっさいに何なんらかの機器ききを用意よういした時とき，その機器ききに実際じっさいに計算けいさんをさせるための手法しゅほうが必要ひつようになります。この手法しゅほうは環境かんきょうによって少すこし異ことなっています。各社かくしゃが発売はつばいしているw:グラフィックボードのw:デバイスドライバには，それらの機器ききを利用りよう者しゃのプログラムから利用りようするための一連いちれんの関数かんすうが用意よういされています。関数かんすう群ぐんには通常つうじょう2つがあり、これらはそれぞれw:DirectX、w:OpenGLと呼よばれます。Windowsからは両方りょうほうの関数かんすう群ぐんが使つかえることが普通ふつうです。一方いっぽう，他たの環境かんきょう（w:Mac OS X、w:Linuxなど）からはOpenGLしか使つかえません。これらの関数かんすう群ぐんは互たがいに互換ごかん性せいが無ないので，実際じっさいに使用しようするときは注意ちゅういが必要ひつようです。ここではOpenGLについて扱あつかいます。

ここで，グラフィックボードなどの機器ききが用意よういできないなどの理由りゆうで全すべての計算けいさんをCPUに行おこなわせる場合ばあいのことを述のべます。この場合ばあいは基本きほん的てきにグラフィックボードが提供ていきょうする機能きのうを1つ1つプログラムしていくことになります。実際じっさいには，このような場合ばあいにはw:en:Mesa 3Dなどのライブラリを使つかうのが1つの手段しゅだんです。Mesaは、OpenGLが提供ていきょうする機能きのうを実際じっさいにプログラムしたもので、1つ1つプログラムする手間てまが省はぶけます。Mesaはw:オープンソースライセンスで配布はいふされているので自由じゆうに手てに入いれて使つかうとよいでしょう。

ここまでで3Dの計算けいさんを行おこなう方法ほうほうについて述のべました。ここでは実際じっさいにOpenGLのプログラムを扱あつかいます。OpenGLのチュートリアルはWeb上じょうで公開こうかいされているので，紹介しょうかいします。(OpenGL Redbook http://fly.srk.fer.hr/~unreal/theredbook/ ) また、OpenGLの詳細しょうさいな規定きていは、http://www.opengl.org/documentation/specs/ で入手にゅうしゅできます。

OpenGLを利用りようして計算けいさんを行おこなうのですが、OpenGLが行おこなうのはあくまで計算けいさんであり，画面がめんへの描画びょうがでは無ないことに注意ちゅういが必要ひつようです。画面がめんへの描画びょうがはOpenGLでの計算けいさん結果けっかに従したがって描画びょうがを扱あつかうプログラムが行おこないます。Linuxでは描画びょうがはw:X Window Systemが行おこない，Mac OS Xでは、w:quartzが行おこないます。そのため、結果けっかの描画びょうがを行おこなうためには，描画びょうがを行おこなうプログラムに，OpenGLを利用りようすることを知しらせる必要ひつようがあります。

残念ざんねんな事ことにこの作業さぎょうを行おこなう方法ほうほうはウィンドウシステムによって異ことなっています。Xの場合ばあいにはglX関数かんすうを使つかい，Xに指示しじを出だしますが、この方法ほうほうは他たのプラットフォームでは使つかえません。幸さいわいにもこのような作業さぎょうを様々さまざまなプラットフォームで使つかう方法ほうほうとして，w:GLUT、w:SDLなどを利用りようすることができます。ここでは、SDLを利用りようする方法ほうほうについて述のべます。

GLUTは本来ほんらいGLの利用りようを簡単かんたんにするために作つくられました。一方いっぽう，SDLは本来ほんらいゲームプログラミングを行おこなうことを目的もくてきとして作つくられたライブラリです。しかし、いずれにしろ3Dプログラミングを行おこなうためにはOpenGLの利用りようは必須ひっすなので，SDLもGLUTに近ちかい機能きのうを持もっています。どちらもWindows, Mac OS X, Linux上じょうでOpenGLの動作どうさを始はじめることができます。

SDLでOpenGLを利用りようするときには

#include <SDL.h>
#include <GL/gl.h>
int main()
{
    if (SDL_SetVideoMode(200, 200, 0, SDL_OPENGL) == NULL)
        return 10;
     /*  OpenGLの処理しょり */
     SDL_GL_SwapBuffers();
    return 0;
}

とします。ここではこのプログラムについて順じゅんに説明せつめいしていきます。まず、OpenGLを使つかわなくとも、SDLを利用りようする場合ばあいでも、1, 3, 4, 5, 6, 9, 10行ぎょうは必要ひつようとなります。ただし，4行ぎょう目めは、

    SDL_Surface *surf;
    if (surf = SDL_SetVideoMode(200, 200, 0, 0))

などと書かき換かえる必要ひつようがあります。

1行ぎょう目めは，SDLを利用りようする際さいに必要ひつようとなるヘッダファイルです。これは常つねに必要ひつようになります。
2行ぎょう目めはOpenGLの関数かんすうを利用りようする時ときに必要ひつようとなるヘッダです。この部分ぶぶんは例たとえ，GLUTを利用りようするとしても，変かわりはありません。それは、SDLであるにしろ，GLUTであるにしろどちらもウィンドウシステムからOpenGLの領域りょういきを受うけ取とることに変かわりはないからです。そのため、利用りようするヘッダも、2つのライブラリで共通きょうつうのものを利用りようします。
3,4, 9, 10行ぎょう目めはほとんど全すべてのCプログラムで必要ひつようになります。
5行ぎょう目めでOpenGLの領域りょういきをウィンドウシステムから受うけ取とっています。SDL_SetVideoModeは本来ほんらいのSDLでは書かき換かえられたプログラムの5行ぎょう目めのように描画びょうがを行おこなうSDL_Surfaceという構造こうぞう体たいを返かえします。しかし、4つめの引数ひきすうにSDL_OPENGLのw:フラグを受うけ取とった時ときには，OpenGLの領域りょういきを初期しょき化かするように動作どうさが変化へんかします。仮かりにこの動作どうさが失敗しっぱいした場合ばあいには，この関数かんすうはNULLを返かえすので，その場合ばあいにはここでプログラムを終了しゅうりょうするのが普通ふつうです。
7行ぎょう目め以降いこうでOpenGLの関数かんすうを書かきます。ここについては後あとで述のべます。
8行ぎょう目めではSDL_GL_SwapBuffersという関数かんすうを使つかっています。この関数かんすうはOpenGLの関数かんすうで描画びょうがした図形ずけいを、実際じっさいにウィンドウに描画びょうがする関数かんすうです。この方法ほうほうはw:ダブルバッファを簡単かんたんに実現じつげんしてくれます。GLで描画びょうがされた内容ないようが実際じっさいに表示ひょうじされるのは，この関数かんすう以降いこうです。また、実際じっさいに描画びょうがを行おこなってもこのままではすぐにプログラムが終了しゅうりょうしてしまうので，描画びょうが結果けっかを見みるためには，whileループかsleepなどの関数かんすうを利用りようして，プログラムの実行じっこうを続つづける必要ひつようがあります。実際じっさいにはSDLはSDL_Delayというプログラムの実行じっこうを一時いちじ的てきに遅おくらせる関数かんすうを持もっているので，この関数かんすうを使つかうのもよいでしょう。

ここからは、実際じっさいにOpenGLの関数かんすうを書かいていきます。ここで書かかれるプログラムは上うえのプログラムの7行ぎょう目め以降いこうに書かかれるものです。

    glBegin(GL_LINE_LOOP);
    glVertex3d(0,0,0);
    glVertex3d(0,1,0);
    glVertex3d(1,0,0);
    glEnd();

このプログラム(tri.cとする)をコンパイルするには，いくつかのコンパイラオプションが必要ひつようです。コンパイラがw:GCCなら、

$gcc -Wall tri.c -L libGLのある場所ばしょ -I GL/gl.hのある場所ばしょ -lGL $(sdl-config --cflags --libs)

となります。実際じっさいにGLの関数かんすうが置おかれている場所ばしょは環境かんきょうによります。X+MesaではXが置おかれているディレクトリにあることが普通ふつうですが，グラフィックボードのドライバを利用りようするなら，w:メーカーの指定していしたディレクトリを使つかう必要ひつようがあります。また、上うえの例れいでは必要ひつようないですが，-lGLUをつける場合ばあいもあります。これはglu.hで定義ていぎされた関数かんすうを利用りようする場合ばあいに使つかいます。glu.hの関数かんすうは実際じっさいにはgl.hの関数かんすうをいくつか組くみ合あわせた関数かんすうですが，よく用もちいられる組くみ合あわせなので、gl.hの関数かんすうとともに配布はいふされます。

このプログラムを実行じっこうすると，黒くろい背景はいけいの中なかに白しろい3角形かくがたが描えがかれるはずです。

上うえのプログラムの結果けっかを説明せつめいするにはいくつかの事柄ことがらを説明せつめいする必要ひつようがあります。まず、上うえのプログラム内ないで,

glBegin(), glEnd()

という関数かんすうが使つかわれています。この関数かんすうはその中なかで指定していされた事柄ことがら(主おもに頂点ちょうてんに関かんする事柄ことがら)を記録きろくさせます。記録きろくできる事柄ことがらは頂点ちょうてんの位置いちや色いろなどがあります。頂点ちょうてんの位置いちを指定していするには

glVertex3f()

を使つかうことができます。ここでこの関数かんすう名めいはOpenGLに特徴とくちょう的てきな事柄ことがらをいくつか含ふくんでいます。最後さいごの3fがそれでこれはそれぞれこの関数かんすうが"3つ"の引数ひきすうを取とることと、その型かたが"GLfloat"であることです。ここでGLfloatはほとんどの場合ばあいfloat型がたのtypedefになっています。これ以降いこうにもこの種たねの関数かんすう名めいは何なん度どか出でてきます。glVertex3fは、3つの引数ひきすうによってそれぞれ3次元じげんの座標ざひょうを指定していします。

さて、ここまでで上うえのGLプログラムの1-5行ぎょうが、3つの座標ざひょうを指定していしたことがわかります。実際じっさいにそれらの座標ざひょうをどう使つかうかについてはglBegin()の引数ひきすうが使つかわれます。ここではGL_LINE_LOOPを使つかったので，指定していされた座標ざひょうは指定していされた順じゅんに直線ちょくせんでつながれます。

ここまでで、上うえのプログラム中ちゅうで座標ざひょう (0,0,0),(0,1,0),(0,0,1) が指定していされ，これらが直線ちょくせんでつながれることがわかりました。これは3次元じげん中ちゅうで3角形かくがたを描えがくことがわかります。次つぎの問題もんだいは，この三角形さんかっけいがどのようにディスプレイに投影とうえいされるかです。

OpenGLは3次元じげん中ちゅうに指定していされた座標ざひょうの2次元じげん中ちゅうでの位置いちを定さだめるために2つの行列ぎょうれつを利用りようします。ここで、OpenGLでは行列ぎょうれつを"扱あつかう"場所ばしょは1つしか用意よういしなくてもいいことが定さだめられています。もちろん、値ねを保存ほぞんしておく場所ばしょは複数ふくすうあるのですが，これらの値ねを変更へんこうするのに使つかう領域りょういきは1つです。そのため、これらの行列ぎょうれつを使つかい分わけるには，これらを所定しょていの場所ばしょに呼よび出だす必要ひつようがあります。ここで行列ぎょうれつを指定していするには，glMatrixMode()関数かんすうを使つかいます。この関数かんすうは1つの引数ひきすうを取とり、その値ねで行列ぎょうれつを指定していします。2次元じげん中ちゅうでの位置いちを指定していするのに使つかう行列ぎょうれつはそれぞれGL_MODELVIEW, GL_PEROJECTIONで指定していされます。これらの行列ぎょうれつの初期しょき値ちは4x4のw:単位たんい行列ぎょうれつです。また、実際じっさいに使つかわれるのはこれらの積せきであるので，値ねを変更へんこうするのは片方かたがたの行列ぎょうれつだけでもあらゆる変換へんかんを指定していすることは可能かのうです。

ここで2つの行列ぎょうれつのそれぞれについてその性質せいしつを述のべます。GL_MODELVIEW行列ぎょうれつはそれぞれの頂点ちょうてんの座標ざひょうを変更へんこうするのに利用りようします。実際じっさいには大抵たいていの場合ばあい、この行列ぎょうれつは

glRotatef(), glScalef(), glTranslatef()

の3つの関数かんすうから利用りようされます。これらの関数かんすうは順じゅんに，座標ざひょうを"回転かいてん", "拡大かくだい縮小しゅくしょう", "平行へいこう移動いどう"します。これらの関数かんすうはそれぞれ対応たいおうする変換へんかんを行おこなう行列ぎょうれつを生成せいせいし、選択せんたくされている行列ぎょうれつを変換へんかんします。ここではそれらの行列ぎょうれつの詳細しょうさいについて解説かいせつします。対応たいおうする行列ぎょうれつについてはそれぞれのmanを参照さんしょうしてください。(OpenGLのspecification http://www.opengl.org/documentation/specs/man_pages/hardcopy/GL/html/ )

translateの生成せいせいする行列ぎょうれつは、

{\begin{pmatrix}1&0&0&x\\0&1&0&y\\0&0&1&z\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

で与あたえられます。この行列ぎょうれつは、元もとの頂点ちょうてんの3次元じげん座標ざひょうが ${\vec {v}}$ で表あらわされるときの同どう次つぎ座標ざひょう $(v_{1},v_{2},v_{3},1)$ を、 $(v_{1}+x,v_{2}+y,v_{3}+z,1)$ に変換へんかんしますが、これはまさに平行へいこう移動いどうによって引ひき起おこされる座標ざひょう変換へんかんに対応たいおうしています。

scaleの生成せいせいする行列ぎょうれつは、

{\begin{pmatrix}x&0&0&0\\0&y&0&0\\0&0&z&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

です。この変換へんかんは3次元じげん座標ざひょう $(v_{x},v_{y},v_{z})$ を、 $(xv_{x},yv_{y},zv_{z})$ に変換へんかんします。これはx,y,zの値ねによってそれぞれの座標ざひょうを拡大かくだい縮小しゅくしょうする変換へんかんに対応たいおうします。

最後さいごに、rotateで得えられる行列ぎょうれつを紹介しょうかいします。

{\begin{pmatrix}n_{x}^{2}(1-c)+c&n_{x}n_{y}(1-c)-n_{z}s&n_{x}n_{z}(1-c)+n_{y}s&0\\n_{x}n_{y}(1-c)+n_{z}s&n_{y}^{2}(1-c)+c&n_{y}n_{z}(1-c)-n_{x}s&0\\n_{x}n_{z}(1-c)-n_{y}s&n_{y}n_{z}(1-c)+n_{x}s&n_{z}^{2}(1-c)+c&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

この変換へんかんの導出どうしゅつは少すこし厄介やっかいです。まず、原点げんてんから始はじまり、回転かいてんの方向ほうこうを向むいている単位たんいベクトルを ${\vec {n}}$ とし、ある頂点ちょうてんの座標ざひょうを表あらわすベクトルを ${\vec {a}}$ とします。このとき、この回転かいてんで変化へんかするのは、 ${\vec {a}}$ のうち、 ${\vec {n}}$ に平行へいこうでない成分せいぶんのみです。

${\vec {n}}$ に平行へいこうな成分せいぶんは、

{\vec {a}}_{\parallel }=({\vec {a}}\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}

で表あらわされるので、実際じっさいに回転かいてんによって変化へんかする成分せいぶんは、 ${\vec {a}}$ から上うえの分ぶんを取とり除のぞいたベクトルです。このベクトルを ${\vec {a}}_{\perp }$ と呼よびます。このベクトルは回転かいてんによって変化へんかしますが、これを表あらわすには、 ${\vec {a}}_{\perp }$ と ${\vec {n}}$ の両方りょうほうに直交ちょっこうするベクトルが必要ひつようです。このベクトルを、

{\vec {b}}={\vec {n}}\times {\vec {a}}_{\perp }

と取とります。このとき、回転かいてんする角度かくどを $\theta$ とすると、後ごのベクトルは、 ${\vec {r}}=\cos \theta {\vec {a}}_{\perp }+\sin \theta {\vec {b}}$ と書かけます。

結局けっきょく得えられるベクトルは、

{\vec {a}}_{\parallel }+{\vec {r}}

となります。ここからは、この結果けっかが上うえの式しきと一致いっちすることを示しめすため、この式しきを整理せいりしていきます。まず、 ${\vec {a}}_{\parallel }$ について、3x3行列ぎょうれつ

N={\vec {n}}{}^{t}{\vec {n}}={\begin{pmatrix}n_{x}^{2}&n_{x}n_{y}&n_{z}n_{x}\\n_{x}n_{y}&n_{y}^{2}&n_{y}n_{z}\\n_{z}n_{x}&n_{y}n_{z}&n_{z}^{2}\end{pmatrix}}

を定義ていぎすると、 ${\vec {a}}_{\parallel }=N{\vec {a}}$ が成なり立たちます。また、 ${\vec {b}}$ について、3x3行列ぎょうれつ

R={\begin{pmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{pmatrix}}

を定義ていぎすると、 ${\vec {b}}=R{\vec {a}}$ が成なり立たちます。このことから結果けっかの式しきについて、

{\vec {a}}_{\parallel }+{\vec {r}}

=N{\vec {a}}+\cos \theta ({\vec {a}}-N{\vec {a}})+\sin \theta R{\vec {a}}

が得えられますが、これを整理せいりすると求もとめていた行列ぎょうれつx ${\vec {a}}$ が現あらわれます。

次つぎに、GL_PROJECTION行列ぎょうれつについて述のべます。OpenGLでは、頂点ちょうてんの座標ざひょうについてこれらの行列ぎょうれつをかけた後のち (-1, -1, -1), (1,1,1) で指定していされる立方体りっぽうたい内ないにある図形ずけいを描えがきます。このため、例たとえば (0,0,10) にある図形ずけいは一般いっぱんには描えがかれません。しかし、図形ずけいを3次元じげん中ちゅうに描えがくときの事情じじょうで、これらの位置いちを自由じゆうに指定していできないと不便ふべんです。GL_PROJECTION行列ぎょうれつは"描画びょうがされる範囲はんいを広ひろげる"目的もくてきで利用りようされます。また、この行列ぎょうれつは、"遠とおくにあるものほど小ちいさく見みえる"という状況じょうきょうを扱あつかうためにも利用りようされます。

まず、"描画びょうがされる範囲はんいを広ひろげる"場合ばあいについて行列ぎょうれつの指定していの仕方しかたを説明せつめいします。実際じっさいには範囲はんいを広ひろげているのでは無なく，"(-1,-1,-1)(1,1,1) 内ないに入はいるように、遠とおくにあるものを近ちかくに持もってきている"のが正ただしいのですが、どちらにしろ結果けっかは同おなじです。これを指定していするにはglOrtho()関数かんすうを利用りようします。glOrtho関数かんすうは6つの引数ひきすうを取とり，それぞれ描画びょうがする立方体りっぽうたい（一般いっぱんには直方体ちょくほうたい）を指定していする座標ざひょうを取とります。引数ひきすうは順じゅんに

glOrtho(left, right, bottom, top, near, far)

と呼よばれ，描画びょうがされる直方体ちょくほうたいは(left, bottom, near)(right, top, far)で指定していされます。このとき、glOrthoを利用りようしないときは

glOrtho(-1, 1, -1, 1, -1, 1)

が指定していされたときと同おなじ結果けっかになることがわかりますが、実際じっさいにはこの指定していは4x4の単位たんい行列ぎょうれつを返かえすので指定していを省略しょうりゃくしたときと結果けっかは同おなじになります。対応たいおうする行列ぎょうれつは

行列ぎょうれつ

となります

次つぎに、"遠とおくにあるものほど小ちいさく見みえる"の場合ばあいについて説明せつめいします。これを指定していするためには，いくつかの変数へんすうが必要ひつようになります。まず、"物体ぶったいを観察かんさつするもの"が (0,0,0) にあるとします。次つぎに，遠とおくの物体ぶったいが縮小しゅくしょうされる割合わりあいを指定していします。これは、投影とうえいされた後のちのx座標ざひょうとy座標ざひょうに対応たいおうして2つのパラメータが必要ひつようです。更さらに，見みえる方向ほうこうがz方向ほうこうで無ない場合ばあいを扱あつかうために2つのパラメータが必要ひつようとなります。最後さいごに，上うえで指定していした角度かくどの方向ほうこうに実際じっさいに描画びょうがするz座標ざひょうの範囲はんいを指定していします。これらを全すべて指定していすると、描画びょうがされる領域りょういきは角錐かくすい (w:en:frustum) になります。

図ず

実際じっさいにこの領域りょういきを指定していするにはglFrustum関数かんすうを利用りようします。glFrustum関数かんすうは6つの引数ひきすうを取とりますが，それぞれの引数ひきすうは

glFrustum(left, right, top, bottom, near, far)

で与あたえられる名前なまえをもっており、縮小しゅくしょうされる割合わりあいを定さだめる四角形しかっけいがl, r, t, b、四角形しかっけいの位置いちがn、描画びょうがされる範囲はんいがfで定さだめられます。glFrustumで与あたえられる行列ぎょうれつは

行列ぎょうれつ

です。