コーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき

数学すうがくにおけるコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしき（コーシーシュワルツのふとうしき、英えい: Cauchy–Schwarz inequality）、シュワルツの不等式ふとうしき、シュヴァルツの不等式ふとうしきあるいはコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式ふとうしき (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、内積ないせき空間くうかんにおいて、2つのベクトルの内積ないせきの絶対ぜったい値ちはその2つのノルムの積せき以下いかであることを主張しゅちょうする不等式ふとうしきである。

線型せんけい代数だいすう学がくや関数かんすう解析かいせき学がくにおける有限ゆうげん次元じげんおよび無限むげん次元じげんのベクトルの内積ないせきや、確率かくりつ論ろんにおける分散ぶんさんや共きょう分散ぶんさんに適用てきようされるなど、様々さまざまな状況じょうきょうで現あらわれる有用ゆうような不等式ふとうしきである。

数列すうれつに対たいする不等式ふとうしきはオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって1821年ねんに、積分せきぶん系けいでの不等式ふとうしきはまずヴィクトール・ブニャコフスキーによって1859年ねんに発見はっけんされた後のちヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツによって1888年ねんに再さい発見はっけんされた。

定理ていりの内容ないようと意義いぎ

$x, y$ が実みまたは複素ふくそ内積ないせき空間くうかん $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ の元もとであるとき、コーシー＝シュワルツの不等式ふとうしきは次つぎのように表あらわされる：

\langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .

これの等号とうごう成立せいりつは、 $x, y$ が線型せんけい従属じゅうぞくであるとき、つまり $x, y$ の一方いっぽうが 0 であるか、さもなくば平行へいこうであるときである。内積ないせきの導みちびくノルム $\|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle$ を用もちいればこれは

|\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert

とも表あらわせる。

コーシー＝シュワルツの不等式ふとうしきの重要じゅうような帰結きけつとして、内積ないせきが2つのベクトルについて連続れんぞくであるということが挙あげられる。従したがって特とくに、ベクトル $x$ に対たいする連続れんぞく汎ひろし函数かんすう $\langle x,\cdot \rangle$ あるいは $\langle \cdot ,x\rangle$ を定さだめることができる。さらに、ベクトル $x$ に汎ひろし函数かんすう $x^{*}\colon y\mapsto \langle y,x\rangle$ を作用さようさせると等ひとし長ちょう作用素さようそになっていることも従したがう。

また、この定理ていりの系けいとして内積ないせきノルムに関かんする三角さんかく不等式ふとうしき

\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert

が導みちびかれる。これの等号とうごう成立せいりつは、 $x$ と $y$ の一方いっぽうが他方たほうの非負ひふ実じつ数すう倍ばいであるときである。

証明しょうめい

定理ていりには数すう多おおくの証明しょうめいが知しられている。

判別はんべつ式しきによる証明しょうめい

実じつ内積ないせき空間くうかんにおけるシュワルツの不等式ふとうしきの特徴とくちょう的てきな証明しょうめいの一ひとつに、二に次じ式しきとその判別はんべつ式しきを用もちいるものがある。実際じっさい、 $t$ を実じつ変数へんすう（あるいは任意にんいの実じつ定数ていすう）として

0\leq \langle {\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle +2\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle t+\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle t^{2}

が（内積ないせきの加法かほう性せいにより） $t$ に依よらず成立せいりつし、 $t$ の絶対ぜったい二に次じ不等式ふとうしきとなる。ゆえに、二に次じ不等式ふとうしきについてよく知しられた事実じじつにより、この $t$ の二に次じ式しきの判別はんべつ式しき Δでるたは半はん負まけ定値ていち（非ひ正せい）でなければならない：

\Delta /4=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ^{2}-\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0.

ここからコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしきを得える。

複素ふくそ内積ないせき空間くうかんにおいても同様どうようの証明しょうめいがある。この場合ばあいは、⟨ $x$ | $y$ ⟩ なる内積ないせきを考かんがえるとき、実数じっすう $t$ と絶対ぜったい値ち 1 の複素数ふくそすう $λ らむだ$ について

\langle {\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}\rangle

に対たいして同様どうようの議論ぎろんを行おこない、

\left(\operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle \right)^{2}-\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0

が導みちびかれる。特とくに $\lambda ={\frac {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}$ とすると、これは絶対ぜったい値ち 1 であり、

\operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\bar {\lambda }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\frac {{\overline {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}=|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |

であるから、定理ていりの主張しゅちょうが得えられる。

直交ちょっこう射影しゃえいによる証明しょうめい

別べつの観点かんてんの証明しょうめいとして、直交ちょっこう射影しゃえいを考かんがえる以下いかのものがある： $‖ y ‖ = 0$ のときは、 $x$ と $y$ の内積ないせきが 0 になり、問題もんだいの不等式ふとうしきは自明じめいである。 $‖ y ‖ > 0$ のときは、

t={\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}

とすると、 $t y$ は $x$ の $y$ 方向ほうこうへの直交ちょっこう射影しゃえいである。実際じっさい、この $t$ について $z := x - t y$ は $y$ に直交ちょっこうしている。

0\leq \|z\|^{2}=\|x\|^{2}-\|ty\|^{2}={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}

よりコーシー＝シュワルツの不等式ふとうしきが従したがう。不等式ふとうしきの等号とうごう成立せいりつは $z = 0$ 、即すなわち $x, y$ が線型せんけい従属じゅうぞくのときであることが分わかる。

数学すうがく的てき帰納きのう法ほうによる証明しょうめい

標準ひょうじゅん内積ないせきを入いれた数かずベクトル空間くうかんで考かんがえている場合ばあいは、成分せいぶん表示ひょうじすると

\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)

となるが、特とくにユークリッド空間くうかん（実数じっすう空間くうかん）Rⁿ（つまり各かく成分せいぶん $x i, y i$ が実数じっすう）の場合ばあいについては、この不等式ふとうしきは $n$ に関かんする数学すうがく的てき帰納きのう法ほうで証明しょうめいすることができる。各かく $x i, y i$ が負まけでない場合ばあいを示しめせばよい。 $n = 1$ のときは明あきらかに成立せいりつ。 $n = 2$ のときは、

({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0

より成なり立たつ。 $n = k (\geq 2)$ で成立せいりつすると仮定かていする。 $n = k + 1$ のとき、

\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}y_{i}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}

\leq \left(\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}

（∵帰納きのう法ほうの仮定かていより）

\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}+{x_{k+1}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}+{y_{k+1}}^{2}\right)

（∵

n = 2

のときより）

=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{y_{i}}^{2}\right)

となって成立せいりつする。

具体ぐたい例れい

標準ひょうじゅん内積ないせきを入いれた数かずベクトル空間くうかんで考かんがえている場合ばあいは、成分せいぶん表示ひょうじすると

\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)

となる。特とくに $n = 2, 3$ の場合ばあいは

(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})

(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2})

となる。これらは有限ゆうげん次元じげんの内積ないせき空間くうかんにおける例れいであるが、無限むげん次元じげんの内積ないせき空間くうかんでも成なり立たつ。自乗じじょう可か積分せきぶん函数かんすう空間くうかんでは内積ないせきとして積分せきぶんの形かたちがあり、2つの自乗じじょう可か積分せきぶん函数かんすう $f, g$ に対たいして

\left(\int f(x)g(x)^{*}\,dx\right)^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx

がシュワルツの不等式ふとうしきに当あたる不等式ふとうしきである。これはヘルダーの不等式ふとうしきに一般いっぱん化かされる。

参考さんこう文献ぶんけん

黒田くろだ成俊なりとし『関数かんすう解析かいせき』共立きょうりつ出版しゅっぱん株式会社かぶしきがいしゃ〈共立きょうりつ数学すうがく講座こうざ 15〉、1980年ねん11月1日にち。ISBN 978-4-320-01106-9。
齋藤さいとう正彦まさひこ『線型せんけい代数だいすう入門にゅうもん』（初版しょはん）東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい〈基礎きそ数学すうがく1〉、1966年ねん3月がつ31日にち。ISBN 978-4-13-062001-7。

外部がいぶリンク

ブリタニカ国際こくさい大だい百科ひゃっか事典じてん小しょう項目こうもく事典じてん『シュワルツの不等式ふとうしき』 - コトバンク
『コーシーシュワルツの不等式ふとうしきとそのエレガントな証明しょうめい』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
『シュワルツの不等式ふとうしきの応用おうよう公式こうしきと例題れいだい』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
Weisstein, Eric W. "Cauchy's Inequality". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Weisstein, Eric W. "Schwarz's Inequality". mathworld.wolfram.com (英語えいご).