パウリ行列ぎょうれつ

パウリ行列ぎょうれつ（パウリぎょうれつ、英えい: Pauli matrices）、パウリのスピン行列ぎょうれつ（パウリのスピンぎょうれつ、英えい: Pauli spin matrices）とは、下したに挙あげる3つの複素ふくそ2次じ正方まさかた行列ぎょうれつの組くみのことである。σしぐま（シグマ）で表記ひょうきされることが多おおい。量子力学りょうしりきがくのスピン角かく運動うんどう量りょうや、部分ぶぶん偏へん極ごく状態じょうたいの記述きじゅつ方法ほうほうに関連かんれんが深ふかい。1927年ねんに物理ぶつり学者がくしゃヴォルフガング・パウリによって、スピン角かく運動うんどう量りょうの記述きじゅつのために導入どうにゅうされた。

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

添字そえじは数学すうがくでは 1, 2, 3 が、物理ぶつり学がくでは x, y, z が使つかわれる。座標ざひょう系けいによっては添字そえじと3つの行列ぎょうれつの対応たいおうが違ちがったり、あるいは符号ふごうが違ちがったり、さらには一見いっけん全まったく違ちがって見みえることもあるが、本質ほんしつ的てきな性質せいしつは変かわらない。

上記じょうき3つに単位たんい行列ぎょうれつ I を加くわえた4つの行列ぎょうれつをパウリ行列ぎょうれつと呼よぶこともある。

$\sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

基本きほん的てきな性質せいしつ

パウリ行列ぎょうれつは次つぎの性質せいしつを満みたす。

エルミート性せい・ユニタリ性せい

パウリ行列ぎょうれつは

${\sigma _{k}}^{\dagger }=\sigma _{k}\qquad (k=1,2,3)$

を満みたすエルミート行列ぎょうれつであり、

${\sigma _{k}}^{\dagger }\sigma _{k}=\sigma _{k}{\sigma _{k}}^{\dagger }=I\qquad (k=1,2,3)$

を満みたすユニタリ行列ぎょうれつでもある。

パウリ行列ぎょうれつの積せき

パウリ行列ぎょうれつの自乗じじょうは単位たんい行列ぎょうれつに等ひとしい。

${\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}={\sigma _{3}}^{2}=I$

また相あい異ことなるパウリ行列ぎょうれつ同士どうしの積せきは次つぎの関係かんけいを満みたす。

$\sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}$

すなわち i, j, k = 1, 2, 3 について

${\begin{cases}{\sigma _{i}}^{2}&=I=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\sigma _{i}\sigma _{j}&=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (i\neq j)\end{cases}}$

が成なり立たつ。ここでクロネッカーのデルタ δでるた_ij とエディントンのイプシロン εいぷしろん_ijk を用もちいれば、これらをまとめて

$\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}I+i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\qquad (i,j,k=1,2,3)$

と書かくことができる。

交換こうかん関係かんけい・反はん交換こうかん関係かんけい

パウリ行列ぎょうれつの交換こうかん関係かんけいと反はん交換こうかん関係かんけいは一般いっぱん的てきに

${\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}$

となる。

交換こうかん関係かんけい	反はん交換こうかん関係かんけい
${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\\\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{2},\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{3},\sigma _{1}\right\}&=0\end{aligned}}$

固有値こゆうち・固有こゆうベクトル

それぞれのパウリ行列ぎょうれつは、固有値こゆうち +1 と −1 を持もつ。それぞれの規格きかく化かされた固有こゆうベクトルは、

${\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{alignedat}}$

である。

トレース・行列ぎょうれつ式しき

パウリ行列ぎょうれつ σしぐま_k (k = 1, 2, 3) のトレース (Tr) は 0 となり、行列ぎょうれつ式しき (det) は −1 となる。

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{k})&=0\\\det(\sigma _{k})&=-1\end{aligned}}$

2次じ単位たんい行列ぎょうれつ σしぐま₀ = I を含ふくめた場合ばあい、

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{0})&=2\\\det(\sigma _{0})&=1\end{aligned}}$

である。

単位たんい行列ぎょうれつを含ふくめたパウリ行列ぎょうれつ σしぐま_μみゅー (μみゅー = 0, 1, 2, 3) について、

$\operatorname {Tr} (\sigma _{\mu }\sigma _{\nu })=2\delta _{\mu \nu }\quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)$

が成なり立たつ。よって、複素ふくそ2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ空間くうかん Mat(2,C) において、単位たんい行列ぎょうれつを含ふくめたパウリ行列ぎょうれつはヒルベルト＝シュミット内積ないせき ⟨A, B⟩ = Tr(A^†B) について、直交ちょっこうする。

複素ふくそ行列ぎょうれつの展開てんかい

複素ふくそ2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ空間くうかん Mat(2,C) において、単位たんい行列ぎょうれつを含ふくむパウリ行列ぎょうれつは直交ちょっこう基底きていをなす。よって、任意にんいの複素ふくそ2次じ行列ぎょうれつ A は単位たんい行列ぎょうれつを含ふくむパウリ行列ぎょうれつ σしぐま_μみゅー (μみゅー = 0, 1, 2, 3) の線形せんけい結合けつごうとして、次つぎの形かたちで書かける。

$A=s_{0}I+s_{1}\sigma _{1}+s_{2}\sigma _{2}+s_{3}\sigma _{3}=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}s_{\mu }\sigma _{\mu }$

ここで複素ふくそ係数けいすう s_μみゅー は

$s_{\mu }={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (A\sigma _{\mu })\quad (\mu =0,1,2,3)$

で与あたえられる。

また、任意にんいの2次じエルミート行列ぎょうれつ A は単位たんい行列ぎょうれつを含ふくむパウリ行列ぎょうれつの線形せんけい結合けつごうで書かいたとき、係数けいすう s_μみゅー は実数じっすうになる。

部分ぶぶん偏へん極ごく状態じょうたいを表現ひょうげんするコヒーレンス行列ぎょうれつはエルミート行列ぎょうれつであるが、これをパウリ行列ぎょうれつで展開てんかいした係数けいすうを要素ようそとするベクトル（実じつベクトル）はストークスベクトルと呼よばれる。ストークスベクトルは、ある種しゅの射影しゃえい空間くうかんであるポアンカレ球だまの座標ざひょう系けいを作つくる。

指数しすう関数かんすう

パウリ行列ぎょうれつの性質せいしつ

${\sigma _{i}}^{2}=I$

から、その行列ぎょうれつ指数しすう関数かんすうはオイラーの公式こうしきの類似るいじである関係かんけい式しき

$\exp(ia\sigma _{i})=I\cos a+i\sigma _{i}\sin a\quad (a\in \mathbb {C} )$

を満みたす。 さらに実じつベクトル a→ = (a₁, a₂, a₃) ∈ R³ とパウリ行列ぎょうれつの組くみ σしぐま→ = (σしぐま₁, σしぐま₂, σしぐま₃) に対たいし、

$\exp(i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=I\cos {|{\vec {a}}|}+i({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {|{\vec {a}}|}$

が成なり立たつ。ただし、n→ は

${\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})$

で与あたえられる単位たんいベクトルである。

a→ が実じつベクトルの場合ばあい、exp(i a→⋅σしぐま→) は2次じ特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(2) の元もととなる。これはパウリ行列ぎょうれつに虚数きょすう単位たんいを乗じょうじた iσしぐま_k (k = 1, 2, 3) が SU(2) に対応たいおうするリー代数だいすう 𝔰𝔲(2) の基底きていであることによる。

SU(2)の生成せいせい子こ

パウリ行列ぎょうれつは、行列ぎょうれつ式しきを 1 とする 2次じユニタリ行列ぎょうれつがなす2次じ特殊とくしゅユニタリ群ぐん SU(2) に対応たいおうするリー代数だいすう 𝔰𝔲(2) の生成せいせい子こである。パウリ行列ぎょうれつに −i/2 を乗じょうじた

${\begin{aligned}X_{1}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&-i/2\\-i/2&0\end{bmatrix}}\\X_{2}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\1/2&0\end{bmatrix}}\\X_{3}&=-{\frac {i}{2}}\sigma _{3}={\begin{bmatrix}-i/2&0\\0&i/2\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

は 𝔰𝔲(2) の基底きていであり、交換こうかん関係かんけい

$[X_{1},X_{2}]=X_{3},\,[X_{2},X_{3}]=X_{1},\,[X_{3},X_{1}]=X_{2}$

を満みたす。𝔰𝔲(2) はトレースが 0 かつ反はんエルミート

${\begin{aligned}\operatorname {Tr} (X)&=0\\X^{\dagger }&=-X\end{aligned}}$

である元もと X から構成こうせいされるが、X₁, X₂, X₃ はこの性質せいしつを満みたす。コンパクトで連結れんけつな線形せんけいリー群ぐんである SU(2) の任意にんいの元もとは、リー環たまきの指数しすう写像しゃぞうによって、

$\exp(\sum \limits _{k=1}^{3}t_{k}X_{k})\quad (t_{1},t_{2},t_{3}\in \mathbb {R} )$

の形かたちで与あたえることができる。

スピン角かく運動うんどう量りょう

詳細しょうさいは「スピン角かく運動うんどう量りょう」を参照さんしょう

量子力学りょうしりきがくにおいて、パウリ行列ぎょうれつはスピン 1/2 の角かく運動うんどう量りょう演算えんざん子この表現ひょうげんに現あらわれる。角かく運動うんどう量りょう演算えんざん子こ J₁, J₂, J₃ は交換こうかん関係かんけい

$[J_{1},J_{2}]=i\hbar J_{3},\,[J_{2},J_{3}]=i\hbar J_{1},\,[J_{3},J_{1}]=i\hbar J_{2}$

を満みたす。ただし、ℏ = h/2πぱい はディラック定数ていすうである。エディントンのイプシロン εいぷしろん_ijk を用もちいれば、この関係かんけい式しきは

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}J_{k}$

と表あらわすことができる。ここで、

${\begin{aligned}J_{1}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\J_{2}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\\J_{3}^{1/2}&={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

を導入どうにゅうすると、これらは上記じょうきの角かく運動うんどう量りょう演算えんざん子この交換こうかん関係かんけいを満みたしている。J₁, J₂, J₃ の交換こうかん関係かんけいはゼロではないため、同時どうじに対たい角かく化かできないが、この表現ひょうげんは J₃ を選えらび対たい角かく化かしている。J₃^1/2 の固有値こゆうちは +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン 1/2 の状態じょうたいを記述きじゅつする。

ガンマ行列ぎょうれつの表現ひょうげん

詳細しょうさいは「ガンマ行列ぎょうれつ」を参照さんしょう

パウリ行列ぎょうれつはガンマ行列ぎょうれつの特定とくていの表現ひょうげんを構成こうせいするのに用もちいられる。ガンマ行列ぎょうれつ σしぐま^μみゅー (μみゅー= 0, 1, 2, 3) は反はん交換こうかん関係かんけい

$\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I$

を満みたすものとして定義ていぎされる。ただし、I は単位たんい元もとであり、g^{μみゅーνにゅー} (μみゅー, νにゅー = 0, 1, 2, 3) は4次元じげん時空じくうのミンコフスキー計量けいりょう g = (g^{μみゅーνにゅー}) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次じ単位たんい行列ぎょうれつ I₂ とパウリ行列ぎょうれつにより、4次じ正方せいほう行列ぎょうれつ

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{bmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}\quad (j=1,2,3)$

を導入どうにゅうすると、これらは上記じょうきの反はん交換こうかん関係かんけいを満みたし、ガンマ行列ぎょうれつの表現ひょうげんを与あたえる。これをガンマ行列ぎょうれつのディラック表現ひょうげんと呼よぶ。これは次つぎの直積ちょくせきに対たいする4次じ正方せいほう行列ぎょうれつ表現ひょうげんである。

$\gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)$

順じゅん時じ固有こゆうローレンツ群ぐんとSL(2,C)

パウリ行列ぎょうれつは順じゅん時じ固有こゆうローレンツ群ぐん L^↑₊ とその普遍ふへん被覆ひふく群ぐんである2次じ特殊とくしゅ線形せんけい群ぐん SL(2, C) を対応たいおうづけるのに用もちいられる。ローレンツ群ぐん L = O(3, 1) は一般いっぱん線形せんけい群ぐん GL(4, R) の元もと Λらむだ で4次元じげん時空じくうのミンコフスキー計量けいりょう g = (g_{μみゅーνにゅー}) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μみゅー, νにゅー = 0, 1, 2, 3) に対たいし、Λらむだ^TgΛらむだ = g を満みたし、ミンコフスキー内積ないせきを保たもつものから成なる。

$L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}$

一方いっぽう、順じゅん時じ固有こゆうローレンツ群ぐん L^↑₊ = SO⁺(3, 1) はローレンツ群ぐんの連結れんけつな正規せいき部分ぶぶん群ぐんであり、00成分せいぶんと行列ぎょうれつ式しきの符号ふごうについての条件じょうけんから

$L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}$

として、定義ていぎされる。ここで4元げんベクトル x = (x⁰, x¹, x², x³) に対たいし、パウリ行列ぎょうれつ σしぐま₀ = I, σしぐま→ = (σしぐま₁, σしぐま₂, σしぐま₃) により、2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ

$X=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{bmatrix}}$

を導入どうにゅうする。その行列ぎょうれつ式しきは

$\det X=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}$

であり、ミンコフスキー内積ないせき ⟨x, x⟩ を与あたえる。ここで SL(2, C) の元もと A により、変換へんかん

$X'=AXA^{\dagger }$

を定義ていぎすると、

$\det X'=\det X$

であり、ミンコフスキー内積ないせきを保たもち、順じゅん時じ固有こゆうローレンツ変換へんかん Λらむだ(A) を与あたえる。さらに、±A は同おなじローレンツ変換へんかん Λらむだ(A) = Λらむだ(−A) を与あたえることから、これは SL(2, C) から L^↑₊ への2対たい1の準じゅん同型どうけい写像しゃぞうを与あたえる。その核かくは Z₂ = {±1} であり、群ぐんの同型どうけい対応たいおう

$SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }$

が成なり立たつ。

四よん元げん数すうの表現ひょうげん

パウリ行列ぎょうれつにより、四よん元げん数すうの2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ表現ひょうげんを与あたえることができる。

$e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)$

を導入どうにゅうすると、関係かんけい式しき

${e_{1}}^{2}={e_{2}}^{2}={e_{3}}^{2}=-I$

$e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}$

を満みたす。これは四よん元げん数すうの基底きてい元もと i, j, k が満みたす関係かんけい式しき

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$

$ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j$

と対応たいおうする。四よん元げん数すう環たまき H から複素ふくそ行列ぎょうれつ環たまき Mat(2,C) へのR-線形せんけい写像しゃぞう

$a1+bi+cj+dk\mapsto aI+be_{1}+ce_{2}+de_{3}\ \quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

は和わと積せきと保たもち、四元よつもと数すうの2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ表現ひょうげんを与あたえる。この像ぞうは

$M=\left\{{\begin{bmatrix}a-di&-(c+bi)\\c-bi&a+di\end{bmatrix}}\,{\Biggl |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}\,{\Biggl |}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \right\}$

であり、H と M は R-多元たげん環たまきとして同型どうけいである。

参考さんこう文献ぶんけん

• 猪木いのき慶治けいじ、川合かわい光ひかり『量子力学りょうしりきがくI』 講談社こうだんしゃ (1994) ISBN 978-4061532090
• 佐藤さとう光ひかり『物理ぶつり数学すうがく特とく論ろん 群ぐんと物理ぶつり（パリティ物理ぶつり学がくコース）』丸善まるぜん (1992) ISBN 978-4621037874
• 平井ひらい武たけし、山下やました博ひろし『表現ひょうげん論ろん入門にゅうもんセミナー ―具体ぐたい例れいから最先端さいせんたんにむかって』遊星ゆうせい社しゃ (2003) ISBN 978-4795268982
• J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

関連かんれん項目こうもく

• ヴォルフガング・パウリ
• ガンマ行列ぎょうれつ
• 四よん元げん数すう