ボホナー空間くうかん

数学すうがくの分野ぶんやにおけるボホナー空間くうかん（ボホナーくうかん、英えい: Bochner space）とは、必かならずしも実数じっすうの空間くうかん R あるいは複素数ふくそすうの空間くうかん C とは限かぎらないバナッハ空間くうかんに値ねを取とる関数かんすうへの、Lp空間くうかんの概念がいねんの一般いっぱん化かである。

ボホナー空間くうかん L^p(X) は、バナッハ空間くうかん X に値ねを取とるボホナー可か測はか関数かんすう f で、そのノルム ||f||_X が通常つうじょうの L^p 空間くうかんに属ぞくするようなもの全すべての同値どうち類るいからなる。したがって、X が複素数ふくそすうの集合しゅうごうであるなら、ボホナー空間くうかんは通常つうじょうのルベーグ空間くうかん L^p となる。

L^p 空間くうかんに関かんするほとんど全すべての結果けっかは、ボホナー空間くうかんについても同様どうように得えられる。特とくに、ボホナー空間くうかん L^p(X) は $1\leq p\leq \infty$ に対たいしてバナッハ空間くうかんである。

背景はいけい

ボホナー空間くうかんは、ポーランド系けいアメリカ人じん数学すうがく者しゃのサロモン・ボホナーの名なにちなむ。

応用おうよう

ボホナー空間くうかんは、時間じかん依存いぞんの偏へん微分びぶん方程式ほうていしき、例たとえば熱ねつ方程式ほうていしきの研究けんきゅうへのアプローチとしての関数かんすう解析かいせき学がくにおいて、しばしば用もちいられる。温度おんど $g(t,x)$ が時間じかんおよび空間くうかんについてのスカラー関数かんすうであるとき、$(f(t))(x):=g(t,x)$ と書かくことで、f を時間じかんについての関数かんすうとし、f(t) を空間くうかんについての関数かんすうとすることが、いくつかのボホナー空間くうかんにおいては可能かのうとなる。

定義ていぎ

測度そくど空間くうかん (T, Σしぐま, μみゅー)、バナッハ空間くうかん (X, || · ||_X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与あたえられたとき、ボホナー空間くうかん L^p(T; X) は、対応たいおうするノルムが有限ゆうげんであるような全すべての可か測はか関数かんすう u : T → X の空間くうかんの（等号とうごうはほとんど至いたる所ところについてのものであるような）コルモゴロフ商しょうとして定義ていぎされる。すなわち、そのような u に対たいしては

$\|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,$

$\|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty$

が成立せいりつする。い換いかえると、L^p 空間くうかんの研究けんきゅうにおいてよくあるように、L^p(T; X) は関数かんすうの同値どうち類るいであって、そこでは二ふたつの関数かんすうが等ひとしいとは、T の μみゅー-測度そくどゼロの部分ぶぶん集合しゅうごうを除のぞいた至いたる所ところでそれらが等ひとしいことを言いう。そのような空間くうかんの研究けんきゅうにおいてよくあるように、それは（より技術ぎじゅつ的てきには正ただしい）同値どうち類るいと言いうよりは、L^p(T; X) の「関数かんすう」と言いう記号きごうの濫用らんようがよく見受みうけられる。

偏へん微分びぶん方程式ほうていしきへの応用おうよう

空間くうかん T は偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを解とこうとしている時間じかん区間くかんで、μみゅー は一いち次元じげんルベーグ測度そくどであるようなことが頻繁ひんぱんにある。ここでのアイデアは、時間じかんおよび空間くうかんの関数かんすうを、空間くうかんの関数かんすうの集あつまりと見みなし、その集あつまりが時間じかんについてパラメータ付つけられるものとすることである。例たとえば、Rⁿ 内うちの領域りょういき Ωおめが および時間じかん区間くかん [0, T] 上じょうの熱ねつ方程式ほうていしきの解かいとしては、

$u\in L^{2}\left([0,T];H_{0}^{1}(\Omega )\right)$

および時間じかん微分びぶんが

${\frac {\partial u}{\partial t}}\in L^{2}\left([0,T];H^{-1}(\Omega )\right)$

であるようなものを探さがすであろう。ここで $H_{0}^{1}(\Omega )$ は、一いち回かい弱じゃく微分びぶん可能かのうでその一回いっかい弱じゃく微分びぶんが L²(Ωおめが) に属ぞくし、Ωおめが の境界きょうかい上うえで（トレースの意味いみで）消失しょうしつするような関数かんすうからなるソボレフヒルベルト空間くうかんを表あらわす。あるいはそのような関数かんすうは、Ωおめが にコンパクトな台だいを持もつような滑なめらかな関数かんすうの極限きょくげんでもある。$H^{-1}(\Omega )$ は $H_{0}^{1}(\Omega )$ の双対そうつい空間くうかんを表あらわす。

（ボホナー空間くうかんを使つかうことで空間くうかん依存いぞん性せいは除のぞかれるため、上記じょうきの時間じかん t についての偏へん微分びぶんは実際じっさいには全ぜん微分びぶんである。）

参考さんこう文献ぶんけん

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2 

関連かんれん項目こうもく

• ベクトル値ち関数かんすう