リースの表現ひょうげん定理ていり

リースの表現ひょうげん定理ていり（リースのひょうげんていり、英えい: Riesz representation theorem）とは、数学すうがくの関数かんすう解析かいせき学がくの分野ぶんやにおけるいくつかの有名ゆうめいな定理ていりに対たいする呼称こしょうである。リース・フリジェシュの業績ぎょうせきに敬意けいいを表あらわし、そのように名付なづけられた。

ヒルベルト空間くうかんの表現ひょうげん定理ていり

この定理ていりは、ヒルベルト空間くうかんとその（連続れんぞく的てき）双対そうつい空間くうかんの間あいだに、ある重要じゅうような関係かんけい性せいを構築こうちくするものである。すなわち、基礎きそ体たいが実数じっすう体たいであるなら、それら2つの空間くうかんは等ひとし長ちょう同型どうけいであり、複素数ふくそすう体たいであるなら、それらは等ひとし長ちょう反はん同型どうけいである、ということについてこの定理ていりは述のべている。そのような（反たん）同型どうけい性せいは、以下いかで述のべるように、とりわけ自然しぜんなものである。

H をヒルベルト空間くうかんとし、H から体からだ R あるいは C へのすべての連続れんぞく線型せんけい汎ひろし関数かんすうからなる双対そうつい空間くうかんを H* と表あらわす。x が H の元もとであるなら、 $$\varphi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle \quad \forall y\in H$$ で定義ていぎされる関数かんすう φふぁい_x は H* の元もとである。ただし、$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ はヒルベルト空間くうかんの内積ないせきを表あらわすものとする。リースの表現ひょうげん定理ていりでは、H* の「すべての」元もとに対たいしてこのような形かたちでの表記ひょうき法ほうが一意いちいに存在そんざいする、ということが述のべられている。

定理ていり Φふぁい(x) = φふぁい_x で定義ていぎされる写像しゃぞう Φふぁい: H → H* は、等ひとし長ちょう（反たん）同型どうけいである。すなわち、

• Φふぁい は全ぜん単たん射しゃ。
• x と Φふぁい(x) のノルムは等ひとしい：$\Vert x\Vert =\Vert \Phi (x)\Vert$.
• Φふぁい は加法かほう的てきである：$\Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})$.
• 基礎きそ体たいが R であるなら、すべての実数じっすう λらむだ に対たいして $\Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)$ が成なり立たつ。
• 基礎きそ体たいが C であるなら、すべての複素数ふくそすう λらむだ に対たいして $\Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)$ が成なり立たつ。ただし、${\bar {\lambda }}$ は λらむだ の複素ふくそ共役きょうやくを表あらわす。

Φふぁい の逆ぎゃく写像しゃぞうは次つぎのように表あらわされる。H* の与あたえられた元もと φふぁい に対たいし、その核かくの直交ちょっこう補ほ空間くうかんは、H の一いち次元じげん部分ぶぶん空間くうかんである。そこからゼロでない元もと z を選えらび、$x={\overline {\varphi (z)}}\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}$ とする。このとき、Φふぁい(x) = φふぁい が得えられる。

歴史れきし的てきに、この定理ていりはしばしばリースとフレシェの1907年ねんの業績ぎょうせきとして扱あつかわれる。

量子力学りょうしりきがくを数学すうがく的てきに取とり扱あつかう際さいには、この定理ていりは有名ゆうめいなブラ-ケット記法きほうの正当せいとう化かとして考かんがえられる。定理ていりが成立せいりつするとき、すべてのブラベクトル $\langle \psi |$ には対応たいおうするケットベクトル $|\psi \rangle$ が存在そんざいし、その対応たいおうは明あきらかなものである。

リース＝マルコフ＝角谷かどやの表現ひょうげん定理ていり（C_c(X) 上じょうの線型せんけい汎ひろし関数かんすうに対たいする表現ひょうげん定理ていり）

ある局所きょくしょコンパクトハウスドルフ空間くうかん X 上うえの、コンパクトな台だいを持もつ複素ふくそ数値すうち連続れんぞく関数かんすうからなる空間くうかんを C_c(X) と表あらわす。ここでの定理ていりは、C_c(X) 上じょうの正せいの線型せんけい汎ひろし函数かんすうを表現ひょうげんするものである。以下いか、「ボレル集合しゅうごう」という語かたりは、「開ひらく」集合しゅうごうによって生成せいせいされる σしぐま-代数だいすうを表あらわすために用もちいられる。

局所きょくしょコンパクトハウスドルフ空間くうかん X 上うえの、非負ひふの可算かさん加法かほう的てきなボレル測度そくど μみゅー が正則せいそく (regular) であることは、以下いかと同値どうちである：

• すべてのコンパクトな K に対たいして μみゅー(K) < ∞ が成なり立たつ;
• すべてのボレル集合しゅうごう E に対たいし、

$$\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}$$

が成なり立たつ;

• 関係かんけい式しき

$$\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}$$

が、E が開ひらけ集合しゅうごうであるとき、あるいは E がボレル集合しゅうごうかつ μみゅー(E) < ∞ であるとき、必かならず成なり立たつ。

定理ていりリース＝マルコフ＝角谷かどやの表現ひょうげん定理ていり X を局所きょくしょコンパクトハウスドルフ空間くうかんとする。C_c(X) 上じょうの任意にんいの正せいの線型せんけい汎ひろし函数かんすう ψぷさい に対たいし、X 上うえの次つぎのような正則せいそくボレル測度そくど μみゅー が唯ただ一ひとつ存在そんざいする。すなわち、C_c(X) 内ないのすべての f について $$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)$$ が成立せいりつする。

測度そくど論ろんへの1つのアプローチとして、C(X) 上じょうの正せいの線型せんけい汎ひろし函数かんすうとして定義ていぎされるラドン測度そくどから始はじめる方法ほうほうが考かんがえられる。これはブルバキによって採用さいようされた方法ほうほうである。当然とうぜん、 X は単純たんじゅんな集合しゅうごうではなく位相いそう空間くうかんとして考かんがえられる必要ひつようがある。局所きょくしょコンパクトな空間くうかんに対たいし、積分せきぶん論ろんを再ふたたび構築こうちくできる。

歴史れきし的てきな注意ちゅうい：F. Riesz (1909) における元々もともとの形式けいしきでのこの定理ていりでは、区間くかん [0,1] 内ないの連続れんぞく関数かんすうの空間くうかん C([0, 1]) についてのすべての連続れんぞく線型せんけい汎ひろし函数かんすう A[f] が

$$A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)$$

という形かたちで表現ひょうげんされる、ということが述のべられている。ここで αあるふぁ(x) は区間くかん [0, 1] 上じょうの有界ゆうかい変動へんどう関数かんすうであり、積分せきぶんはリーマン＝スティルチェス積分せきぶんである。その区間くかんでのボレル正則せいそく測度そくどと、有界ゆうかい変動へんどう関数かんすうの間あいだには1対たい1の対応たいおうがあるため、上述じょうじゅつした定理ていりはリースの元々もともとの定理ていりの内容ないようを一般いっぱん化かするものである（歴史れきし的てきな議論ぎろんについては、Gray (1984) を参照さんしょう）。

C₀(X) の双対そうつい空間くうかんに対たいする表現ひょうげん定理ていり

以下いかの定理ていりはリース＝マルコフの定理ていり　(Riesz–Markov theorem) とも呼よばれ、無限むげん大だいで消失しょうしつする X 上うえの連続れんぞく関数かんすうの集合しゅうごう C₀(X) の双対そうつい空間くうかんの具現ぐげん化かを与あたえるものである。以下いかでの「ボレル集合しゅうごう」の語かたりも、前節ぜんせつと同様どうように、「開ひらく」集合しゅうごうによって生成せいせいされる σしぐま-代数だいすうを表あらわすものである。

μみゅー を可算かさん加法かほう的てきな複素ふくそ数値すうちボレル測度そくどとするとき、μみゅー が正則せいそくであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、非負ひふの可算かさん加法かほう的てきな測度そくど |μみゅー| が前節ぜんせつの定義ていぎにおける意味いみで正則せいそくであることである。

定理ていり X を局所きょくしょコンパクトなハウスドルフ空間くうかんとする。C₀(X) 上じょうの任意にんいの連続れんぞくな線型せんけい汎ひろし函数かんすう ψぷさい に対たいし、X 上うえの次つぎのような正則せいそくな可算かさん加法かほう的てき複素ふくそボレル測度そくど μみゅー が唯ただ一ひとつ存在そんざいする。すなわち、C₀(X) 内ないのすべての f について $$\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)$$ が成なり立たつ。線型せんけい汎ひろし函数かんすうとしての ψぷさい のノルムは、μみゅー の全ぜん変動へんどう、すなわち $$\|\psi \|=|\mu |(X)$$ である。また、ψぷさい が正ただしであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、測度そくど μみゅー が非負ひふであることである。

注意ちゅうい 有界ゆうかい線形せんけい汎ひろし函数かんすうに対たいするハーン-バナッハの定理ていりによって、C_c(X) 上じょうのすべての有界ゆうかい線形せんけい汎ひろし函数かんすうが C₀(X) 上じょうの有界ゆうかい線形せんけい汎ひろし函数かんすうへと拡張かくちょうされる方法ほうほうはで唯ただ一ひとつであるうえ、 C₀(X) は上限じょうげんノルムにおける C_c(X) の閉包へいほうであるため、上述じょうじゅつした第だい一いちの定理ていりの内容ないようは第だい二にの定理ていりを意味いみするものと考かんがえる人ひとがいるかもしれない。しかし、第だい一いちの結果けっかは「正せいの」線型せんけい汎ひろし函数かんすうに対たいするものであり、必かならずしも「有界ゆうかい」線型せんけい汎ひろし関数かんすうに対たいするものではない。したがって、それら2つの定理ていりは同値どうちではない。

実際じっさい、C_c(X) 上じょうの有界ゆうかい線形せんけい汎ひろし函数かんすうは、その C_c(X) 上じょうの局所きょくしょ凸とつ位相いそうが、C₀(X) のノルムである上限じょうげんノルムに置おき換かえられた場合ばあい、必かならずしも有界ゆうかい線型せんけいのままであるとは限かぎらない。そのような一いち例れいとして、C_c(R) 上じょうでは有界ゆうかいであるが C₀(R) 上じょうでは非ひ有界ゆうかいであるような、R 上うえのルベーグ測度そくどが考かんがえられる。この事実じじつは、ルベーグ測度そくどの全ぜん変動へんどうが無限むげん大だいであることからも分わかる。

関連かんれん項目こうもく

• 表現ひょうげん定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
• F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
• F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
• J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(2) 1984–85, 127–187.
• P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
• D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277–280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.

外部がいぶリンク

• Proof of Riesz representation theorem in Hilbert spaces on Bourbawiki
• Rowland, Todd. "Riesz Representation Theorem". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
• Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces - PlanetMath.org（英語えいご）
• Riesz representation theorem - PlanetMath.（英語えいご）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Riesz representation theorem”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Riesz_representation_theorem 
• Riesz Representation Theorem in nLab
• RRiesz Representation Theorem (Hilbert Spaces) at ProofWiki