二に項こう級数きゅうすう

数学すうがくの特とくに初等しょとう解析かいせき学がくにおける二に項こう級数きゅうすう（にこうきゅうすう、英えい: binomial series）は二に項こう式しきの冪べき（べき）のマクローリン級数きゅうすうを言いう。

定義ていぎ

具体ぐたい的てきに、 $α あるふぁ$ を任意にんいの複素数ふくそすうとして、函数かんすう $f$ が $f (x) = (1 + x) α あるふぁ$ で与あたえられるとき、マクローリン展開てんかい

{\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha  \choose k}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}

(1)

の右辺うへんに現あらわれる冪べき級数きゅうすうを二に項こう級数きゅうすうと言いう。ここで、上うえの式しきは一般いっぱん二に項こう係数けいすう

{\alpha  \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}

が用もちいられている。

冪べき指数しすう $α あるふぁ$ が自然しぜん数すう $n$ のときは、上記じょうきの級数きゅうすうの $n + 2$ 番ばん目め以降いこうの項こうはすべて零れいになる（明あきらかに、各項かくこうの因子いんしに $n - n$ が現あらわれる）から、このとき級数きゅうすうは有限ゆうげん和やわであって、代数だいすう的てきな二に項こう定理ていりが導出どうしゅつされる。
任意にんいの複素数ふくそすう $β べーた$ に対たいして、二に項こう級数きゅうすうを

{\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta  \choose k}z^{k}

なる形かたちに書かくことができるが、これは特とくに 1 において負まけの整数せいすう冪べきを扱あつかう際さいに有用ゆうようである。この式しき自体じたいは 1 において $x = - z$ を代入だいにゅうして、二に項こう係数けいすうの等式とうしき ${\tbinom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\tbinom {k+\beta }{k}}$ を適用てきようすれば導出みちびきだされる。

収束しゅうそく性せい

級数きゅうすう 1 の収束しゅうそくは冪べき指数しすう $α あるふぁ$ と変数へんすう $x$ の値ねに依存いぞんする。より具体ぐたい的てきに、

$| x | < 1$ ならば、任意にんいの $α あるふぁ$ に対たいして絶対ぜったい収束しゅうそくする。
$x = -1$ ならば、絶対ぜったい収束しゅうそくする必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは $Re(α あるふぁ) > 0$ または $α あるふぁ = 0$ の何いずれかが成なり立たつことである。
$| x | = 1$ かつ $x \neq -1$ ならば、収束しゅうそくの必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは $Re(α あるふぁ) > -1$ なることである。
$| x | > 1$ のときには、 $α あるふぁ$ が非負ひふ整数せいすう（級数きゅうすうが有限ゆうげん和わとなる）場合ばあいを除のぞけば、発散はっさんする。

いま $α あるふぁ$ は非負ひふ整数せいすうではないとし、 $| x | = 1$ の場合ばあいを考かんがえると、上うえで述のべたことから次つぎのことが追加ついかで言いえる:

$Re(α あるふぁ) > 0$ ならば絶対ぜったい収束しゅうそくする。
$-1 < Re(α あるふぁ) ≦ 0$ ならば、 $x \neq -1$ では条件じょうけん収束しゅうそくし、 $x = -1$ では発散はっさんする。
$Re(α あるふぁ) ≦ -1$ ならば発散はっさんする。

二に項こう級数きゅうすうの和わの計算けいさんについて通常つうじょうの論法ろんぽうは以下いかのようにする: 二に項こう級数きゅうすうを収束しゅうそく円えん板ばん $| x | < 1$ 内うちで項こう別べつ微分びぶんして式しき 1 を用もちいれば、この級数きゅうすうの和わが常微分じょうびぶん方程式ほうていしき $(1 + x) u' (x) = α あるふぁ u (x)$ を初期しょき値ち $u (0) = 1$ のもとで解といた解析かいせき函数かんすう解かいであることが知しれる。この初期しょき値ち問題もんだいの唯一ゆいいつの解かいは $u (x) = (1 + x) α あるふぁ$ であり、それはつまり（少すくなくとも $| x | < 1$ において）二に項こう級数きゅうすうの和やわである。級数きゅうすうが収束しゅうそくする限かぎりにおいて、この等式とうしきを $| x | = 1$ にまで延長えんちょうできることは、アーベルの連続れんぞく性せい定理ていりを $(1 + x) α あるふぁ$ の連続れんぞく性せいに基もとづいて適用てきようした帰結きけつである。

歴史れきし

自然しぜん数すう冪べき以外いがいの二に項こう級数きゅうすうに関かんする結果けっかが初はじめて得えられたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種しゅの曲線きょくせんの下したに囲かこわれる面積めんせきの研究けんきゅうにおいてであった。この結果けっかを $m$ が有理数ゆうりすうであるところの $y = (1 - x 2) m$ の形かたちの式しきとして利用りようして、ジョン・ウォリスは（現代げんだい的てきな記法きほうで書かけば）後続こうぞくする $(- x 2) k$ の係数けいすう列れつ $c k$ は先行せんこうする係数けいすうに（自然しぜん数すう冪べきのときと同様どうように） $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}m − (k − 1)/k$ を掛かけることで求もとめられることを発見はっけんした。これは二に項こう係数けいすうに関かんする公式こうしきを陰かげ伏ふく的てきに与あたえたに等ひとしい。ウォリスは以下いかの実例じつれいを陽ひに記しるしている^[1]

$(1-x^{2})^{\frac {1}{2}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$
$(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots$
$(1-x^{2})^{\frac {1}{3}}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots$

それゆえに、二に項こう級数きゅうすうはニュートンの（一般いっぱん）二に項こう定理ていりとも呼よばれる。のちにニールス・アーベルは1826年ねんに『クレレ誌し』に掲載けいさいされた論文ろんぶんにおいてこの主題しゅだいを取とり上あげ、特筆とくひつすべき収束しゅうそく問題もんだいとして扱あつかっている^[2]。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

注釈ちゅうしゃく

^ 実じつは出典しゅってんにおいて負ふ符号ふごうを持もつ任意にんいの非ひ定数ていすう項こうが与あたえられていて、それは第だい二にの式しきに対たいしては正ただしくない（転記てんきミスと思おもわれる）。

出典しゅってん

^ Coolidge 1949, pp. 147–157^{[注釈ちゅうしゃく 1]}
^ Abel 1826.

参考さんこう文献ぶんけん

外部がいぶリンク

『二に項こう級数きゅうすう』 - コトバンク
『一般いっぱん化か二に項こう定理ていりとルートなどの近似きんじ』 - 高校こうこう数学すうがくの美うつくしい物語ものがたり
Weisstein, Eric W. "Binomial Series". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Weisstein, Eric W. "Negative Binomial Series". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
binomial formula - PlanetMath.（英語えいご）
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Binomial series”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 実じつは出典しゅってんにおいて負ふ符号ふごうを持もつ任意にんいの非ひ定数ていすう項こうが与あたえられていて、それは第だい二にの式しきに対たいしては正ただしくない（転記てんきミスと思おもわれる）。

[FOOTNOTECoolidge1949147–157-2] Coolidge 1949, pp. 147–157^{[注釈ちゅうしゃく 1]}

[FOOTNOTEAbel1826-3] Abel 1826.

[1]

[2]

[注釈ちゅうしゃく 1]