半はん群ぐん

数学すうがくにおける半はん群ぐん（はんぐん、英えい: semigroup）は、集合しゅうごう S とその上うえの結合けつごう的てき二に項こう演算えんざんとをあわせて考かんがえた代数だいすう的てき構造こうぞうである。い換いかえれば、半はん群ぐんとは演算えんざんが結合けつごう的てきなマグマである。「半はん群ぐん」という名なは群ぐんに由来ゆらいする。群ぐんと異ことなり半はん群ぐんでは、単位たんい元もとが存在そんざいするとは限かぎらず、また各かく元もとは必かならずしも逆ぎゃく元もとを持もたない。

半はん群ぐんの演算えんざんは多おおくの場合ばあい乗法じょうほう的てきに書かく（順序じゅんじょ対たい (x, y) に演算えんざんを施ほどこした結果けっかを x • y あるいは単たんに xy と表あらわす）。

半はん群ぐんについて本格ほんかく的てきな研究けんきゅうが行おこなわれるようになるのは20世紀せいきに入はいってからである。半はん群ぐんは、「無記憶むきおく」系けい ("memoryless" system) すなわち各かく反復はんぷく時点じてんでゼロから開始かいしされる時間じかん依存いぞん系けい (time-dependent system) の抽象ちゅうしょう代数だいすう的てきな定式ていしき化かの基盤きばんであり、数学すうがくの様々さまざまな分野ぶんやにおいて重要じゅうような概念がいねんとなっている。応用おうよう数学すうがくにおいては、半はん群ぐんは線型せんけい時間じかん不変ふへん系けいの基本きほんモデルである。また偏へん微分びぶん方程式ほうていしき論ろんでは、半はん群ぐんは空間くうかん発展はってん的てきかつ時間じかん非ひ依存いぞんな任意にんいの方程式ほうていしきに対応たいおうしている。有限ゆうげん半はん群論ぐんろんは1950年代ねんだい以降いこう、有限ゆうげん半はん群ぐんと有限ゆうげんオートマトンとの間あいだの自然しぜんな関連かんれん性せいから、理論りろん計算けいさん機き科学かがくの分野ぶんやで特とくに重要じゅうようとなっている。確率かくりつ論ろんでは半はん群ぐんはマルコフ過程かていに関連付かんれんづけられる (Feller 1971)。

定義ていぎ

集合しゅうごう S とその上うえの二に項こう演算えんざん • : S × S → S の対たい (S, • ) が結合けつごう律りつ（結合けつごう法則ほうそく）を満みたすとき、これを半はん群ぐんという。S を半はん群ぐん (S, •) の台たい集合しゅうごうとよぶ。

結合けつごう律りつ

S の各かく元もと a, b, c に対たいして、等式とうしき (a • b) • c = a • (b • c) が成なり立たつ。

また誤解ごかいのおそれがなければ「半はん群ぐん S」のように台だい集合しゅうごうと同おなじ記号きごうで半はん群ぐんを表あらわす。

台たい集合しゅうごうが有限ゆうげん集合しゅうごうである半はん群ぐんを有限ゆうげん半はん群ぐん (finite semigroup) または有限ゆうげん位い数すうを持もつ半はん群ぐん (semigroup with finite order)、台たい集合しゅうごうが無限むげん集合しゅうごうである半はん群ぐんを無限むげん半はん群ぐん (infinite semigroup) または無限むげん位い数すうを持もつ半はん群ぐん (semigroup with infinite order)という。

半はん群ぐんの例れい

• 空そら半はん群ぐん: 空そら集合しゅうごうは空そら写像しゃぞうを演算えんざんとして半はん群ぐんを成なす。半はん群ぐんの定義ていぎに台たい集合しゅうごうが空そらでないことを課かして、空そら半はん群ぐんを除外じょがいすることもある。
• 一元いちげん半はん群ぐん: 一元いちげん集合しゅうごう {a} に aa = a で演算えんざんを定さだめたものは、ただひとつの元もとからなる半はん群ぐんとなる。これは（同型どうけいの違ちがいを除のぞけば）本質ほんしつ的てきに一ひとつしか存在そんざいしない。しばしばこれを自明じめい半はん群ぐん (trivial semigroup) と呼よぶ。
• 二元にげん半はん群ぐん: 台たい集合しゅうごうが2元げんからなる半はん群ぐんは同型どうけいを除のぞいて5種類しゅるいの異ことなったものが存在そんざいする。
• 正せいの整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう N は加法かほうに関かんして半はん群ぐんを成なす。
• 非負ひふ正方せいほう行列ぎょうれつ（すべての成分せいぶんが非負ひふであるような正方せいほう行列ぎょうれつ）の全体ぜんたいに行列ぎょうれつの積せきを与あたえたものは半はん群ぐんを成なす。
• 第だい一いち列れつが全すべて0であるような2次じ正方せいほう行列ぎょうれつ全体ぜんたいに行列ぎょうれつの積せきを与あたえたものは半はん群ぐんを成なす。
• 任意にんいの環たまきのイデアルは環たまきの乗法じょうほうに関かんする半はん群ぐんである。
• 文字もじ集合しゅうごう Σしぐま を固定こていして、その上うえの有限ゆうげん文字もじ列れつ全体ぜんたいを考かんがえると、文字もじ列れつの連接れんせつを演算えんざんとする半はん群ぐんが得えられる。これを Σしぐま 上うえの自由じゆう半はん群ぐんという。空文字くうもじ列れつをも含ふくめて考かんがえるとこの半はん群ぐんは Σしぐま 上うえの自由じゆうモノイドとなる。
• 確かく率りつ分布ぶんぷ F に対たいして、F の畳たたみ込こみ冪べき全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうに畳たたみ込こみを演算えんざんとして考かんがえたものは半はん群ぐんを成なす。これは畳たたみ込こみ半はん群ぐん (convolution semigroup) と呼よばれる。
• 任意にんいのモノイドは単位たんい元もとを持もつ半はん群ぐんである。
• 任意にんいの群ぐんは各かく元もとが逆ぎゃく元もとを持もつモノイドである。
• 繰くり込こみ群ぐんは、繰くり込こみ変換へんかんからなる半はん群ぐんである（群ぐんではないが慣用かんよう的てきにこのように呼よばれる）。

基本きほん的てきな概念がいねん

単位たんい元もとと零れい元げん

任意にんいの半はん群ぐんが持もつことのできる単位たんい元もとは高々たかだかひとつである（これは任意にんいのマグマについても成なり立たつ）。単位たんい元もとを持もつ半はん群ぐんは、単位たんい的てき半はん群ぐんあるいはモノイドと呼よばれる。半はん群ぐん S にS のどの元もととも異ことなる元もと e を添加てんかして S ∪ {e} の各かく元もと s に対たいして es = se = s と定さだめることによって、半はん群ぐんをモノイドに埋うめ込こむことができる。S に単位たんい元もとを添加てんかして得えられるモノイドを S¹ で表あらわし、S の単位たんい元もと添加てんかあるいは 1-添加てんかと呼よぶ（誤解ごかいのおそれがなければ、S の 1-添加てんかも同おなじ記号きごう S で表あらわすこともある）。したがって、任意にんいの可か換かわ半はん群ぐんをグロタンディーク構成こうせいを通つうじて群ぐんに埋うめ込こむことができる。

任意にんいのマグマが持もちうる吸収きゅうしゅう元もとは高々たかだか一ひとつであり、半はん群ぐんではそれを零れい元げんと呼よぶ。零れい元げんを持もたない半はん群ぐん S に S に属ぞくさない元もと 0 を添加てんかして、零れい元げん付つき半はん群ぐん S⁰ に S を埋うめ込こむことができる。S⁰ を S の零れい元もと添加てんかあるいは 0-添加てんかと呼よぶ。

部分ぶぶん半はん群ぐんとイデアル

半はん群ぐん (S, ∗) の部分ぶぶん集合しゅうごう A, B が与あたえられたとき、A ∗ B （あるいは単たんに AB） で表あらわされる S の部分ぶぶん集合しゅうごうを

$AB:=\{ab\mid a\in A,\,b\in B\}$

と定さだめる。この記法きほうを用もちいれば、半はん群ぐん S の部分ぶぶん集合しゅうごう A について

• A が S の部分ぶぶん半はん群ぐん (subsemigroup) であるとは、AA ⊂ A であることを言いう。
• A が S の右みぎイデアル (right ideal) であるとは、AS ⊂ A であることを言いう。
• A が S の左ひだりイデアル (left ideal) であるとは、SA ⊂ A であることを言いう。

A が左ひだりイデアルかつ右みぎイデアルであるとき、A を両側りょうがわイデアル (two-sided ideal) あるいは単たんにイデアル (ideal) と言いう。

半はん群ぐん S の部分ぶぶん半はん群ぐんからなる族ぞくの交まじわりは再ふたたび S の部分ぶぶん半はん群ぐんとなる。すなわち、S の部分ぶぶん半はん群ぐんの全体ぜんたいは完備かんび束たばを成なす。

極小きょくしょうイデアル（包含ほうがん関係かんけいに関かんして極小きょくしょうなイデアル）を持もたない半はん群ぐんの例れいは、正せいの整数せいすう全体ぜんたいが加法かほうに関かんして成なす半はん群ぐん N である。可か換かわ半はん群ぐんの極小きょくしょうイデアルは（存在そんざいするならば）群ぐんを成なす。

元もとをそれが生成せいせいする主しゅイデアルの言葉ことばで特徴付とくちょうづける、五いつつの同値どうち関係かんけいからなるグリーンの関係かんけい式しきは半はん群ぐんのイデアルや関連かんれんする構造こうぞう概念がいねんを調しらべる重要じゅうような道具どうぐである。

半はん群ぐん準じゅん同型どうけいと半はん群ぐん合同ごうどう

半はん群ぐんの準じゅん同型どうけい (semigroup homomorphism) とは半はん群ぐん構造こうぞうを保たもつ写像しゃぞうのことである。2つの半はん群ぐん S, T の間あいだの写像しゃぞう　f: S → T が準じゅん同型どうけいであるとは、等式とうしき

f(ab) = f(a)f(b)

が S の各かく元もと a, b に対たいして成立せいりつすることを言いう。つまり（S の中なかで）積せきをとってから f で写うつしても、f で写うつしてから（T のなかで）積せきをとっても同一どういつの結果けっかが得えられると言いうことである。半はん群ぐんが単位たんい元もとを持もつ場合ばあいでも、半はん群ぐん準じゅん同型どうけいは必かならずしも単位たんい元もとを単位たんい元もとに移うつすとは限かぎらない。

ふたつの半はん群ぐん S, T が同型どうけいであるとは、全ぜん単たん射しゃの半はん群ぐん準じゅん同型どうけい（すなわち半はん群ぐん同型どうけい写像しゃぞう）f: S ↔ T が存在そんざいすることを言いう。同型どうけいな半はん群ぐんは、半はん群ぐんとして同一どういつの構造こうぞうを持もつ。

半はん群ぐん合同ごうどう (semigroup congruence) ∼ は、半はん群ぐん演算えんざんと両立りょうりつする同値どうち関係かんけいである。つまり、半はん群ぐん合同ごうどう ∼ (⊂ S × S) は S 上うえの同値どうち関係かんけいであって、かつ

[x ∼ y かつ u ∼ v] ならば xu ∼ yv

が S の任意にんいの元もと x, y, u, v に対たいして成立せいりつするものを言いう。任意にんいの同値どうち関係かんけいと同おなじく半はん群ぐん合同ごうどう ∼ は合同ごうどう類るい

$[a]=\{x\in S\mid x\sim a\}$

を定さだめるが、さらに合同ごうどう類るいの間あいだの二に項こう演算えんざん ∘ を

$[u]\circ [v]=[uv]$

で定さだめるとこれは矛盾むじゅん無なく定義ていぎできて半はん群ぐん演算えんざんとなる。これにより、半はん群ぐん合同ごうどう ∼ による合同ごうどう類るいの全体ぜんたい S/∼ は ∘ を演算えんざんとして半はん群ぐんを成なす。この半はん群ぐんを剰余じょうよ半はん群ぐん (residue class semigroup)、商しょう半はん群ぐん (quotient semigroup, factor semigroup) などと呼よぶ。自然しぜんな写像しゃぞう

$S\to S/{\sim }\,;\;x\mapsto [x]$

は全ぜん射い半はん群ぐん準じゅん同型どうけいであり、商しょう写像しゃぞうなどと呼よばれる。S がモノイドならばその剰余じょうよ半はん群ぐんは S の単位たんい元もとの属ぞくする合同ごうどう類るいを単位たんい元もととするモノイドを成なす。逆ぎゃくに、任意にんいの半はん群ぐん準じゅん同型どうけいの核かくは半はん群ぐん合同ごうどうを与あたえる。これらの結果けっかは、普遍ふへん代数だいすう学がくにおける第だい一同いちどう型がた定理ていりの特別とくべつな場合ばあいにほかならない。

半はん群ぐんの任意にんいのイデアル I は、

$x\,\rho \,y\iff x=y{\text{ or }}x,y\in I$

で定さだまる半はん群ぐん合同ごうどう ρろー に関かんするリース剰余じょうよ半はん群ぐんとして部分ぶぶん半はん群ぐんを誘導ゆうどうする。

「正規せいき部分ぶぶん群ぐん」、「剰余じょうよ群ぐん」、「環たまきのイデアル」、および「剰余じょうよ環たまき」も参照さんしょう

半はん群ぐんの構造こうぞう

S の任意にんいの部分ぶぶん集合しゅうごう A に対たいし、A を含ふくむような S の最小さいしょうの部分ぶぶん半はん群ぐん T が存在そんざいする。この T を A が生成せいせいする (generate) 部分ぶぶん半はん群ぐんという。S の一ひとつの元もと x が（つまり単元たんげん集合しゅうごう {x} が）生成せいせいする部分ぶぶん半はん群ぐん（の台たい集合しゅうごう） { xⁿ | n は正せいの整数せいすう} が有限ゆうげん集合しゅうごうであるとき、x は有限ゆうげんな位い数すうを持もつ、あるいは位くらい数すう有限ゆうげん (finite order) であるといい、そうでないとき無限むげん位い数すうを持もつあるいは位くらい数すう無限むげん (infinite order) であるという。 半はん群ぐんが周期しゅうき的てき (periodic) あるいはねじれ半はん群ぐん (torsion semigroup) であるとは、その任意にんいの元もとが位くらい数すう有限ゆうげんであるときに言いう。また、ただ一ひとつの元もとから生成せいせいされる半はん群ぐんは単項たんこう生成せいせいまたは巡回じゅんかい半はん群ぐんであるという。巡回じゅんかい半はん群ぐんが位くらい数すう無限むげんならばそれは正せいの整数せいすう全体ぜんたいが加法かほうに関かんして成なす半はん群ぐんに同型どうけいであり、位くらい数すう有限ゆうげんかつ空そらでないならば少すくなくとも一ひとつは冪べき等とう元もとを含ふくまねばならない。したがって、任意にんいの空そらでない周期しゅうき的てき半はん群ぐんは少すくなくともひとつの冪べき等とう元もとを含ふくむ。

半はん群ぐんの部分ぶぶん半はん群ぐんは、それ自身じしんが群ぐんを成なすならば部分ぶぶん群ぐんと呼よばれる。半はん群ぐんの部分ぶぶん群ぐんと半はん群ぐんの冪べき等とう元もとの間あいだには近ちかしい関係かんけいが存在そんざいする。半はん群ぐんの各かく部分ぶぶん群ぐんはちょうど一ひとつの冪べき等とう元もとを含ふくみ、それはつまり部分ぶぶん群ぐんの単位たんい元もとである。逆ぎゃくに、半はん群ぐんの各かく冪べき等とう元もと e に対たいし、e を含ふくむ極大きょくだい部分ぶぶん群ぐんが唯ただ一ひとつ存在そんざいする。半はん群ぐんの各かく極大きょくだい部分ぶぶん群ぐんは必かならずこのやり方かたで得えることができ、したがって半はん群ぐんの極大きょくだい部分ぶぶん群ぐんと冪べき等とう元もととの間あいだに一対一いちたいいち対応たいおうがとれる。ここでの、極大きょくだい部分ぶぶん群ぐんは群論ぐんろんにおける標準ひょうじゅん的てきな語法ごほうとは異ことなる。

位くらい数すう有限ゆうげんの場合ばあいにはさらにいろいろなことが言いえる。例たとえば、任意にんいの空そらでない有限ゆうげん半はん群ぐんは、周期しゅうき的てきで、極小きょくしょうイデアルを持もち、少すくなくとも一ひとつの冪べき等とう元もとを持もつ。さらなる有限ゆうげん半はん群ぐんの構造こうぞうについての議論ぎろんはKrohn-Rhodes理論りろんの項こうを参照さんしょうせよ。

半はん群ぐんのクラス

• モノイドは単位たんい的てき半はん群ぐんである。
• 部分ぶぶん半はん群ぐんは半はん群ぐんの部分ぶぶん集合しゅうごうであって、もとの半はん群ぐんの演算えんざんについて閉とじているようなものである。部分ぶぶん半はん群ぐんが群ぐんを成なすならば、それをもとの半はん群ぐんの部分ぶぶん群ぐんと呼よぶ。
• 帯おびはその演算えんざんが冪べき等とうであるような半はん群ぐんである。
• 消けし約やく半はん群ぐんは左ひだり消けし約やく律りつ「ab = ac ならば b = c」かつ右みぎ消けし約やく律りつ「ba = ca ならば b = c」を満みたす半はん群ぐんである。
• 半はん束たばはその演算えんざんが冪べき等とうかつ可か換かわな半はん群ぐんである。
• 0-単純たんじゅん半はん群ぐん
• 変換へんかん半はん群ぐんは何なんらかの集合しゅうごう上じょうの変換へんかんからなる、写像しゃぞうの合成ごうせいを積せきとする半はん群ぐんである。任意にんいの有限ゆうげん半はん群ぐん S は高々たかだか |S| + 1 個この状態じょうたいをもつ（状態じょうたい）集合しゅうごう Q 上うえの変換へんかん半はん群ぐんとして表現ひょうげんすることができる。S の各かく元もと x は Q をそれ自身じしんに写うつす写像しゃぞう x: Q → Q であり、列れつ xy は Q の各かく元もと q に対たいして q(xy) = (qx)y と定義ていぎされる。変換へんかんの列れつを作つくる操作そうさは明あきらかに結合けつごう的てき演算えんざんで、ここでは写像しゃぞうの合成ごうせいと等価とうかである。この表現ひょうげんは任意にんいのオートマトンあるいは有限ゆうげん状態じょうたい機械きかい (FSM) に対たいする基本きほんである。
• 双そう巡回じゅんかい半はん群ぐん（実じつはモノイド）は、二ふたつの生成せいせい元もと p, q が生成せいせいする自由じゆう半はん群ぐんを基本きほん関係かんけい式しき pq = 1 で割わったものとして得えられる。
• C₀-半はん群ぐんは発展はってん方程式ほうていしきの解かいの時間じかん発展はってんを表あらわす半はん群ぐんである。これは解析かいせき学がくにおける半はん群ぐんの代表だいひょう例れいである。
• 正則せいそく半はん群ぐんは各かく元もと x が少すくなくとも一ひとつの一般いっぱん化か逆ぎゃく元もと y（xyx=x かつ yxy=y を満みたす元もと）を持もつ半はん群ぐんである。このとき元もと x および y は「互たがいに逆ぎゃくである」("mutually inverse") ということもある。
• 逆ぎゃく半はん群ぐんは任意にんいの原はらがちょうど一ひとつの一般いっぱん化か逆ぎゃく元もとをもつような正則せいそく半はん群ぐんである。あるいは、正則せいそく半はん群ぐんが逆ぎゃく半はん群ぐんとなるために必要ひつよう十分じゅうぶんな条件じょうけんとして、任意にんいの二ふたつの冪べき等とう元もとが互たがいに可か換かわとなることが挙あげられる。
• アフィン半はん群ぐんは Z^d の有限ゆうげん生成せいせい部分ぶぶん半はん群ぐんに同型どうけいな半はん群ぐんである。アフィン半はん群ぐんは可か換かわ環たまき論ろんに応用おうようを持もつ。

分数ぶんすう群ぐん

半はん群ぐん S の分数ぶんすう群ぐんあるいは商しょうの群ぐん (group of fractions) G = G(S) とは、S の元もと全体ぜんたいで生成せいせいされ、S において成立せいりつする xy = z の形かたちの等式とうしきすべてを基本きほん関係かんけいとするような群ぐんである。商しょうの群ぐんは S から群ぐんへの射しゃに対たいする普遍ふへん性せいを示しめす。

明あきらかに S の各かく元もとを G(S) の中なかの対応たいおうする生成せいせい元もとに写うつす写像しゃぞうが存在そんざいする。重要じゅうような問題もんだいとして、この写像しゃぞうが埋うめ込こみとなるような半はん群ぐんの特徴とくちょうづけの問題もんだいがある。必かならずしも埋うめ込こみとならないことの例れいとして、S をある集合しゅうごう X の部分ぶぶん集合しゅうごうが交まじわりを演算えんざんとして成なす半はん群ぐんがある（実じつは半はん束たばを成なす）。これは、S の任意にんいの元もとが AA = A を満みたすから G(S) の生成せいせい元もともすべてそうでなければならず、したがって G(S) は自明じめい群ぐんとなっている。問題もんだいの写像しゃぞう S → G(S) が埋うめ込こみとなるためには S が消けし約やく律りつを満みたすことが必要ひつようとなるのは明あきらかである。S が可か換かわならばそれは十分じゅうぶん条件じょうけんにもなり、かつ半はん群ぐんのグロタンディーク群ぐんが分数ぶんすう群ぐんの構成こうせいを与あたえる。非ひ可か換かわ半はん群ぐんに対たいするこの問題もんだいは半はん群ぐんについて本格ほんかく的てきにあつかった最初さいしょの論文ろんぶん (Suschkewitsch 1928) で追求ついきゅうされている。アナトリー・マルチェフは1937年ねんに埋うめ込こみ可能かのう性せいについての必要ひつよう条件じょうけんを与あたえている。

「商しょう体たい」および「環たまきの局所きょくしょ化か」も参照さんしょう

偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの半はん群ぐん法ほう

詳細しょうさいは「C0半はん群ぐん」を参照さんしょう

半はん群論ぐんろんは、偏へん微分びぶん方程式ほうていしき論ろんにおいてもある種しゅの問題もんだいの研究けんきゅうのために用もちいられる。大雑把おおざっぱにいえば、半はん群ぐんを使つかった手法しゅほうというのは偏へん微分びぶん方程式ほうていしきをある種しゅの函数かんすう空間くうかん上じょうの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきとみなすことである。例たとえば、次つぎのような空間くうかん的てきな区間くかん (0, 1) ⊂ R と時間じかん t ≥ 0 上じょうの熱ねつ方程式ほうていしきの初期しょき値ち/境界きょうかい値ち問題もんだい

${\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&(x\in (0,1),t>0);\\u(t,x)=0,&(x\in \{0,1\},t>0);\\u(t,x)=u_{0}(x),&(x\in (0,1),t=0)\end{cases}}$

を考かんがえる。X をL²((0, 1); R) とし、A を

$D(A)=\{u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} )\mid u(0)=u(1)=0\}$

を定義ていぎ域いきとする二に階かい微分びぶん作用素さようそとすれば、先さきほどの初期しょき値ち/境界きょうかい値ち問題もんだいは空間くうかん X 上うえの常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの初期しょき値ち問題もんだい

${\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}\end{cases}}$

として解釈かいしゃくすることができる。発見はっけん的てき方法ほうほうのレベルでいえば、この問題もんだいの解かいは u(t) = exp(tA)u₀ という形かたちをしている「はず」である。しかし厳密げんみつに言いえば tA の冪べきとは何なにであるかということに意味いみを与あたえなければならない。t の函数かんすうとしては、exp(tA) は X から X への作用素さようそからなる半はん群ぐんであり、時刻じこく t = t₀ において初期しょき状態じょうたい u₀ をとり、任意にんいの時刻じこく t において状態じょうたい u(t) = exp(tA)u₀ をとるものである。このとき、作用素さようそ A はこの半はん群ぐんの無限むげん小しょう生成せいせい作用素さようそと呼よばれる。

歴史れきし

半はん群ぐんの研究けんきゅうは、群ぐんや環たまきといったより複雑ふくざつな公理こうりから決きまるほかの代数だいすう的てき構造こうぞうからすると、随分ずいぶんと若わかい。いくつかの文献ぶんけん によれば、半はん群ぐんに対応たいおうする用語ようごが用もちいられた最初さいしょはフランス語ふらんすごで、1904年ねんに J.-A. de Séguier の著あらわした Élements de la Théorie des Groupes Abstraits（『抽象ちゅうしょう群ぐん原論げんろん』）においてである。

Anton Suschkewitschは半はん群ぐんについてのそれなりに意味いみのある結果けっかを得えた最初さいしょの人ひとで、1928年ねんの論文ろんぶん Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit（『一意いちい可逆かぎゃく性せいの条件じょうけんを外はずした有限ゆうげん群ぐんについて』）で有限ゆうげん単純たんじゅん半はん群ぐんの構造こうぞうを決定けっていし、有限ゆうげん半はん群ぐんの極小きょくしょうイデアル（あるいはグリーンの関係かんけい式しきの J-系列けいれつ）が単純たんじゅんであることを示しめした。そういったことからすれば、有限ゆうげん群ぐん論ろんの基礎きそ付づけが行おこなわれるのは随分ずいぶんと後のちになってからのことで、デヴィット・リース、ジェイムス・アレクサンダー・グリーン、Evgenii Sergeevich Lyapin、アルフレッド・クリフォードおよびゴードン・プレストンらによる。最後さいごの二に者しゃは半はん群論ぐんろんに関かんする二に巻かんのモノグラフを1961年ねんと1967年ねんにそれぞれ出版しゅっぱんしている。1970年ねんには『半はん群ぐんフォーラム』という定期ていき刊行かんこう雑誌ざっし（現在げんざいはシュプリンガー・フェアラークが編集へんしゅう）が発行はっこうされ、半はん群論ぐんろん全般ぜんぱんを扱あつかう数少かずすくない数学すうがく雑誌ざっしの一ひとつとなっている。

近年きんねんの在野ざいやの研究けんきゅうではより分化ぶんかが進すすんでおり、（逆ぎゃく半はん群ぐんのような）半はん群ぐんの重要じゅうようなクラスに焦点しょうてんを当あてたモノグラフや、代数だいすう的てきオートマトン理論りろん（特とくに有限ゆうげんオートマトン）や函数かんすう解析かいせき学がくにおける応用おうようなどに焦点しょうてんを当あてたものなども現あらわれている。

一般いっぱん化か

半はん群ぐんから演算えんざんの結合けつごう性せいの公理こうりを落おとせば、マグマが得えられる。これは 二に項こう演算えんざん M × M → M を備そなえた集合しゅうごう M という意味いみ以上いじょうのものではない。

別べつな方向ほうこうでの一般いっぱん化かとして、n-項こう半はん群ぐん (n-ary semigroup) あるいはn-半はん群ぐん (n-semigroup)、多重たじゅう項こう半はん群ぐん (polyadic semigroup) とか多項たこう半はん群ぐん (multiary semigroup) などと呼よばれるタイプの一般いっぱん化かがある。これは演算えんざんのアリティを変更へんこうし、二に項こう演算えんざんの替かわりに多項たこう演算えんざんを備そなえた「半はん群ぐん」G を考かんがえるものである。結合けつごう律りつの一般いっぱん化かは、たとえば三さん項こう版ばんの結合けつごう律りつが

(abc)de = a(bcd)e = ab(cde)

つまり文字もじ列れつのどの隣となり合あう三みっつを括弧かっこで括くくったものも相等そうとうしい、というふうに与あたえられる。一般いっぱんの n-項こう版ばんは n + (n − 1) の長ながさの文字もじ列れつのどの隣となり合あう n-項こうを括くくっても相そう等ひとしいとなる。2-半はん群ぐんが通常つうじょうの半はん群ぐんである。詳細しょうさいは多項たこう群ぐん を参照さんしょう

参考さんこう文献ぶんけん

全般ぜんぱん

• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1961), The algebraic theory of semigroups, volume 1 (2nd UK ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0271-7 .
• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1967), The algebraic theory of semigroups, volume 2, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0272-4 .
• Grillet, Pierre Antoine (1995), Semigroups: an introduction to the structure theory, Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0-471-25243-6 
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-851194-6 .
• 田村たむら孝行たかゆき『半はん群論ぐんろん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈復刊ふっかん〉、2001年ねん5月がつ。ISBN 978-4-320-01676-7。 

各論かくろん

• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR0270403 .
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR0423094 .
• Kantorovitz, Shmuel (2010), Topics in Operator Semigroups., Progress in Mathematics Volume 281, Boston, MA: Birkhauser, ISBN 978-0-8176-4931-9 .
• Suschkewitsch, Anton (1928), “Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit”, Mathematische Annalen 99 (1): 30–50, doi:10.1007/BF01459084, ISSN 0025-5831, MR1512437 .

関連かんれん項目こうもく

• 吸収きゅうしゅう元もと
• 空そら半はん群ぐん
• 弱じゃく逆ぎゃく元もと
• 単位たんい元もと
• ライトの結合けつごう性せい判定はんてい法ほう
• 両りょう順序じゅんじょ集合しゅうごう

外部がいぶリンク

• ブリタニカ国際こくさい大だい百科ひゃっか事典じてん 小しょう項目こうもく事典じてん『半はん群ぐん』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Semigroup". mathworld.wolfram.com (英語えいご).