収束しゅうそく半径はんけい

収束しゅうそく半径はんけい(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪べき級数きゅうすうが収束しゅうそくする定義ていぎ域いきを与あたえる非負ひふ量りょう（実数じっすうあるいは∞）である。

次つぎの冪べき級数きゅうすうを考かんがえる。

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

ただし、中心ちゅうしん a や係数けいすう c_n は複素数ふくそすう（特とくに実数じっすう）とする。次つぎの条件じょうけんが成立せいりつするとき、 r をこの級数きゅうすうの収束しゅうそく半径はんけいという。

$\left|z-a\right|<r$

であるとき、級数きゅうすうは収束しゅうそくし、

$\left|z-a\right|>r$

であるとき、級数きゅうすうは発散はっさんする。

もし、級数きゅうすうが全すべての複素数ふくそすう z に関かんして収束しゅうそくするならば、収束しゅうそく半径はんけいは ∞ となる。

収束しゅうそく半径はんけいの値ね

収束しゅうそく半径はんけいは、級数きゅうすうの各項かくこうにコーシーの冪べき根ね判定はんてい法ほうを適用てきようすることで求もとめることができる。もし、

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$

（$\limsup$は上うえ極限きょくげんを表あらわす）であれば、収束しゅうそく半径はんけいは 1/C である。 C=0 であれば、収束しゅうそく半径はんけいは無限むげんであり、複素数ふくそすう平面へいめん上じょうに特異とくい点てんは存在そんざいせず、 f(z) が整せい関数かんすうであることを意味いみする。

ただ、大抵たいていの場合ばあいはダランベールの収束しゅうそく判定はんてい法ほうで事足ことたりる。ある自然しぜん数すう m が存在そんざいし、 m<n となるすべての自然しぜん数すう n について c_n≠0 となるとき、極限きょくげん

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\right|$

が存在そんざいするならば、収束しゅうそく半径はんけいは 1/L である。この極限きょくげんは、上記じょうきの C より計算けいさんしやすい。しかし、代かわりに C に関かんする公式こうしきを使つかわねばならないような場合ばあいには、 L は収束しゅうそくしない。

また、具体ぐたい的てきに係数けいすう c_n が求もとまらない場合ばあいは優ゆう級数きゅうすうを用もちいて評価ひょうかする方法ほうほうもある。複素ふくそ関数かんすうの場合ばあいには、複素数ふくそすう z₀ を中心ちゅうしんとしたテイラー展開てんかいの収束しゅうそく半径はんけいは、その点てんから最もっとも近ちかい特異とくい点てん（微分びぶんできない点てん）までの距離きょりに等ひとしいことが知しられている。逆ぎゃくに複素数ふくそすう平面へいめん上うえに級数きゅうすうが収束しゅうそくする領域りょういきを円えんで表あらわすと、その境界きょうかい線せん上じょうには必かならず特異とくい点てんが存在そんざいすることになる。特異とくい点てんが存在そんざいしない場合ばあいは、収束しゅうそく半径はんけいは無限むげん大だいである。