散乱さんらん理論りろん

散乱さんらん理論りろん（さんらんりろん、英えい: Theory of Scattering）は、粒子りゅうしなどの散乱さんらんを扱あつかう理論りろんのこと。

物質ぶっしつの微視的びしてきな構造こうぞうを調しらべるときに最もっとも一般いっぱん的てきな方法ほうほうは、その物体ぶったいに粒子りゅうし（または波動はどう）を衝突しょうとつさせて、散乱さんらんされた粒子りゅうしの分布ぶんぷの様子ようすを調しらべることである。現代げんだい物理ぶつり学がくの実験じっけん的てき研究けんきゅうの結果けっかの多おおくは量子力学りょうしりきがくにおける散乱さんらん理論りろんに基もとづく計算けいさんの結果けっかと比較ひかくされることになる。^[1]

実験じっけんでは電子でんし、光子こうし（電磁波でんじは）、中性子ちゅうせいし、陽子ようし、イオンなどが、原子げんし、分子ぶんし、原子核げんしかく、素粒子そりゅうしなどによって散乱さんらんされる。

通常つうじょう、量子力学りょうしりきがくを用もちいてこれらの散乱さんらんを記述きじゅつする理論りろんのことを散乱さんらん理論りろんと言いう場合ばあいが多おおいが、古典こてん力学りきがくによって扱あつかわれる散乱さんらんもある。以下いかは、量子力学りょうしりきがくの立場たちばによる記述きじゅつである。

散乱さんらん現象げんしょうを扱あつかう２ふたつの方法ほうほう

散乱さんらん現象げんしょうを理論りろん的てきに扱あつかう方法ほうほうには２ふたつの方法ほうほうが考かんがえられる。^[1]

例れいとして、ホースから出でた水みずが散乱さんらん体たいにぶつかって四方八方しほうはっぽうに飛とび散ちるような散乱さんらん現象げんしょうを考かんがえる。

第だい一いちの方法ほうほうでは、水みずを出だしっぱなしにして全体ぜんたいの状況じょうきょうが定常ていじょう的てきになったとき、この散乱さんらんの様子ようすを撮影さつえいした１枚まいの写真しゃしんとして全体ぜんたい像ぞうを考察こうさつする。この方法ほうほうでは、一体いったいもしくは二に体たいの弾性だんせい散乱さんらん（散乱さんらん前後ぜんこうでエネルギーが不変ふへんである散乱さんらん）のみ扱あつかう事ことができる。この方法ほうほうでは定常ていじょう状態じょうたいのシュレディンガー方程式ほうていしきを、散乱さんらんを表あらわす境界きょうかい条件じょうけんのもとで解とくことで、散乱さんらん状態じょうたいを求もとめる。

これはハミルトニアンの固有値こゆうち・固有こゆうベクトルを求もとめる問題もんだいとは異ことなることに注意ちゅういしなければならない。入射にゅうしゃ粒子りゅうしのエネルギーは実験じっけん者しゃによって指定していされるため、弾性だんせい散乱さんらんでは散乱さんらん状態じょうたいのエネルギー固有値こゆうちEはすでに指定していされており、それに対応たいおうするエネルギー固有こゆう状態じょうたいを求もとめるのである。つまり自由じゆう粒子りゅうし（入射にゅうしゃ状態じょうたい）の満みたしているエネルギー固有こゆう関係かんけいを境界きょうかい条件じょうけんとして微分びぶん方程式ほうていしきを解とく。これにはグリーン関数かんすうを用もちいる方法ほうほうが有用ゆうようである。

シュレディンガー方程式ほうていしきの解かいである散乱さんらん状態じょうたいは、入射にゅうしゃ平面へいめん波はと外そと向むき球面きゅうめん波はの重かさね合あわせで記述きじゅつされると考かんがえて、その球面きゅうめん波はの振幅しんぷく（散乱さんらん振幅しんぷく）を決定けっていすることで散乱さんらん断だん面積めんせきを求もとめる。この考かんがえ方かたは古典こてん的てきな波動はどうの散乱さんらんの問題もんだいの扱あつかい方かたと本質ほんしつ的てきに同等どうとうであり、その波動はどうが量子りょうし的てきな確かく率りつ振幅しんぷくであると解釈かいしゃくする点てんだけが異ことなる。以下いかではこちらの方法ほうほうでの散乱さんらん理論りろんを記しるす。

第だい二にの方法ほうほうでは、ホースから出でた１ひとつの水滴すいてきがどのように散乱さんらんされていくかを時間じかん的てきに追跡ついせきしていく。この方法ほうほうでは、散乱さんらん過程かていを始はじめ状態じょうたいから終おわり状態じょうたいへの転移てんいとしてとらえ、その転移てんい確かく率りつを時間じかん依存いぞんシュレディンガー方程式ほうていしきを用もちいて求もとめる（時間じかん発展はってんについてはシュレディンガー描像から相互そうご作用さよう描像に書かき換かえてから計算けいさんすることもある）。この方法ほうほうは、より量子力学りょうしりきがくの考かんがえ方かたに沿そった方法ほうほうであり、非ひ弾性だんせい散乱さんらんなども扱あつかえるため、第だい一いちの方法ほうほうより一般いっぱん性せいがある。この方法ほうほうはS行列ぎょうれつの理論りろんとも呼よばれる。

ポテンシャルによる電子でんし散乱さんらん

定常ていじょう状態じょうたいのシュレディンガー方程式ほうていしきの解かい

散乱さんらん体たいが、単独たんどくに存在そんざいする（孤立こりつした）マフィンティンポテンシャル $V_{\mathrm {MT} }(r)$ である場合ばあいを考かんがえる。

V_{\mathrm {MT} }(r)={\begin{cases}V(r)&(r<r_{\mathrm {MT} })\\0&(r>r_{\mathrm {MT} })\\\end{cases}}

ここで $r_{\mathrm {MT} }$ は球っきゅう対称たいしょうポテンシャル $V(r)$ のおよぶ領域りょういきの半径はんけいで、マフィンティン半径はんけいと呼よばれる。長距離ちょうきょり相互そうご作用さようのポテンシャルはここでは考察こうさつ対象たいしょう外がいとする。

マフィンティンポテンシャル下かでの電子でんしについての定常ていじょう状態じょうたいのシュレーディンガー方程式ほうていしきは、

{\begin{cases}[-\nabla ^{2}+V(r)]\Psi (\mathbf {r} )=\,{k_{0}}^{2}\Psi (\mathbf {r} )&(r<r_{\mathrm {MT} })\\-\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} )=\,{k_{0}}^{2}\Psi (\mathbf {r} )&(r>r_{\mathrm {MT} })\\\end{cases}}

となる。ここで $m$ は電子でんしの質量しつりょう、 ${k_{0}}^{2}=E$ 、 $E$ は入射にゅうしゃ状態じょうたいのエネルギー固有値こゆうちですでに指定していされている。また簡単かんたんのため $\hbar /2m=1$ とした。この微分びぶん方程式ほうていしきを解とくことができれば、散乱さんらん問題もんだいは解とけたことになる。

波動はどう関数かんすう $\Psi (\mathbf {r} )$ を極座標きょくざひょう表示ひょうじで展開てんかいすると、

\Psi (\mathbf {r} )=\,\sum _{l}C_{l}\Phi _{l}(r)P_{l}(\cos \theta )

とする。 $\Phi _{l}(r)$ は動どう径みち波動はどう関数かんすう（ $r$ は動どう径みち座標ざひょう、 $l$ は軌道きどう角かく運動うんどう量りょう）、 $C_{l}$ は未定みてい係数けいすう、 $P_{l}(\cos \theta )$ は $l$ 次つぎのルジャンドル多項式たこうしきである。

$r>r_{\mathrm {MT} }$ の場合ばあい、動どう径みち波動はどう関数かんすうは、

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi _{l}}{dr}}\right)+\left({k_{0}}^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right)\Phi _{l}=0

を解とくことによって次つぎの解かいが得えられる。

\phi _{l}(r)=\,Aj_{l}(k_{0}r)+Bn_{l}(k_{0}r)

ここで、A、Bは任意にんいの係数けいすう。j_l(x)は球たまベッセル関数かんすう、n_l(x)は球たまノイマン関数かんすうである。

r < r_MTの場合ばあいは省略しょうりゃく。

位相いそう差さ

この解かいを、

{\begin{aligned}\phi _{l}(r)&=A\{j_{l}(k_{0}r)-\tan \delta _{l}\cdot n_{l}(k_{0}r)\}\\\tan \delta _{l}&=-B/A\end{aligned}}

と変形へんけいし、ここで出でてくる $\delta _{l}$ を位相いそう差さ（位相いそうシフト、位相いそうのずれ、フェーズシフト）と言いう。これはポテンシャル（マフィンティン型がたである必要ひつようはない）が存在そんざいすることによる波動はどう関数かんすうの位相いそうのずれの効果こうかを表あらわしている。

散乱さんらん振幅しんぷく・散乱さんらん断だん面積めんせき

ここで、z軸じく上じょうの無限むげん遠とお（-∞）から平面へいめん波はが入射にゅうしゃして、これがポテンシャルV(r)によって散乱さんらんされ、球面きゅうめん波はとなって出でて行いく場合ばあい、全体ぜんたいの散乱さんらん状態じょうたいの波動はどう関数かんすうは次つぎのように漸近ぜんきんすると考かんがえる。

\Psi \sim e^{ik\mathbf {z} \cdot \mathbf {z} }+f(\theta ){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \over {r}}

ここで、f(θしーた)は散乱さんらんの確かく率りつ振幅しんぷく（散乱さんらん振幅しんぷく、θしーたは極座標きょくざひょうの角度かくど成分せいぶん）であり、これはシュレディンガー方程式ほうていしきの解かいと比較ひかくすることで、次つぎのように表あらわされる。

f(\theta )={1 \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot P_{l}(\cos \theta )

散乱さんらん振幅しんぷくは本来ほんらい、f(θしーた,φふぁい)と表あらわされるが（φふぁいは極座標きょくざひょうにおけるもう1つの角度かくど成分せいぶん）、マフィンティンポテンシャルは球っきゅう対称たいしょうなのでθしーたのみに依存いぞんし、φふぁいに依よらない。ここで散乱さんらん振幅しんぷくの二乗にじょうが微分びぶん散乱さんらん断だん面積めんせき（dσしぐま/dΩおめが、σしぐま：全ぜん断だん面積めんせき、dΩおめが：微小びしょう立体りったい角かく）となる。

{d\sigma  \over {d\Omega }}=\,|f(\theta ,\phi )|^{2}

T行列ぎょうれつ

多重たじゅう散乱さんらん理論りろんなどを考かんがえる場合ばあいに便利べんりであるため、以下いかで示しめされる遷移せんい演算えんざん子こ（T演算えんざん子こ）を導入どうにゅうする。

T=V+VG_{0}V+VG_{0}VG_{0}V+\cdot \cdot \cdot

G_{0}=\,{1 \over {E-H_{0}+i\epsilon }}

ここで、G₀は自由じゆう電子でんしのグリーン関数かんすう、H₀は自由じゆう電子でんしのハミルトニアンである。εいぷしろんは無限むげん小しょうの数かずである。

$f(\theta )\$ は、遷移せんい演算えんざん子こを入射にゅうしゃ状態じょうたい $\{|\mathbf {k} \rangle \}$ と散乱さんらん状態じょうたい $\{|\mathbf {k} +\mathbf {q} \rangle \}$ で行列ぎょうれつ表示ひょうじしたT行列ぎょうれつ（T行列ぎょうれつ、遷移せんい行列ぎょうれつ）によって、以下いかのように表あらわせる。

f(\theta )=-{1 \over {4\pi }}\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle

\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle =\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |V|\mathbf {k} \rangle +\int {\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |V|\mathbf {k} +\mathbf {q} '\rangle \langle \mathbf {k} +\mathbf {q} '|V|\mathbf {k} \rangle  \over {(k^{2}-|\mathbf {k} +\mathbf {q} '|^{2})}}d^{3}q'+\cdot \cdot \cdot

T演算えんざん子こは、

T=V+VG_{0}\{V+VG_{0}V+\cdot \cdot \cdot \}=V+VG_{0}T

とも表あらわせる。よってT行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ要素ようそは、

\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle =\,-{1 \over {k_{0}}}\sum _{l}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot 4\pi (2l+1)P_{l}(\cos \theta )=-{1 \over {k_{0}}}\sum _{l,m}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot Y_{lm}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )Y_{lm}(\mathbf {k} )

となる。ここで $Y_{lm}$ は球面きゅうめん調和ちょうわ関数かんすうで、 $m$ は軌道きどう磁気じき量子りょうし数すうである。更さらに、

\langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle =\sum _{l,m}T_{l}Y_{lm}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )Y_{lm}(\mathbf {k} )

より、これから、

T_{l}=-{1 \over {k_{0}}}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}=-{1 \over {\kappa }}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}

を得える。これが角かく運動うんどう量りょう表示ひょうじでのT行列ぎょうれつと位相いそう差さ（フェーズシフト）との関係かんけい。k₀はκかっぱの記号きごうで表あらわされることが多おおい。
以上いじょうは、孤立こりつしたポテンシャル下かでの散乱さんらんであるが、実際じっさいは多数たすう存在そんざいするポテンシャルの存在そんざい下かで、多数たすうの粒子りゅうし（電子でんしなど）が何なん度ども散乱さんらんされる（多重たじゅう散乱さんらん）。これを理論りろん的てきに取とり扱あつかうのが多重たじゅう散乱さんらん理論りろんである。

参考さんこう文献ぶんけん

^ ^a ^b 砂川すなかわ重信しげのぶ『散乱さんらんの量子りょうし論ろん』岩波書店いわなみしょてん、1977年ねん。ISBN 4000212133。