無理むり数すう

無理むり数すう（むりすう、英えい: irrational number）とは、有理数ゆうりすうではない実数じっすう、つまり整数せいすうの比ひ（英えい: ratio）（分数ぶんすう）で表あらわすことのできない実数じっすうのことである。実数じっすうは非ひ可算かさん個こで有理数ゆうりすうは可算かさん個こであるから、無理むり数すうは非ひ可算かさん個こあり、ほとんど全すべての実数じっすうは無理むり数すうである。

無理むり数すうという語かたりは、何なにかが「無理むりである数かず」という意味いみに受うけ取とれるため、語義ごぎ的てきに「無比むひ数すう」と訳やくすべきだったという意見いけんもある^[1]^[2]^[3]（有理数ゆうりすう#用語ようごの由来ゆらいも参照さんしょう）。

無理むり数すうの例れい

以下いかの実数じっすうは無理むり数すうである。

平方へいほう数すうを除のぞく平方根へいほうこん（ ${\sqrt {2}}$ 、 ${\sqrt {3}}$ など）
整数せいすう $N$ の $m$ 乗の根ね ${\sqrt[{m}]{N}}$ （ただし、 $m$ は $1$ より大おおきい整数せいすう、 $N$ は $m$ 乗数じょうすうでない整数せいすう）
対数たいすう log_m n（ただし、m, n は 1 より大おおきい整数せいすうで、m = N^a, n = N^b を満みたす整数せいすう N, a, b が存在そんざいしない）
- $log 23$ や $log 25$
三角さんかく関数かんすうの零れいでない有理数ゆうりすう $x$ における値ね^[4] $cos x$ , $sin x$ , $tan x$ , $csc x$ , $sec x$ , $ctn x$
円周えんしゅう率りつ $π ぱい$
ネイピア数すう $e$
ゲルフォントの定数ていすう e^{$π ぱい$}
アペリーの定数ていすう $ζ ぜーた (3)$
小数しょうすう部分ぶぶんが循環じゅんかんしない無限むげん小数しょうすうで表あらわされる数かず。例たとえば十進法じっしんほうにおける
- チャンパーノウン定数ていすう 0.123456789101112…（小数しょうすう部分ぶぶんに自然しぜん数すうを順じゅんに並ならべた小数しょうすう）
- コープランド-エルデシュ定数ていすう 0.2357111317192329…（小数しょうすう部分ぶぶんに素数そすうを順じゅんに並ならべた小数しょうすう）

無理むり数すう判定はんてい法ほう

任意にんいの $ε いぷしろん > 0$ に対たいして不等式ふとうしき

0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\varepsilon }{q}}

が有理数ゆうりすう解かい p/q を持もつとき、 $α あるふぁ$ は無理むり数すうである。多おおくの無理むり性せいの証明しょうめいはこれを用もちいている。これは $α あるふぁ$ が無理むり数すうであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんでもある。

性質せいしつ

無理むり数すうを十じゅう進しん小数しょうすうで表記ひょうきすると、繰くり返かえしのない無限むげん小数しょうすう（非ひ循環じゅんかん小数しょうすう）になる。これは記数きすう法ほうの底そこによらず一般いっぱんの N 進すすむ小数しょうすうでも成なり立たつ。

αあるふぁ を無理むり数すうとすると、

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}

を満みたす無限むげんに多おおくの有理数ゆうりすう p/q が存在そんざいする（ディリクレの定理ていり）。なお、このように無理むり数すうの有理数ゆうりすうによる近似きんじを扱あつかう理論りろんはディオファントス近似きんじと呼よばれる数かず論ろんの分野ぶんやに属ぞくする。

無理むり数すう全体ぜんたいの空間くうかんを完備かんびとするような距離きょりが存在そんざいする。またA-演算えんざんが自然しぜんに応用おうようできる例れいでもあり、この空間くうかんは点てん集合しゅうごう論ろん的てきトポロジーでは重要じゅうような対象たいしょうである。

代数だいすう的てき無理むり数すうと超越ちょうえつ数すう

無理むり数すうのうち、代数だいすう的てき数すうであるものを代数だいすう的てき無理むり数すう、そうでないものを超越ちょうえつ数すうという。

αあるふぁ が代数だいすう的てき数すう、κかっぱ > 2 ならば、

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}

を満みたす有理数ゆうりすう p/q は有限ゆうげん個こしかない（トゥエ－ジーゲル－ロスの定理ていり）^[5]。このことは不定ふてい方程式ほうていしきの解かいの有限ゆうげん性せいを示しめすときに使つかわれる。

2の平方根へいほうこんは代数だいすう的てき無理むり数すうであり、log₂ 3, e, $π ぱい$ , e^{$π ぱい$} といった数かずは超越ちょうえつ数すうである。ζぜーた(3) が超越ちょうえつ数すうであるか否ひかは未いまだに解決かいけつされていない。

詳細しょうさいは「超越ちょうえつ数すう」を参照さんしょう

無理むり数すう度ど

数かず αあるふぁ に対たいして

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}

を満みたす有理数ゆうりすう p/q は有限ゆうげん個こしかない、という性質せいしつを満みたす κかっぱ の下限かげんを αあるふぁ の無理むり数すう度ど (英えい: irrationality measure) という。

有理数ゆうりすうの無理むり数すう度どは 1, ディリクレの定理ていりおよびロスの定理ていりより代数だいすう的てき無理むり数すうの無理むり数すう度どは 2, リウヴィル数すうの無理むり数すう度どは ∞ である。ディリクレの定理ていりより無理むり数すうの無理むり数すう度どは全すべて 2 以上いじょうである。e の無理むり数すう度どは 2 であることが知しられている。また、 $π ぱい$ の無理むり数すう度どの上限じょうげんは7.103程度ていどであることがわかっている^[6]。

ルベーグ測度そくどに関かんしてほとんど全すべての数かずの無理むり数すう度どは 2 である。

歴史れきし

無理むり数すうの発見はっけんは古代こだいギリシア文明ぶんめいにまで遡さかのぼる。一説いっせつでは、無理むり数すうの発見はっけん者しゃは古代こだいギリシャの大数たいすう学者がくしゃ、ピタゴラスの弟子でしであったヒッパソスという人物じんぶつであった。ヒッパソスは正方形せいほうけいの研究けんきゅうをしているうち、その辺あたりと対角線たいかくせんの長ながさの比ひは整数せいすうでも分数ぶんすうでも表あらわせない未知みちの数かず、すなわち無む理数りすうであることを発見はっけんしたという。

彼かれの師匠ししょうのピタゴラスは、宇宙うちゅうの万物ばんぶつは数かずから成なり立たつこと、そして宇宙うちゅうを構成こうせいする数かずは、調和ちょうわした比ひを保たもっていると信しんじていた。ピタゴラスと教団きょうだんは教義きょうぎの反証はんしょうである無理むり数すうが存在そんざいする事実じじつに動揺どうようし、不都合ふつごうな事実じじつを隠かくすため、発見はっけん者しゃのヒッパソスを縛しばりあげ、船ふねから海うみに突つき落おとして殺害さつがいしたという伝承でんしょうが残のこっている。

しかし、プラトンが現あらわれると、彼かれの著書ちょしょ『テアイテトス』の中なかで平方へいほう数すうでない数かずの平方根へいほうこんが有理数ゆうりすうでないことを論ろんじ、さらに同おなじ論法ろんぽうが立方根りっぽうこんにも適用てきようできると述のべている。これらの数学すうがく的てきな蓄積ちくせきを受うけて、エウクレイデスは『原論げんろん』の中なかで統一とういつした形かたちで実数じっすう論ろんを展開てんかいしている。

円周えんしゅうが円えんの直径ちょっけいの3倍ばいより少すこし大おおきいことは古来こらい知しられていた。古代こだいインドやギリシアの数学すうがく者しゃたちの間あいだでは半径はんけい r の円えんの面積めんせきが円周えんしゅう率りつ $π ぱい$ を使つかって $π ぱい$ r² であることも知しられ、アルキメデスは半径はんけい r の球たまの体積たいせきが 4/3 $π ぱい$ r³ であることや、この球たまの表面積ひょうめんせきが 4 $π ぱい$ r² （その球たまの大円だいえんの面積めんせきの4倍ばい）であることを示しめしていた。円周えんしゅう率りつ $π ぱい$ が無理むり数すうであることはすでにアリストテレスによって予想よそうされていたが、実際じっさいに証明しょうめいされたのはそれよりはるかに後ごの時代じだいのことである（ヨハン・ハインリヒ・ランベルト）。

自然しぜん対数たいすうの底そこであるネイピア数すう e は、1618年ねんにジョン・ネイピアが発表はっぴょうした対数たいすうの研究けんきゅうの付録ふろくの表ひょうにその端緒たんしょがあるが、定性的ていせいてきに研究けんきゅうしたのはレオンハルト・オイラーである。

1872年ねんにリヒャルト・デデキントは『連続れんぞく性せいと無理むり数すう』を出版しゅっぱんし、デデキント切断せつだんを用もちいて無理むり数すうを定義ていぎした。

リーマンゼータ関数かんすうの特殊とくしゅ値ち ζぜーた(3) は、アペリーによって1979年ねんに無理むり数すうであることが証明しょうめいされた（アペリーの定数ていすう）。 $π ぱい$ + e^{$π ぱい$} は、ネステレンコ（英語えいご版ばん）によって無理むり数すうであることが証明しょうめいされた。

未み解決かいけつの問題もんだい

オイラーの定数ていすう（オイラー・マスケローニ定数ていすう） $γ がんま$ 、 $π ぱい + e$ 、 $e π ぱい$ 、その他た $P (e, π ぱい)$ の形かたちであらわされる数かず（ここで $P (x, y)$ は、 $x$ , $y$ 双方そうほうについて次数じすうが 1 以上いじょうの多項式たこうしきを表あらわす）はいずれも、有理数ゆうりすうであるか無理むり数すうであるか知しられていない。

また、 $e e$ 、 $π ぱい e$ 、 $π ぱい π ぱい$ 、といった数かずもやはり、有理数ゆうりすうであるか無理むり数すうであるか知しられていない。ただし、上記じょうき #無理むり数すうの例れいに挙あげたとおり、 $e π ぱい$ は無理むり数すうであることが既すでに知しられている。

脚注きゃくちゅう

[脚注きゃくちゅうの使つかい方かた]

^ 堀場ほりば芳かおる数すう『無理むり数すうの不思議ふしぎ』講談社こうだんしゃ、1993年ねん ISBN 978-4061329782
^ 吉田よしだ武たけし『オイラーの贈物おくりもの人類じんるいの至宝しほうe^iπぱい=-1を学まなぶ』東海大学とうかいだいがく出版しゅっぱん会かい、2010年ねん ISBN 978-4486018636
^ 吉田よしだ武たけし『虚数きょすうの情緒じょうちょ中学生ちゅうがくせいからの全ぜん方位ほうい独学どくがく法ほう』東海大学とうかいだいがく出版しゅっぱん会かい、2000年ねん ISBN 978-4486014850
^ Niven 2005, p. 21.
^ ピーター・フランクル『ピーターフランクルの中学生ちゅうがくせいでも分わかる大学生だいがくせいにも解とけない数学すうがく問題もんだい集しゅう１』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2001年ねん、10頁ぺーじ。ISBN 4-535-78262-8。
^ Irrationality Measure

参考さんこう文献ぶんけん

塩川しおかわ宇賢：『無理むり数すうと超越ちょうえつ数すう』森北もりきた出版しゅっぱん、ISBN 978-4627060913、（1999年ねん）。
デーデキント『数かずについて連続れんぞく性せいと数かずの本質ほんしつ』河野こうの伊三郎いさぶろう訳やく、岩波書店いわなみしょてん、ISBN 4-00-339241-8、（1961年ねん）。
W. M. Schmidt, "Diophantine Approximations", Lecture Notes in Math. 785, Springer-Verlag, 1980.
W. M. Schmidt, "Diophantine approximations and diophantine equations", Lecture Notes in Math. 1467. Springer-Verlag, 1991.
R. Apéry, "Irrationalité de ζぜーた(2) et ζぜーた(3)", Astérisque 61(1979), 11-13.
A. van der Poorten, "A Proof that Euler Missed... Apéry's Proof of the Irrationality of ζぜーた(3)", Math. Intel. 1 (1979), 196-203.
ジュリアン・ハヴィル、松浦まつうら俊輔しゅんすけ（訳わけ）：「無理むり数すうの話はなし √2の発見はっけんから超越ちょうえつ数すうの謎なぞまで」青土おうづち社しゃ、ISBN 978-4791766758、(2012年ねん10月がつ24日にち)。
西岡にしおか久美子くみこ：「超越ちょうえつ数すうとはなにか代数だいすう方程式ほうていしきの解かいにならない数かずたちの話はなし」講談社こうだんしゃ（ブルーバックス）ISBN 978-4062579117（2015年ねん4月がつ21日にち)。
I. Niven (2005). Irrational Numbers. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-038-9

外部がいぶリンク

ウィキソースには、新式しんしき算術さんじゅつ講義こうぎ/第だい九きゅう章しょうの原文げんぶんがあります。
ウィクショナリーには、無理むり数すうの項目こうもくがあります。
Weisstein, Eric W. "Irrational Number". mathworld.wolfram.com (英語えいご).

[1] 堀場ほりば芳かおる数すう『無理むり数すうの不思議ふしぎ』講談社こうだんしゃ、1993年ねん ISBN 978-4061329782

[2] 吉田よしだ武たけし『オイラーの贈物おくりもの人類じんるいの至宝しほうe^iπぱい=-1を学まなぶ』東海大学とうかいだいがく出版しゅっぱん会かい、2010年ねん ISBN 978-4486018636

[3] 吉田よしだ武たけし『虚数きょすうの情緒じょうちょ中学生ちゅうがくせいからの全ぜん方位ほうい独学どくがく法ほう』東海大学とうかいだいがく出版しゅっぱん会かい、2000年ねん ISBN 978-4486014850

[FOOTNOTENiven200521-4] Niven 2005, p. 21.

[5] ピーター・フランクル『ピーターフランクルの中学生ちゅうがくせいでも分わかる大学生だいがくせいにも解とけない数学すうがく問題もんだい集しゅう１』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2001年ねん、10頁ぺーじ。ISBN 4-535-78262-8。

[6] Irrationality Measure

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