物質ぶっしつ微分びぶん

連続れんぞく体力たいりょく学がく
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物質ぶっしつ微分びぶん（ぶっしつびぶん、英えい: material derivative）とは流ながれに乗のって移動いどうする流体りゅうたい粒子りゅうしの物理ぶつり量りょう (温度おんどや運動うんどう量りょう)の時間じかん変化へんか率りつのことで、連続れんぞく体力たいりょく学がくの概念がいねんの一ひとつである。固定こていされた場所ばしょでの物理ぶつり量りょうの時間じかん変化へんかでなく、流ながれに乗のって動うごく仮想かそう的てきな「観測かんそく者しゃ」が観みた物理ぶつり量りょうの時間じかん変化へんかを記述きじゅつする。

物質ぶっしつ微分びぶんはラグランジュ描像に基もとづく時間じかん変化へんかをオイラー描像に基もとづく時間じかん変化へんかで記述きじゅつしたものである。物体ぶったい固有こゆうの時間じかん変化へんかを記述きじゅつするものなので物質ぶっしつ微分びぶん $\mathrm {D} /\mathrm {D} t$ は偏へん微分びぶん $\partial /\partial t$ と違ちがいガリレイ不変ふへんである。

名称めいしょうとしては他たに、物質ぶっしつ時間じかん微分びぶん、流ながれに乗のって移動いどうするときの微分びぶん、実質じっしつ微分びぶん、ラグランジュ微分びぶんなどとも呼よばれる。

定義ていぎ

速度そくど場じょう ${\boldsymbol {v}}$ の流ながれにおける、スカラー場じょう $\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$ およびベクトル場じょう ${\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)$ の物質ぶっしつ微分びぶんは以下いかのように表あらわされる。

${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi$

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}$

ここで、それぞれの式しきの右辺うへん第だい2項こうを移流いりゅう項こう、対流たいりゅう項こうと呼よび、非ひ一様いちような物理ぶつり量りょうの分布ぶんぷの中なかを移動いどうしたことで観測かんそくされる物理ぶつり量りょうの変化へんか率りつを表あらわす。

直観ちょっかん的てき意味いみ

スカラー場じょう$\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$の物質ぶっしつ微分びぶんは直観ちょっかん的てきには流ながれに乗のって動うごく物体ぶったいから見みた場合ばあいにおける$\varphi ({\boldsymbol {x}},t)$の変化へんか率りつを表あらわす。（ベクトル場じょうの場合ばあいも同様どうよう）。 実際じっさい、位置いちのグラフ${\boldsymbol {u}}(t)$で記述きじゅつされる質点しつてんの軌道きどうは速度そくど場じょう ${\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)$ にそっているので、

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {u}},t)$

となるから(なお、この性質せいしつを満みたす${\boldsymbol {u}}(t)$を流ながれ跡あと線せんという)、ライプニッツ則そくから

${\frac {\mathrm {d} \varphi ({\boldsymbol {u}},t)}{\mathrm {d} t}}=(\nabla \varphi )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi +{\frac {\mathrm {\partial } \varphi }{\mathrm {\partial } t}}={\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}$

が成立せいりつする。 上うえでは一いち粒子りゅうししかない場合ばあいを想定そうていしたが、初期しょき時刻じこくにおける位置いち${\boldsymbol {X}}$でパラメトライズされた粒子りゅうしの族ぞく${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)$を考かんがえた場合ばあいも、${\boldsymbol {X}}$を固定こていして同様どうようの証明しょうめいを行おこなう事ことで、同様どうようの式しきが導みちびける。更さらに粒子りゅうしの族ぞくを連続れんぞく体たいにまで拡張かくちょうしたものが物質ぶっしつ微分びぶんである。

以上いじょうの説明せつめいから分わかるように、物質ぶっしつ微分びぶん${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}$は物質ぶっしつに固定こていして観測かんそくする座標ざひょう系けい（物質ぶっしつ表示ひょうじ）における時間じかん微分びぶんを表あらわすが、それに対たいし通常つうじょうの偏へん微分びぶん${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$は空間くうかん上じょうに固定こていされた座標ざひょう系けい（空間くうかん表示ひょうじ）における時間じかん微分びぶんであるといえる。

定常ていじょう流りゅう

定常ていじょう流りゅうはすべての物理ぶつり量りょうのオイラー描像的てき時間じかん変化へんか率りつが ${\partial /\partial t}=0$ となる流ながれであるが、ラグランジュ描像的てき時間じかん変化へんか率りつが ${\mathrm {D} /\mathrm {D} t}=0$ となるとは限かぎらないことに注意ちゅういすべきである。

一ひとつの流ながれ線せんに着目ちゃくもくする。流りゅう線上せんじょうのある点てんからの道みちのりを $s$ 、流りゅう線せんの単位たんい接せっベクトルを ${\boldsymbol {e}}_{s}$ と表あらわす。速度そくどベクトルは流ながれ線せんに接せっしているので、定常ていじょう流りゅうにおける物質ぶっしつ微分びぶんは

${\begin{aligned}{\mathrm {D} \over \mathrm {D} t}&={\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \\&=0+(v{\boldsymbol {e}}_{s})\cdot \nabla \\&=v{\partial \over \partial s}&(\because ~{\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ={\partial \over \partial s})\end{aligned}}$

となり、流りゅう線せん方向ほうこうの変化へんか率りつに速はやさをかけたものに等ひとしいことが導みちびかれる。

これから、定常ていじょう流りゅう( ${\partial /\partial t}=0$ )でも、流りゅう線せんに沿そって物理ぶつり量りょうが変化へんかするなら${\mathrm {D} /\mathrm {D} t}\neq 0$ であることがわかる。

定常ていじょう流りゅうにおける加速度かそくど

応用おうようで重要じゅうようなのは速度そくどの物質ぶっしつ微分びぶんすなわち加速度かそくどである。定常ていじょう流りゅう、つまり、速度そくどの時間じかん変化へんかがない流ながれでも、流体りゅうたい粒子りゅうしの加速度かそくどは0とは限かぎらない。定常ていじょう流りゅうでも、流りゅう線せんに沿そって速度そくどの大おおきさは変化へんかしうるし、流りゅう線せんに沿そって速度そくどの方向ほうこうが変かわる（流りゅう線せんが曲まがる）こともありうる。これを式しきに表あらわすと、

${\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}$

ただし、 $s$ は流ながれ線上せんじょうのある点てんからの道みちのり、$r$ は瞬間しゅんかん的てきな曲きょく率りつ中心ちゅうしんからの距離きょり、$R$ は流ながれ線せんの曲きょく率りつ半径はんけい、${\boldsymbol {e}}_{s}$ は接線せっせん方向ほうこうの単位たんいベクトル、${\boldsymbol {e}}_{r}$ は半径はんけい方向ほうこうの単位たんいベクトルを表あらわす。

導出どうしゅつ

${\begin{aligned}{\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}&={\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&=v{\partial (v{\boldsymbol {e}}_{s}) \over \partial s}\\&=v{\partial v \over \partial s}{\boldsymbol {e}}_{s}+v^{2}{\partial {\boldsymbol {e}}_{s} \over \partial s}\\&={\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}\end{aligned}}$ ただし、 曲線きょくせんの曲きょく率りつについての関係かんけい式しき ${\partial {\boldsymbol {e}}_{s} \over \partial s}=-{1 \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}$ を使つかった。

加速度かそくどの流りゅう線せん方向ほうこうの成分せいぶんは流ながれ線せんにそった速はやさの変化へんか率りつに対応たいおうし、加速度かそくどの法線ほうせん方向ほうこうの成分せいぶんは流ながれ線せんが曲まがることによる向こう心しん加速度かそくどに対応たいおうする。

ベルヌーイの定理ていりと流ながれ線せん曲きょく率りつの定理ていり

外力がいりょくのない非ひ粘性ねんせいのバロトロピック流体りゅうたいの定常ていじょうな流ながれを考かんがえる。非ひ粘性ねんせい流体りゅうたいの流ながれを記述きじゅつするオイラー方程式ほうていしき

${\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}$

は定常ていじょう、外力がいりょくがない、バロトロピックという条件じょうけんでは

${\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }$

と変形へんけいできる。

方程式ほうていしきの両辺りょうへんにそれぞれ ${\boldsymbol {e}}_{s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}$ を内積ないせきでかけることで、流りゅう線せん方向ほうこう(接線せっせん)成分せいぶん、半径はんけい方向ほうこう（主しゅ法線ほうせん）成分せいぶんは、

${\begin{aligned}{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right)&=-{\partial \over \partial s}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\qquad \quad \therefore ~{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right)=0\\-{v^{2} \over R}&=-\left.{\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right|_{r=R}\quad \therefore ~{\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}\quad \left(\mathrm {or~} {\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }={v^{2} \over r}\right)\end{aligned}}$

と表あらわせる。ただし、方向ほうこう微分びぶんの性質せいしつ：

${\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ={\partial \over \partial s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot \nabla ={\partial \over \partial r}$

を使つかった。

第だい1式しきがベルヌーイの定理ていり、第だい2式しきが流ながれ線せん曲きょく率りつの定理ていりに対応たいおうする。

対流たいりゅう項こう

移流いりゅう項こうにおける $\nabla \varphi$ は スカラー量りょうの勾配こうばいであるが、対流たいりゅう項こうにおける $\nabla {\boldsymbol {A}}$ はベクトル量りょうの共きょう変へん微分びぶんである。ベクトル量りょうの対流たいりゅう項こう ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}$ を $({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}$ と記述きじゅつすることがあるが、この表示ひょうじはデカルト座標ざひょう系けいでしか等価とうかでないことに注意ちゅういすべきである（スカラー量りょうの対流たいりゅう項こう ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi$ については $({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} )\varphi$ と等価とうかである）。

共きょう変へん微分びぶんを使つかわずに一般いっぱんの座標ざひょう系けいで成なり立たつ表現ひょうげんとしては

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}})+\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}\times {\boldsymbol {v}}-\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {v}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {A}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}\right\}$

がある。特とくに加速度かそくどの回転かいてん形がた表示ひょうじ

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}$

は重要じゅうようである。

エディントンのイプシロンを用もちいた導出どうしゅつ

エディントンのイプシロンの性質せいしつ ${\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}&=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\end{aligned}}$ を使つかえば、 ${\begin{aligned}({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}(\operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{k}\\&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}\sum _{\ell m}\varepsilon _{k\ell m}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{j\ell m}(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })v_{j}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{m}\left(v_{m}{\partial \over \partial x_{i}}v_{m}-v_{m}{\partial \over \partial x_{m}}v_{i}\right)\\&=\left(\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\right)_{i}\end{aligned}}$ より、 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\end{aligned}}$ が得えられる。

曲線きょくせん直交ちょっこう座標ざひょう系けい

曲線きょくせん直交ちょっこう座標ざひょう系けい ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(q^{1},q^{2},q^{3})$ における対流たいりゅう項こう ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}$ の $j$ 成分せいぶんは以下いかのように与あたえられる。

$[{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{k}}}+{\frac {A_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}$

ただし、

$h_{k}=\left|{\partial {\boldsymbol {r}} \over \partial q^{k}}\right|={\sqrt {g_{kk}}}$

（$g_{ij}$ は計量けいりょうテンソル）である。

先さきで述のべたように

$[({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}v_{k}\left({\frac {1}{h_{k}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)A_{j}$

とはデカルト座標ざひょう系けい $(h_{1}=h_{2}=h_{3}=1)$ においてのみ等ひとしい。

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {v}}$ とした時ときの物質ぶっしつ微分びぶん(＝加速度かそくど)の対流たいりゅう項こうに現あらわれる第だい2項こう

$\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}$

は曲線きょくせん直交ちょっこう座標ざひょう系けいで現あらわれる見みかけの力ちからに対応たいおうする。

実際じっさい、 $L={\frac {m}{2}}\sum _{k}(h_{k}{\dot {q}}^{k})^{2}$ に対たいして $({\mathrm {d} /\mathrm {d} t})({\partial L/\partial {\dot {q}}^{j}})-({\partial L/\partial q^{j}})=0$ を計算けいさんすると、

${\mathrm {d} v_{j} \over \mathrm {d} t}-\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\partial h_{j} \over \partial q^{k}}-v_{k}{\partial h_{k} \over \partial q^{j}}\right)\right\}=0$

が得えられる。ただし、$v_{k}=h_{k}{\dot {q}}^{k}$ であり、 ${\dot {h}}_{k}=\sum _{i}{\partial h_{k} \over \partial q^{i}}{\dot {q}}^{i}$ を使つかう。

相対そうたい論ろん的てき物質ぶっしつ微分びぶん

時間じかん$t$の代かわりに固有こゆう時間じかん$\tau$による物質ぶっしつ微分びぶんを構成こうせいすることもできる．具体ぐたい的てきに，次つぎ式しきで与あたえられる．

${\frac {\mathrm {D} A^{\mu }(x)}{\mathrm {D} \tau }}=v^{\nu }\nabla _{\nu }A^{\mu }.$

$v^{\nu }$は流体りゅうたいの四よん元げん速度そくど，$A^{\mu }(x)$は四よん元げん時空じくうを変数へんすうとするベクトルである．とくに，$A^{\mu }(x)$を速度そくどとすると，測地そくち線せん方程式ほうていしきとなり，零れいになる．

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} v^{\mu }(x)}{\mathrm {D} \tau }}&=v^{\nu }\nabla _{\nu }v^{\mu }=v^{\nu }\left(\partial _{\nu }v^{\mu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }v^{\lambda }\right)\\&={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial v^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }v^{\lambda }v^{\nu }\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\mu }}{\partial \tau ^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {\partial x^{\lambda }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\lambda }}{\partial \tau }}=0.\\\end{aligned}}$

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