ベクトル解析 かいせき における面積 めんせき 分 ぶん surface integral ）は、曲面 きょくめん 上 うえ 定 てい 積分 せきぶん 二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 捉 とら 線 せん 積分 せきぶん 一 いち 次元 じげん 類似 るいじ 物 ぶつ 曲面 きょくめん 与 あた 上 うえ スカラー場 じょう やベクトル場 じょう を積分 せきぶん
面積 めんせき 分 ぶん 物理 ぶつり 学 がく 特 とく 電磁気 でんじき 学 がく 古典 こてん 論 ろん 応用 おうよう
面積 めんせき 分 ぶん 定義 ていぎ 曲面 きょくめん 小 ちい 面 めん 素 もと 分解 ぶんかい 成 な 滑 なめ 曲面 きょくめん S 上 うえ 点 てん 座標 ざひょう x = (x , y , z ) が独立 どくりつ 変数 へんすう u , v の関数 かんすう x = S (u , v ) := (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) によって表 あらわ
d
σ しぐま =
|
d
x
|
=
|
d
S
|
:=
|
∂
S
∂
u
×
∂
S
∂
v
|
d
u
d
v
{\displaystyle d\sigma =|d\mathbf {x} |=|dS|:=\left\vert {\dfrac {\partial S}{\partial u}}\times {\dfrac {\partial S}{\partial v}}\right\vert \,du\,dv}
を曲面 きょくめん S = S (u , v ) の u , v に関 かん 面積 めんせき 要素 ようそ 面 めん 素 もと 呼 よ
ここで、
|
∂
S
∂
u
×
∂
S
∂
v
|
2
=
|
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
∂
z
∂
u
∂
z
∂
v
|
2
+
|
∂
z
∂
u
∂
z
∂
v
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
|
2
+
|
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
|
2
=
E
G
−
F
2
{\displaystyle \left\vert {\dfrac {\partial S}{\partial u}}\times {\dfrac {\partial S}{\partial v}}\right\vert ^{2}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}=EG-F^{2}}
は、S の線 せん 素 もと ds 2 = Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2 から定 さだ 第 だい 一 いち 基本 きほん 量 りょう
{
E
:=
(
∂
x
∂
u
)
2
+
(
∂
y
∂
u
)
2
+
(
∂
z
∂
u
)
2
F
:=
∂
x
∂
u
∂
x
∂
v
+
∂
y
∂
u
∂
y
∂
v
+
∂
z
∂
u
∂
z
∂
v
G
:=
(
∂
x
∂
v
)
2
+
(
∂
y
∂
v
)
2
+
(
∂
z
∂
v
)
2
{\displaystyle {\begin{cases}E:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial u}}\right)^{2}\\[14pt]F:={\dfrac {\partial x}{\partial u}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial y}{\partial u}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}+{\dfrac {\partial z}{\partial u}}{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]G:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}\end{cases}}}
によって記述 きじゅつ 面 めん 素 もと d σ しぐま u , v の取 と 方 かた 依 よ
一 ひと 面 めん 素 もと 模 も 式 しき 図 ず 面 めん 素 もと 限 かぎ 小 ちい 極限 きょくげん 曲面 きょくめん 近似 きんじ 曲面 きょくめん S とその上 うえ 定義 ていぎ 場 じょう f を考 かんが S が何 なん 物質 ぶっしつ S の各 かく 点 てん x において物質 ぶっしつ 密度 みつど f (x ) であるものと考 かんが S 上 うえ f の面積 めんせき 分 ぶん S の単位 たんい 厚 あつ 質量 しつりょう 与 あた 曲面 きょくめん 無限 むげん 薄 うす 立体 りったい 看做 みな 場合 ばあい 正 ただ 面積 めんせき 分 ぶん 計算 けいさん 一 ひと 方法 ほうほう 論 ろん 曲面 きょくめん 非常 ひじょう 小 ちい 無数 むすう 小片 しょうへん 分割 ぶんかつ 各 かく 小片 しょうへん 密度 みつど 近似 きんじ 的 てき 定数 ていすう 仮定 かてい 各 かく 小片 しょうへん 面積 めんせき 密度 みつど 掛 か 単位 たんい 厚 あつ 質量 しつりょう 求 もと 足 た 上 あ 得 え 数 かず S の単位 たんい 厚 あつ 総 そう 質量 しつりょう 求 もと
面積 めんせき 分 ぶん 明示 めいじ 式 しき 得 え 球面 きゅうめん 上 うえ 経線 けいせん 緯線 いせん S の上 うえ 曲線 きょくせん 座標 ざひょう 系 けい 取 と 媒介 ばいかい 変数 へんすう 必要 ひつよう 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ x (s , t ) と書 か s , t ) が座標 ざひょう 平面 へいめん 適当 てきとう 領域 りょういき T を動 うご 面積 めんせき 分 ぶん
∫
S
f
d
S
:=
∬
T
f
(
x
(
s
,
t
)
)
|
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
|
d
s
d
t
{\displaystyle \int _{S}f\,dS:=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}
と定義 ていぎ 右辺 うへん 縦 たて 棒 ぼう 挟 はさ 式 しき x (s , t ) の二 に 種類 しゅるい 偏 へん 微分 びぶん 同士 どうし 交叉 こうさ 積 せき ノルム （大 おお （英語 えいご 版 ばん
例 たと 一般 いっぱん 函数 かんすう z = f (x , y ) で与 あた 曲面 きょくめん 表面積 ひょうめんせき 求 もと r = (x , y , z ) として
A
:=
∫
S
d
S
=
∬
T
|
∂
r
∂
x
×
∂
r
∂
y
|
d
x
d
y
{\displaystyle A:=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right|dx\,dy}
を計算 けいさん
∂
r
∂
x
=
(
1
,
0
,
f
x
(
x
,
y
)
)
,
∂
r
∂
y
=
(
0
,
1
,
f
y
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y)),\quad {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
であるから、代入 だいにゅう 整理 せいり
A
=
∬
T
(
∂
f
∂
x
)
2
+
(
∂
f
∂
y
)
2
+
1
d
x
d
y
{\displaystyle A=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{\!\!2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{\!\!2}+1}}\ dx\,dy}
を得 え 一般 いっぱん 函数 かんすう 与 あた 曲面 きょくめん 曲 きょく 面積 めんせき 対 たい 知 し 公式 こうしき 式 しき 中 ちゅう 偏 へん 微分 びぶん 積 せき 得 え
(
−
∂
f
∂
x
,
−
∂
f
∂
y
,
1
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\partial f}{\partial x}},-{\frac {\partial f}{\partial y}},1\right)}
は、この曲面 きょくめん 法線 ほうせん 理解 りかい
上記 じょうき 公式 こうしき 積 せき 現 あらわ 公式 こうしき 曲線 きょくせん 三 さん 次元 じげん 空間 くうかん 埋 う 込 こ 有効 ゆうこう 注意 ちゅうい
曲面 きょくめん 上 じょう 場 じょう S 上 うえ 場 じょう v を考 かんが S の各 かく 点 てん x に対 たい v (x ) がベクトルであるものとする。
ベクトル場 じょう 面積 めんせき 分 ぶん 成分 せいぶん 場 じょう 面積 めんせき 分 ぶん 定義 ていぎ 結果 けっか 例 たと 電荷 でんか 帯 お 曲面 きょくめん 発生 はっせい 電場 でんじょう 固定 こてい 点 てん 式 しき 物質 ぶっしつ 面 めん 発生 はっせい 重力 じゅうりょく 固定 こてい 点 てん 値 ね 表 あらわ 利用 りよう
あるいは、ベクトル場 じょう 法 ほう 成分 せいぶん 積分 せきぶん 結果 けっか S を通過 つうか 流 なが 流体 りゅうたい 考 かんが 点 てん x における流体 りゅうたい 速度 そくど v (x ) で与 あた 単位 たんい 時間 じかん 当 あ S を通過 つうか 流体 りゅうたい 量 りょう 流 ながれ 束 たば 定 さだ 考 かんが 場 じょう 各 かく 点 てん S に接 せっ 流体 りゅうたい S に平行 へいこう S に入 はい 出 で 流 りゅう 束 たば v が S に沿 そ 流 なが 接 せっ 成分 せいぶん 法 ほう 成分 せいぶん 持 も 流 ながれ 束 たば 寄与 きよ 法 ほう 成分 せいぶん 理由 りゆう 基 もと 流 ながれ 束 たば 求 もと 各 かく 点 てん 場 じょう v と曲面 きょくめん S の法 ほう 点 てん 乗 じょう 積 せき 取 と 必要 ひつよう 場 じょう 与 あた 場 じょう 面積 めんせき 分 ぶん 既 すで 述 の 仕方 しかた 計算 けいさん
式 しき
∫
S
v
⋅
d
S
:=
∫
S
(
v
⋅
n
)
d
S
=
∬
T
v
(
x
(
s
,
t
)
)
⋅
(
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
)
d
s
d
t
{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot d{\mathbf {S} }:=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt}
と書 か 右辺 うへん 積 せき 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表 あらわ S の法 ほう 場 じょう 式 しき 左辺 さへん 右辺 うへん 式 しき 定義 ていぎ 面 めん 素 もと 記法 きほう 注意 ちゅうい
曲面 きょくめん S 上 うえ 微分 びぶん 形式 けいしき
f
=
f
z
d
x
∧
d
y
+
f
x
d
y
∧
d
z
+
f
y
d
z
∧
d
x
{\displaystyle f=f_{z}\,dx\wedge dy+f_{x}\,dy\wedge dz+f_{y}\,dz\wedge dx}
が与 あた s , t ) が領域 りょういき D を動 うご
x
(
s
,
t
)
=
(
x
(
s
,
t
)
,
y
(
s
,
t
)
,
z
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}
が S の向 む 保 たも 媒介 ばいかい 表示 ひょうじ f の S 上 うえ 面積 めんせき 分 ぶん
∬
D
[
f
z
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
x
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
+
f
y
(
x
(
s
,
t
)
)
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
]
d
s
d
t
{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]ds\,dt}
で与 あた
∂
x
∂
s
×
∂
x
∂
t
=
(
∂
(
y
,
z
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
z
,
x
)
∂
(
s
,
t
)
,
∂
(
x
,
y
)
∂
(
s
,
t
)
)
{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}
は S に直交 ちょっこう 面 めん 素 そ
この 2-形式 けいしき 面積 めんせき 分 ぶん 成分 せいぶん f x f y f z 場 じょう 面積 めんせき 分 ぶん 同 おな 注意 ちゅうい
発散 はっさん 定理 ていり 一般 いっぱん 化 か ストークスの定理 ていり のような、面積 めんせき 分 ぶん 対 たい 有用 ゆうよう 結果 けっか 微分 びぶん 幾何 きか 学 がく ベクトル解析 かいせき を用 もち 様々 さまざま 得 え
面積 めんせき 分 ぶん 曲面 きょくめん S の媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 用 もち 定義 ていぎ 留意 りゅうい 与 あた 曲面 きょくめん 対 たい 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 考 かんが 球面 きゅうめん 上 じょう 北極 ほっきょく 南極 なんきょく 位置 いち 動 うご 球面 きゅうめん 上 じょう 各 かく 点 てん 経度 けいど 緯度 いど 伴 ともな 変 か 故 ゆえ 面積 めんせき 分 ぶん 定義 ていぎ 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 取 と 方 かた 依存 いぞん 考 かんが 自然 しぜん 疑問 ぎもん 場 じょう 積分 せきぶん 関 かん 答 こた 単純 たんじゅん 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 取 と 面積 めんせき 分 ぶん 値 ね 同一 どういつ
ベクトル場 じょう 面積 めんせき 分 ぶん 対 たい 法 ほう 絡 から 所為 せい 事態 じたい 少 すこ 複雑 ふくざつ 同 おな 曲面 きょくめん 二 ふた 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 曲面 きょくめん 各 かく 点 てん 同 おな 向 む 法 ほう 持 も 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 関 かん 面積 めんせき 分 ぶん 同 おな 値 ち 持 も 証明 しょうめい 法 ほう 互 たが 逆 ぎゃく 向 む 持 も 一方 いっぽう 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 関 かん 得 え 面積 めんせき 分 ぶん 値 ね 他方 たほう 関 かん 反 はん 数 かず 曲面 きょくめん 与 あた 一意的 いちいてき 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 区別 くべつ 必要 ひつよう 場 じょう 積分 せきぶん 進 すす 各 かく 点 てん 法線 ほうせん 方向 ほうこう 決 き 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 一貫 いっかん 法線 ほうせん 方向 ほうこう 持 も 選 えら
もう一 ひと 問題 もんだい 曲面 きょくめん 全体 ぜんたい 覆 おお 媒介 ばいかい 変数 へんすう 表示 ひょうじ 持 も 曲面 きょくめん 存在 そんざい 例 れい 高 たか 有限 ゆうげん 円柱 えんちゅう 表面 ひょうめん 側面 そくめん 上面 うわつら 底面 ていめん 与 あた 曲面 きょくめん 挙 あ 問題 もんだい 曲面 きょくめん 小片 しょうへん 分割 ぶんかつ 小片 しょうへん 面積 めんせき 分 ぶん 計算 けいさん 足 た 上 あ 解決 かいけつ 実際 じっさい 場 じょう 積分 せきぶん 分割 ぶんかつ 各 かく 小片 しょうへん 法 ほう 再 ふたた 一 ひと 曲面 きょくめん 戻 もど 方向 ほうこう 一貫 いっかん 性 せい 持 も 気 き 選 えら 必要 ひつよう 円柱 えんちゅう 例 れい 言 い 側面 そくめん 法 ほう 方向 ほうこう 立体 りったい 外 そと 向 む 取 と 上面 うわつら 底面 ていめん 同 おな 立体 りったい 外 そと 向 む 法 ほう 方向 ほうこう 取 と
そうすると次 つぎ 問題 もんだい 各 かく 点 てん 法 ほう 方向 ほうこう 曲面 きょくめん 全体 ぜんたい 一貫 いっかん 入 い 曲面 きょくめん 存在 そんざい 例 たと メビウスの帯 おび ）。そのような曲面 きょくめん 小片 しょうへん 分割 ぶんかつ 各 かく 小片 しょうへん 上 じょう 媒介 ばいかい 変数 へんすう 再度 さいど 貼 は 合 あ 別々 べつべつ 小片 しょうへん 由来 ゆらい 法 ほう 間 あいだ 辻褄 つじつま 合 あ 二 ふた 小片 しょうへん 間 あいだ 繋 つな 目 め 法 ほう 方向 ほうこう 反対 はんたい 曲面 きょくめん 向 む 付 づ 不能 ふのう 言 い 向 む 付 づ 不能 ふのう 曲面 きょくめん 上 うえ 場 じょう 積分 せきぶん 記述 きじゅつ
![{\displaystyle \left\vert {\dfrac {\partial S}{\partial u}}\times {\dfrac {\partial S}{\partial v}}\right\vert ^{2}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\[14pt]{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}^{2}=EG-F^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714c3e84567b338f03c96aabf09f1bb58c05c84f)
![{\displaystyle {\begin{cases}E:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial u}}\right)^{2}\\[14pt]F:={\dfrac {\partial x}{\partial u}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial y}{\partial u}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}+{\dfrac {\partial z}{\partial u}}{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]G:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9723752897da85e9b65ac98532aeeb6b0046250f)
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]ds\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e72a322f47bbe3a0ff781907eed9175864d429)
