LF空間くうかん

数学すうがくにおける LF-空間くうかん（エルエフくうかん、英えい: LF-space）は、ベクトル空間くうかんの一類いちるいで、一口ひとくちに言いえばシュヴァルツ超ちょう函数かんすうの構成こうせい法ほうを抽象ちゅうしょう化かするものである。LF-空間くうかんの名なは、それがフレシェ空間くうかんの増大ぞうだい列れつの合併がっぺい（正確せいかくには、狭義きょうぎの可算かさん帰納きのう極限きょくげんと呼よばれるもの）になっていることに由来ゆらいする (inductive Limit of F-space)。

定義ていぎ

LF-空間くうかんとは、局所きょくしょ凸とつ空間くうかん E であって、以下いかの性質せいしつを持もつフレシェ空間くうかんの列れつ (E_n) を持もつものを言いう。

1. E_n は単調たんちょう増大ぞうだい: 任意にんいの n ∈ N について E_n ⊂ E_n+1 が成なり立たつ。
2. 各かく n ∈ N に対たいして、E_n の位相いそうは E_n+1 からの部分ぶぶん空間くうかんの位相いそうである。
3. E は E_n すべての合併がっぺいに等ひとしい。
4. E の位相いそうは、任意にんいの包含ほうがん写像しゃぞう E_n ⊂ E を連続れんぞくにする最もっとも細こまかい局所きょくしょ凸とつ位相いそうである。

このような性質せいしつを満みたすフレシェ空間くうかん列れつ (E_n) を LF-空間くうかん E の定義ていぎ列れつと呼よぶ。特とくに定義ていぎ列れつの各項かくこうがバナハ空間くうかんである場合ばあいの LF-空間くうかんを LB-空間くうかんとも呼よぶ。

例れい

任意にんいのフレシェ空間くうかん E は、定値ていち列れつ E_n = E を定義ていぎ列れつとして、LF-空間くうかんである。

K-値ね有限ゆうげん列れつ全体ぜんたいの成なす数列すうれつ空間くうかん c₀₀ = c₀₀(K) は、(n + 1)-番目ばんめ以降いこうの全すべての項こうが 0 となるような数列すうれつ全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん空間くうかんを Kⁿ と同一どういつ視しするとき、Kⁿ を定義ていぎ列れつとする LF-空間くうかん、特とくに LB-空間くうかんを成なす。空間くうかん c₀₀ の位相いそうは、任意にんいの半はんノルムが位相いそうを定さだめる最もっとも細こまかい凸とつ位相いそうである。

シュヴァルツ超ちょう函数かんすう論ろんにおける構成こうせいを振ふり返かえると、コンパクト集合しゅうごう K ⊂ R^m と K に台だいを持もつ無限むげん回かい微分びぶん可能かのう函数かんすうの空間くうかん C^∞(K) に対たいし、開ひらき集合しゅうごう Ωおめが ⊂ R^m 上うえの試験しけん函数かんすうの空間くうかんは

${\mathcal {D}}(\Omega ):=\bigcup \{C^{\infty }(K);\;K\subset \Omega \}$

で与あたえられる。${\mathcal {D}}(\Omega )$ は任意にんいの包含ほうがん写像しゃぞう

$C^{\infty }(K)\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$

を連続れんぞくとする最もっとも細こまかい局所きょくしょ凸とつ位相いそうを持もつから、${\mathcal {D}}(\Omega )$ は LF-空間くうかんである。定義ていぎフレシェ空間くうかん列れつは、Ωおめが 内ないのコンパクト集合しゅうごう列れつ (K_n) で、各かく K_n が K_n+1 の内部ないぶに含ふくまれ、かつ K_n 全すべての合併がっぺいが Ωおめが を被覆ひふくするものに対たいする (C^∞(K_n)) で与あたえられる。ここで、${\mathcal {D}}(\Omega )$ の位相いそうが、コンパクト集合しゅうごう列れつの取とり方かたに依よらないことに注意ちゅうい。

性質せいしつ

有界ゆうかい性せい

LF-空間くうかん E における有界ゆうかい性せいは、E の定義ていぎ列れつを用もちいて次つぎのように述のべることができる：

• 集合しゅうごう B ⊂ E が有界ゆうかいであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、適当てきとうな自然しぜん数すう n ∈ N を選えらべば B ⊂ E_n かつ B が E_n において有界ゆうかいとできることである。

連続れんぞく性せい

LF-空間くうかん E から別べつの局所きょくしょ凸とつ空間くうかん F への線型せんけい作用素さようその連続れんぞく性せいは、E の定義ていぎ列れつ (E_n) によって次つぎのように特徴付とくちょうづけることができる：

線型せんけい作用素さようそ T: E → F が連続れんぞくとなるのは、任意にんいの制限せいげん

$T|_{E_{n}}\colon E_{n}\to F$

が全すべて連続れんぞくとなるときである。

完備かんび性せい

ケーテの減少げんしょう定理ていりにより、任意にんいの LF-空間くうかんは完備かんびである。

他たの空間くうかんとの関係かんけい

LF-空間くうかんは樽たる型がた、有界ゆうかい型がたかつ超ちょう有界ゆうかい型がたであり、ウェブを持もつ。故ゆえに、バナッハ空間くうかん論ろんでよく知しられた古典こてん的てきな三さん定理ていりは LF-空間くうかんに対たいして一般いっぱん化かすることができる。

バナハ・シュタインハウスの定理ていり（一様いちよう有界ゆうかい性せい原理げんり）

(T_{αあるふぁ})_{αあるふぁ∈I} を局所きょくしょ凸とつ空間くうかんの間あいだの連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ E → F の族ぞくで、E は LF-空間くうかんかつ集合しゅうごう {T_{αあるふぁ}(x); αあるふぁ ∈ I} が各かく x ∈ E に対たいして有界ゆうかいとすると、(T_{αあるふぁ})_{αあるふぁ∈I} は同どう程度ていど連続れんぞく、即すなわち各かく近傍きんぼう V ⊂ F に対たいして適当てきとうな近傍きんぼう U ⊂ E を選えらんで、T_{αあるふぁ}(U) ⊂ V が全すべての αあるふぁ ∈ I に対たいして成なり立たつようにできる。

開ひらけ写像しゃぞう定理ていり

LF-空間くうかんの間あいだの連続れんぞく線型せんけいな全ぜん射い T: E → F は開ひらけである。

閉グラフ定理ていり

LF-空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞう T: E → F はそのグラフが閉集合しゅうごうならば連続れんぞくである。

応用おうよう

シュヴァルツ超ちょう函数かんすう論ろんでは、開ひらき集合しゅうごう Ωおめが ⊂ R^m 上うえの超ちょう函数かんすうを、線型せんけい写像しゃぞう

$T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R}$

で、以下いかの連続れんぞく性せい条件じょうけん:

K ⊂ Ωおめが がコンパクトで、${\mathcal {D}}(\Omega )$ 内うちの K に台だいを持もつ函はこ数列すうれつ (f_n) が一様いちように f_n → 0 を満みたすならば、T(f_n) → 0 が成なり立たつ。

を満みたすものと定義ていぎする。この定義ていぎにおいて、この連続れんぞく性せい条件じょうけんが位相いそうに関かんする連続れんぞく性せいを表あらわしていることは、一見いっけんしてわかりよいものではない。実じつはこれに関かんしては、${\mathcal {D}}(\Omega )$ がボルノロジー空間くうかんゆえ、点てん列れつ連続れんぞく性せいを考かんがえれば十分じゅうぶんなのである。つまり、コンパクト集合しゅうごう K ⊂ Ωおめが について C^∞(K) 上じょうの T に対たいする制約せいやく条件じょうけんを与あたえることに他たならない。先さきに述のべた LF-空間くうかん上じょうの線型せんけい作用素さようその連続れんぞく性せいに対たいする性質せいしつから、実際じっさいに ${\mathcal {D}}(\Omega )$ の LF-空間くうかんとしての位相いそうに関かんする連続れんぞく性せいが導みちびかれる。

このようにして、LF-空間くうかん ${\mathcal {D}}(\Omega )$ 上うえの連続れんぞく線型せんけい汎ひろし函数かんすうとして定義ていぎされるシュヴァルツ超ちょう函数かんすうの概念的がいねんてき構造こうぞうが表あらわされる。

参考さんこう文献ぶんけん

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• Treves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, p. 126 ff . Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9