Trigonometrisko funkciju grafiki: sinuss , kosinuss , tangenss , kotangenss , sekanss , kosekanss
Trigonometriska funkcija ir jebkura no funkcijām sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x un cosec x , kur arguments x ir leņķis . Raksturīga šo funkciju īpašība ir to periodiskums.
Ne katra periodiska funkcija, kuras arguments ir leņķis, ir trigonometriska funkcija. Piemēram, funkcija
e
sin
x
+
cos
x
{\displaystyle e^{\sin x}+\cos x}
nav trigonometriska funkcija.
Vienības aplis ar kosinusa un sinusa vērtībām
Funkcija
Apzīmējums
Apraksts
Sakarības (izmantojot radiānus )
Sinuss
sin
pretkatete
hipoten
u
¯
za
{\displaystyle {\frac {\textrm {pretkatete}}{{\textrm {hipoten}}{\bar {\textrm {u}}}{\textrm {za}}}}}
sin
θ しーた
≡
cos
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
csc
θ しーた
{\displaystyle \sin \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}}
Kosinuss
cos
piekatete
hipoten
u
¯
za
{\displaystyle {\frac {\textrm {piekatete}}{{\textrm {hipoten}}{\bar {\textrm {u}}}{\textrm {za}}}}}
cos
θ しーた
≡
sin
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
sec
θ しーた
{\displaystyle \cos \theta \equiv \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\,}
Tangenss
tg
pretkatete
piekatete
{\displaystyle {\frac {\textrm {pretkatete}}{\textrm {piekatete}}}}
tg
θ しーた
≡
sin
θ しーた
cos
θ しーた
≡
cot
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
ctg
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \theta \equiv {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {ctg} \theta }}}
Kotangenss
ctg
piekatete
pretkatete
{\displaystyle {\frac {\textrm {piekatete}}{\textrm {pretkatete}}}}
ctg
θ しーた
≡
cos
θ しーた
sin
θ しーた
≡
tg
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
tg
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {ctg} \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\equiv \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {tg} \theta }}}
Sekanss
sec
hipoten
u
¯
za
piekatete
{\displaystyle {\frac {{\textrm {hipoten}}{\bar {\textrm {u}}}{\textrm {za}}}{\textrm {piekatete}}}}
sec
θ しーた
≡
csc
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
cos
θ しーた
{\displaystyle \sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}}
Kosekanss
cosec (vai csc)
hipoten
u
¯
za
pretkatete
{\displaystyle {\frac {{\textrm {hipoten}}{\bar {\textrm {u}}}{\textrm {za}}}{\textrm {pretkatete}}}}
csc
θ しーた
≡
sec
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
≡
1
sin
θ しーた
{\displaystyle \csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sin \theta }}}
Tā kā sinuss un kosinuss ir attiecīgi punkta ordināta un abscisa, kas atbilst leņķa α あるふぁ riņķim, tad, atbilstoši Pitagora teorēmai
sin
2
α あるふぁ
+
cos
2
α あるふぁ
=
1.
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\qquad \qquad \,}
Dalot šīs vienādības abas puses ar sinusa kvadrātu vai kosinusa kvadrātu, iegūstam:
1
+
t
g
2
α あるふぁ
=
1
cos
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle 1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},\qquad \qquad \,}
1
+
c
t
g
2
α あるふぁ
=
1
sin
2
α あるふぁ
.
{\displaystyle 1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.\qquad \qquad \,}
Sinuss un kosinuss ir nepārtrauktas funkcijas, bet tangensam, kotangensam, sekansam un kosekansam ir pārtraukuma punkti
±
π ぱい
2
,
±
π ぱい
,
±
3
π ぱい
2
,
…
{\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}},\;\pm \pi ,\;\pm {\frac {3\pi }{2}},\;\dots }
kotangenss un kosekanss —
0
,
±
π ぱい
,
±
2
π ぱい
,
…
{\displaystyle 0,\;\pm \pi ,\;\pm 2\pi ,\;\dots }
Kosinuss un sekanss ir funkcijas, kurām ir simetrija attiecībā uz funkcijas zīmes maiņu. Pārējām četrām funkcijām tādas īpašības nav, t.i.:
sin
(
−
α あるふぁ
)
=
−
sin
α あるふぁ
,
{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
cos
(
−
α あるふぁ
)
=
cos
α あるふぁ
,
{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
t
g
(
−
α あるふぁ
)
=
−
t
g
α あるふぁ
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
c
t
g
(
−
α あるふぁ
)
=
−
c
t
g
α あるふぁ
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
sec
(
−
α あるふぁ
)
=
sec
α あるふぁ
,
{\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
c
o
s
e
c
(
−
α あるふぁ
)
=
−
c
o
s
e
c
α あるふぁ
.
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}
Funkcijas
y
=
sin
α あるふぁ
{\displaystyle y=\sin \alpha }
,
y
=
cos
α あるふぁ
{\displaystyle y=\cos \alpha }
,
y
=
sec
α あるふぁ
{\displaystyle y=\sec \alpha }
un
y
=
csc
α あるふぁ
{\displaystyle y=\csc \alpha }
ir periodiskas funkcijas ar periodu
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
. Savukārt, funkcijas
y
=
tan
α あるふぁ
{\displaystyle y=\tan \alpha }
un
y
=
cot
α あるふぁ
{\displaystyle y=\cot \alpha }
ir periodiskas ar periodu
π ぱい
{\displaystyle \pi }
Summas trigonometriskās funkcijas nozīme un divu leņķu starpība:
sin
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
=
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
±
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,}
cos
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
=
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
∓
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
,
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,}
tg
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
=
tg
α あるふぁ
±
tg
β べーた
1
∓
tg
α あるふぁ
tg
β べーた
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},}
ctg
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
=
ctg
α あるふぁ
ctg
β べーた
∓
1
ctg
β べーた
±
ctg
α あるふぁ
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.}
Līdzīgas formulas trim leņķiem:
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
=
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
+
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
cos
γ がんま
+
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
sin
γ がんま
−
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
,
{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
=
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
−
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
cos
γ がんま
−
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
sin
γ がんま
−
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
.
{\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}
Divkārša leņķa formulas:
sin
2
α あるふぁ
=
2
sin
α あるふぁ
cos
α あるふぁ
=
2
tg
α あるふぁ
1
+
tg
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},}
cos
2
α あるふぁ
=
cos
2
α あるふぁ
−
sin
2
α あるふぁ
=
2
cos
2
α あるふぁ
−
1
=
1
−
2
sin
2
α あるふぁ
=
1
−
tg
2
α あるふぁ
1
+
tg
2
α あるふぁ
=
ctg
α あるふぁ
−
tg
α あるふぁ
ctg
α あるふぁ
+
tg
α あるふぁ
,
{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},}
tg
2
α あるふぁ
=
2
tg
α あるふぁ
1
−
tg
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},}
ctg
2
α あるふぁ
=
ctg
2
α あるふぁ
−
1
2
ctg
α あるふぁ
=
1
2
(
ctg
α あるふぁ
−
tg
α あるふぁ
)
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha \right).}
Trīskārša leņķa formulas:
sin
3
α あるふぁ
=
3
sin
α あるふぁ
−
4
sin
3
α あるふぁ
,
{\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}
cos
3
α あるふぁ
=
4
cos
3
α あるふぁ
−
3
cos
α あるふぁ
,
{\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}
tg
3
α あるふぁ
=
3
tg
α あるふぁ
−
tg
3
α あるふぁ
1
−
3
tg
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
ctg
3
α あるふぁ
=
ctg
3
α あるふぁ
−
3
ctg
α あるふぁ
3
ctg
2
α あるふぁ
−
1
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.}
Citas leņķu daudzkārtņu formulas:
sin
4
α あるふぁ
=
cos
α あるふぁ
(
4
sin
α あるふぁ
−
8
sin
3
α あるふぁ
)
,
{\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}
cos
4
α あるふぁ
=
8
cos
4
α あるふぁ
−
8
cos
2
α あるふぁ
+
1
,
{\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}
tg
4
α あるふぁ
=
4
tg
α あるふぁ
−
4
tg
3
α あるふぁ
1
−
6
tg
2
α あるふぁ
+
tg
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
ctg
4
α あるふぁ
=
ctg
4
α あるふぁ
−
6
ctg
2
α あるふぁ
+
1
4
ctg
3
α あるふぁ
−
4
ctg
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
sin
5
α あるふぁ
=
16
sin
5
α あるふぁ
−
20
sin
3
α あるふぁ
+
5
sin
α あるふぁ
{\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha }
cos
5
α あるふぁ
=
16
cos
5
α あるふぁ
−
20
cos
3
α あるふぁ
+
5
cos
α あるふぁ
{\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha }
tg
5
α あるふぁ
=
tg
α あるふぁ
tg
4
α あるふぁ
−
10
tg
2
α あるふぁ
+
5
5
tg
4
α あるふぁ
−
10
tg
2
α あるふぁ
+
1
{\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}}}
sin
(
n
α あるふぁ
)
=
2
n
−
1
∏
k
=
0
n
−
1
sin
(
α あるふぁ
+
π ぱい
k
n
)
{\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}
Pusleņķa formulas:
sin
α あるふぁ
2
=
1
−
cos
α あるふぁ
2
,
0
⩽
α あるふぁ
⩽
2
π ぱい
,
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}
cos
α あるふぁ
2
=
1
+
cos
α あるふぁ
2
,
−
π ぱい
⩽
α あるふぁ
⩽
π ぱい
,
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}
tg
α あるふぁ
2
=
1
−
cos
α あるふぁ
sin
α あるふぁ
=
sin
α あるふぁ
1
+
cos
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}
ctg
α あるふぁ
2
=
sin
α あるふぁ
1
−
cos
α あるふぁ
=
1
+
cos
α あるふぁ
sin
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}
tg
α あるふぁ
2
=
1
−
cos
α あるふぁ
1
+
cos
α あるふぁ
,
0
⩽
α あるふぁ
<
π ぱい
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}
ctg
α あるふぁ
2
=
1
+
cos
α あるふぁ
1
−
cos
α あるふぁ
,
0
<
α あるふぁ
⩽
π ぱい
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}
Formulas divu leņķu reizināšanai:
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
=
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
−
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
=
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
+
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
2
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
=
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
+
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
2
,
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
tg
α あるふぁ
tg
β べーた
=
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
−
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
+
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}
tg
α あるふぁ
ctg
β べーた
=
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
+
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
−
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}
ctg
α あるふぁ
ctg
β べーた
=
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
+
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
−
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}
Līdzīgas formulas triju leņķu sinusu un kosinusu reizināšanai:
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
=
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
−
γ がんま
)
+
sin
(
β べーた
+
γ がんま
−
α あるふぁ
)
+
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
+
γ がんま
)
−
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
cos
γ がんま
=
−
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
−
γ がんま
)
+
cos
(
β べーた
+
γ がんま
−
α あるふぁ
)
+
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
+
γ がんま
)
−
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
=
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
−
γ がんま
)
−
sin
(
β べーた
+
γ がんま
−
α あるふぁ
)
+
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
+
γ がんま
)
−
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
4
,
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
=
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
−
γ がんま
)
+
cos
(
β べーた
+
γ がんま
−
α あるふぁ
)
+
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
+
γ がんま
)
+
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
)
4
.
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}
Attiecīgās formulas triju leņķu tangensiem un kotangensiem var iegūt, izdalot augstāk minēto vienādojumu labās puses ar kreisajām.
sin
2
α あるふぁ
=
1
−
cos
2
α あるふぁ
2
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},}
tg
2
α あるふぁ
=
1
−
cos
2
α あるふぁ
1
+
cos
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},}
cos
2
α あるふぁ
=
1
+
cos
2
α あるふぁ
2
,
{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},}
ctg
2
α あるふぁ
=
1
+
cos
2
α あるふぁ
1
−
cos
2
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},}
sin
3
α あるふぁ
=
3
sin
α あるふぁ
−
sin
3
α あるふぁ
4
,
{\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},}
tg
3
α あるふぁ
=
3
sin
α あるふぁ
−
sin
3
α あるふぁ
3
cos
α あるふぁ
+
cos
3
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},}
cos
3
α あるふぁ
=
3
cos
α あるふぁ
+
cos
3
α あるふぁ
4
,
{\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},}
ctg
3
α あるふぁ
=
3
cos
α あるふぁ
+
cos
3
α あるふぁ
3
sin
α あるふぁ
−
sin
3
α あるふぁ
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},}
sin
4
α あるふぁ
=
cos
4
α あるふぁ
−
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
8
,
{\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
tg
4
α あるふぁ
=
cos
4
α あるふぁ
−
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
cos
4
α あるふぁ
+
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
,
{\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},}
cos
4
α あるふぁ
=
cos
4
α あるふぁ
+
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
8
,
{\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},}
ctg
4
α あるふぁ
=
cos
4
α あるふぁ
+
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
cos
4
α あるふぁ
−
4
cos
2
α あるふぁ
+
3
.
{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.}
sin
α あるふぁ
±
sin
β べーた
=
2
sin
α あるふぁ
±
β べーた
2
cos
α あるふぁ
∓
β べーた
2
{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
=
2
cos
α あるふぁ
+
β べーた
2
cos
α あるふぁ
−
β べーた
2
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
cos
α あるふぁ
−
cos
β べーた
=
−
2
sin
α あるふぁ
+
β べーた
2
sin
α あるふぁ
−
β べーた
2
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
tg
α あるふぁ
±
tg
β べーた
=
sin
(
α あるふぁ
±
β べーた
)
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
1
±
sin
2
α あるふぁ
=
(
sin
α あるふぁ
±
cos
α あるふぁ
)
2
.
{\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.}
Funkcijām ar argumentu
x
{\displaystyle x}
ir vienādojums:
A
sin
x
+
B
cos
x
=
A
2
+
B
2
sin
(
x
+
ϕ
)
,
{\displaystyle A\sin x+B\cos x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}
kur leņķi
ϕ
{\displaystyle \phi }
atrod pēc formulas:
sin
ϕ
=
B
A
2
+
B
2
,
cos
ϕ
=
A
A
2
+
B
2
.
{\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
Jebkuru trigonometrisko funkciju var izteikt kā pusleņķa tangensu.
sin
x
=
sin
x
1
=
2
sin
x
2
cos
x
2
sin
2
x
2
+
cos
2
x
2
=
2
tg
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cos
x
=
cos
x
1
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
−
tg
2
x
2
1
+
tg
2
x
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
tg
x
=
sin
x
cos
x
=
2
tg
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
=
1
−
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
sec
x
=
1
cos
x
=
1
+
tg
2
x
2
1
−
tg
2
x
2
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cosec
x
=
1
sin
x
=
1
+
tg
2
x
2
2
tg
x
2
{\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha \,\!}
0° (0 rad )
30° (π ぱい /6)
45° (π ぱい /4)
60° (π ぱい /3)
90° (π ぱい /2)
180° (π ぱい )
270° (3π ぱい /2)
360° (2π ぱい )
sin
α あるふぁ
{\displaystyle \sin \alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
cos
α あるふぁ
{\displaystyle \cos \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
t
g
α あるふぁ
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
0
{\displaystyle {0}\,\!}
c
t
g
α あるふぁ
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\!}
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
0
{\displaystyle {0}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
sec
α あるふぁ
{\displaystyle \sec \alpha \,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
{\displaystyle {2}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
1
{\displaystyle {1}\,\!}
cosec
α あるふぁ
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha \,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
2
{\displaystyle {2}\,\!}
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}
2
3
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\!}
1
{\displaystyle {1}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
−
1
{\displaystyle {-1}\,\!}
∞
{\displaystyle \infty }
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha \,}
π ぱい
12
=
15
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}
π ぱい
10
=
18
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}
π ぱい
8
=
22
,
5
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22,5^{\circ }}
π ぱい
5
=
36
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}
3
π ぱい
10
=
54
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}
3
π ぱい
8
=
67
,
5
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67,5^{\circ }}
2
π ぱい
5
=
72
∘
{\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}
sin
α あるふぁ
{\displaystyle \sin \alpha \,}
3
−
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
cos
α あるふぁ
{\displaystyle \cos \alpha \,}
3
+
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
tg
α あるふぁ
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
ctg
α あるふぁ
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
tg
π ぱい
120
=
tg
1
,
5
∘
=
8
−
2
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
−
2
(
2
+
3
)
(
5
+
5
)
8
+
2
(
2
−
3
)
(
3
−
5
)
+
2
(
2
+
3
)
(
5
+
5
)
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1,5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}}}
cos
π ぱい
240
=
1
16
(
2
−
k
(
2
(
5
+
5
)
+
3
−
15
)
+
2
+
k
(
6
(
5
+
5
)
+
5
−
1
)
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{240}}={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-k}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)+{\sqrt {2+k}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right)}
, kur
k
=
2
+
2
{\displaystyle k={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
.
cos
π ぱい
17
=
1
8
2
(
2
17
k
2
−
k
2
−
4
2
(
17
+
17
)
+
3
17
+
17
+
2
k
+
17
+
15
)
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{17}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {{\sqrt {\frac {17k}{2}}}-{\sqrt {\frac {k}{2}}}-4{\sqrt {2(17+{\sqrt {17}})}}+3{\sqrt {17}}+17}}+{\sqrt {2k}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}}
, kur
k
=
17
−
17
{\displaystyle k=17-{\sqrt {17}}}
θ しーた grādos
θ しーた radiānos
sin θ しーた
cos θ しーた
tan θ しーた
0
0
0.0
1.0
0.0
1
0.017453293
0.01745240
0.9998477
0.017455065
2
0.034906585
0.034899497
0.99939083
0.034920769
3
0.052359878
0.052335956
0.99862953
0.052407779
4
0.06981317
0.069756474
0.99756405
0.069926812
5
0.087266463
0.087155743
0.9961947
0.087488664
6
0.10471976
0.10452846
0.9945219
0.10510424
7
0.12217305
0.12186934
0.99254615
0.12278456
8
0.13962634
0.1391731
0.99026807
0.14054083
9
0.15707963
0.15643447
0.98768834
0.15838444
10
0.17453293
0.17364818
0.98480775
0.17632698
11
0.19198622
0.190809
0.98162718
0.19438031
12
0.20943951
0.20791169
0.9781476
0.21255656
13
0.2268928
0.22495105
0.97437006
0.23086819
14
0.2443461
0.2419219
0.97029573
0.249328
15
0.26179939
0.25881905
0.96592583
0.26794919
16
0.27925268
0.27563736
0.9612617
0.28674539
17
0.29670597
0.2923717
0.95630476
0.30573068
18
0.31415927
0.30901699
0.95105652
0.3249197
19
0.33161256
0.32556815
0.94551858
0.34432761
20
0.34906585
0.34202014
0.93969262
0.36397023
21
0.36651914
0.35836795
0.93358043
0.38386404
22
0.38397244
0.37460659
0.92718385
0.40402623
23
0.40142573
0.39073113
0.92050485
0.42447482
24
0.41887902
0.40673664
0.91354546
0.44522869
25
0.43633231
0.42261826
0.90630779
0.46630766
26
0.45378561
0.43837115
0.89879405
0.48773259
27
0.4712389
0.4539905
0.89100652
0.50952545
28
0.48869219
0.46947156
0.88294759
0.53170943
29
0.50614548
0.48480962
0.87461971
0.55430905
30
0.52359878
0.5
0.8660254
0.57735027
31
0.54105207
0.51503807
0.8571673
0.60086062
32
0.55850536
0.52991926
0.8480481
0.62486935
33
0.57595865
0.54463904
0.83867057
0.64940759
34
0.59341195
0.5591929
0.82903757
0.67450852
35
0.61086524
0.57357644
0.81915204
0.70020754
36
0.62831853
0.58778525
0.80901699
0.72654253
37
0.64577182
0.60181502
0.79863551
0.75355405
38
0.66322512
0.61566148
0.78801075
0.78128563
39
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∞