Lemniscată polinomială
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Cyc7.png/280px-Cyc7.png)
În matematică, o lemniscată polinomială sau curbă de nivel polinomială este o curbă algebrică(d) plană de gradul 2n, construită dintr-un polinom p cu coeficienți complecși de grad n.
Pentru orice astfel de polinom p și număr real pozitiv c, se poate defini un set de numere complexe prin Această mulțime de numere poate fi echivalată cu puncte din planul cartezian real, conducând la o curbă algebrică ƒ(x, y) = c2 de gradul 2n, care rezultă din dezvoltarea în termeni de
Când p este un polinom de gradul 1, atunci curba rezultată este un cerc al cărui centru este zeroul lui p. Când p este un polinom de gradul 2, atunci curba este un oval Cassini(d).
Lemniscata Erdős
[modificare | modificare sursă]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Erdos5.png/280px-Erdos5.png)
O conjectură a lui Paul Erdős care a suscitat un interes considerabil se referă la lungimea maximă a unei lemniscate polinomiale ƒ(x, y) = 1 de gradul 2n când p este monic, despre care Erdős a presupus că a fost atins când p(z) = zn − 1. Acest lucru încă nu este demonstrat, dar Alexander Fryntov și Fedor Nazarov au demonstrat că p are un maxim local.[1] În cazul în care n = 2, lemniscata Erdős devine lemniscata lui Bernoulli
și s-a demonstrat că aceasta este într-adevăr lungimea maximă pentru gradul 4. Lemniscata Erdős are trei singularități, dintre care una este în origine, și genul (n − 1)(n − 2)/2. Prin inversarea(d) lemniscatei Erdős în cercul unitate, se obține o curbă nesingulară de grad n.
Lemniscata polinomială generică
[modificare | modificare sursă]În general, o lemniscată polinomială nu se va atinge în origine și va avea doar două singularități ordinare, deci genul (n − 1)2. Ca o curbă reală, poate avea un număr de componente neconexe. Prin urmare, nu va arăta ca o lemniscată, ceea ce face ca numele să fie o denumire greșită.
Un exemplu interesant de astfel de lemniscate polinomiale sunt curbele Mandelbrot. Dacă se face și atunci lemniscatele polinomiale corespunzătoare Mn definite de converg către frontiera mulțimii lui Mandelbrot.[2] Curbele Mandelbrot sunt de gradul 2n+1.[3]
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ en Fryntov, Alexander; Nazarov, Fedor (). „New estimates for the length of the Erdos-Herzog-Piranian lemniscate”. Linear and Complex Analysis. 226: 49–60. arXiv:0808.0717
. Bibcode:2008arXiv0808.0717F.
- ^ en The Mandelbrot Curves, desmos.com, accesat 2023-06-10
- ^ en Ivancevic, Vladimir G.; Ivancevic, Tijana T. (), High-Dimensional Chaotic and Attractor Systems: A Comprehensive Introduction, Springer, p. 492, ISBN 9781402054563