否定ひてい證明しょうめい

否定ひてい證明しょうめい（粵拼：Fau² ding⁶ zing³ ming⁴；英文えいぶん：Proof by negation，又また或ある者もの Proof by contrapositive）係がかり數學すうがく入いれ面めん其中一いち個こ證明しょうめい方法ほうほう。佢同矛盾むじゅん證明しょうめい好こう似に，不ふ過か係かかり兩個りゃんこ唔同嘅概念がいねん。根據こんきょ邏輯，「$A\implies B$」係かかり等とう於「${\text{not }}B\implies {\text{not }}A$」。呢個就係否定ひてい證明しょうめい嘅核心こころ概念がいねん。

否定ひてい句く

一般數學句子都會有佢嘅相反，但ただし係かかり咩係一句句子嘅完全相反，就需要用ようよう到いた邏輯學がく幫手。

定義ていぎ

一句いっく句く子こ「$A\implies B$」嘅否定ひてい（Contrapositive）係がかり「${\text{not }}B\implies {\text{not }}A$」。

例れい子こ

• 「我わが阿媽あま係がかり女人にょにん。」嘅否定ひてい係がかり「唔係女人にょにん嘅就一定いってい唔係我わが阿媽あま。」
• 「我わが食しょく飯めし，就會飽。」嘅否定ひてい係がかり「我わが唔飽，即そく係がかり我わが冇食飯めし。」

理論りろん

證明しょうめい出で「${\text{not }}B\implies {\text{not }}A$」，即そく係がかり證明しょうめい出で「$A\implies B$」。

證明しょうめい例れい子こ

證明しょうめい「假設かせつ $x^{2}$ 係かかり雙そう數すう，$x$ 都會とかい係がかり雙そう數すう。」

證明しょうめい：

否定ひてい句く：「如果 $x$ 唔係雙そう數すう，咁 $x^{2}$ 都と唔係雙そう數すう。」

換かわ句く話はなし講こう，即そく係がかり「如果 $x$ 係かかり單數たんすう，咁 $x^{2}$ 都と係がかり單數たんすう。」

因よし為ため $x$ 係かかり單數たんすう，所以ゆえん $x=2k+1,k\in \mathbb {Z}$ 係かかり個こ整數せいすう。

$x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1$

因よし為ため $2k^{2}+2k$ 係かかり個こ整數せいすう，所以ゆえん $x^{2}$ 係かかり單數たんすう。

集合しゅうごう論ろん例れい子こ

如果 $A,B,C,D$ 都と係がかり集しゅう（Set），而佢哋符合ふごう $C\backslash D\subset A\cap B$ 同どう埋うめ $x\in C$。證明しょうめい如果 $x\notin A$，咁就 $x\in D$。

證明しょうめい：

如果用よう直接ちょくせつ證明しょうめい，會かい好こう撈絞。

如果利用りよう否定ひてい證明しょうめい，即そく係がかり假設かせつ $x\notin D$。

因いん為ため本身ほんみ $x\in C$，而 $C\backslash D\subset A\cap B$，所以ゆえん $x\in A\cap B$。

咁 $x\in A$ 一定いってい成立せいりつ。

反證はんしょう法ほう同どう否定ひてい證明しょうめい嘅分別べつ

反證はんしょう法ほう就係：假設かせつ $A$ 啱，$A\implies B$，又また發現はつげん $B$ 唔啱。於是乎證明しょうめい到いた $A$ 唔啱。

否定ひてい證明しょうめい就係：證明しょうめい到いた $A\implies B$ 啱。於是乎證明しょうめい到いた ${\text{not }}B\implies {\text{not }}A$ 啱。

更さら多た例れい子こ

以下いか命題めいだい都と係がかり用よう否定ひてい證明しょうめい證しょう出で嚟：

• 假設かせつ $x,y\in \mathbb {N}$ 都と係がかり自然しぜん數すう。如果 $xy$ 係かかり單數たんすう，咁 $x$ 同どう $y$ 都と係がかり單數たんすう。
• 假設かせつ $x,y\in \mathbb {R}$ 都と係がかり實數じっすう。如果 $x+y$ 係かかり無理むり數すう，咁 $x$ 或ある者もの $y$ 係かかり無理むり數すう。

睇埋

• 直接ちょくせつ證明しょうめい
• 分類ぶんるい證明しょうめい
• 數學すうがく歸納きのう法ほう
• 反證はんしょう法ほう

參考さんこう

• Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, present and future, 173-204.