靜せい不定ふてい

在ざい靜せい力學りきがく裏うら，當とう一個靜態系統中能寫出的所有靜しずか力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき的てき數量すうりょう少しょう於系統けいとう所有しょゆう的てき未知みち變量へんりょう（應力おうりょく或ある力ちから矩のり等とう）時じ，則のり稱しょう此系統けいとう為ため靜せい不定ふてい的てき。此時由よし於靜力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき不足ふそく以求得とく系統けいとう中ちゅう所有しょゆう的てき未知みち變量へんりょう，系統けいとう處しょ於靜態せいたい卻並不ふ確定かくてい，故こ名な為ため靜せい不定ふてい；但ただし实际上うえ系けい统未知みち变量数すう与あずか约束条件じょうけん数すう相等そうとう，可か以认为多出で的てき这些条件じょうけん使し得とく原本げんぽん静せい定じょう的てき系けい统处于超稳定的てき状じょう态，故こ也可称たたえ為ため超ちょう静せい定じょう；稱たたえ整せい個こ系統けいとう為ため靜せい不定ふてい系統けいとう；無法むほう求もとめ得とく的てき變量へんりょう為ため靜せい不定ふてい量りょう。

根據こんきょ牛うし頓ひたぶる運動うんどう定律ていりつ，在ざい一いち個こ二に維空間あいだ問題もんだい中ちゅう，靜せい力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき為ため

• $\sum {\vec {F}}=0\,\!$ ：作用さよう在ざい物體ぶったい上じょう的てき力りょく的てき向むかい量りょう總和そうわ等とう於零；也就是ぜ說せつ

$\sum F_{x}=0\,\!$ ：作用さよう力りょく之の水平すいへい分量ぶんりょう的てき總和そうわ等とう於零，

$\sum F_{y}=0\,\!$ ：作用さよう力りょく之の垂直すいちょく分量ぶんりょう的てき總和そうわ等とう於零，

• $\sum {\vec {M}}=0\,\!$ ：對たい任意にんい一いち點てん的てき力ちから矩のり總和そうわ等とう於零。

圖ず 1 ，一いち個こ靜せい不定ふてい的てき樑的てき自由じゆう體たい受力圖ず

舉例而言，如圖右みぎ，作用さよう在ざい樑上的てき力りょく ${\vec {F}}\,\!$ ，造成ぞうせい了りょう四よん隻せき反應はんのう力りょく為ため $V_{A},\ V_{B},\ V_{C},\ H_{A}\,\!$ 。靜せい力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき為ため

$\sum F_{x}=0$ ：

$H_{A}-F_{H}=0\,\!$ ，

$\sum F_{y}=0\,\!$ ：

$V_{A}-F_{V}+V_{B}+V_{C}=0\,\!$ ，

$\sum {\vec {M}}=0\,\!$ ：

$F_{V}\cdot a-V_{B}\cdot (a+b)-V_{C}\cdot (a+b+c)=0\,\!$ 。

這問題もんだい有ゆう四よん隻せき力りょく是ぜ未知數みちすう（變數へんすう） ($V_{A},\ V_{B},\ V_{C},\ H_{A}\,\!$) 。但ただし是ぜ，只ただ有ゆう三さん個こ靜せい力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき，所以ゆえん目前もくぜん我わが們無法ほう求もとめ解かい這個靜せい不定ふてい系統けいとう。為ため了りょう確定かくてい系統けいとう中ちゅう所有しょゆう的てき變量へんりょう，我わが們必須ひっす加入かにゅう物體ぶったい材料ざいりょう與あずか形かたち變へん的てき考量こうりょう。

靜しずか定てい系統けいとう

如果，除去じょきょ這樑在ざい B 點てん的てき支ささえ撐 ，就沒有ゆう $V_{B}\,\!$ 反應はんのう力りょく，整せい個こ系統けいとう成なり為ため靜せい定じょう的てき。則のり解答かいとう為ため

$H_{A}=F_{H}\,\!$ ，

$V_{C}={\frac {F_{v}\cdot a}{a+b+c}}\,\!$ ，

$V_{A}=F_{v}-V_{C}\,\!$ 。

如果，我わが們將 A 點てん的てき支ささえ撐改為ため滾たぎ子こ。那な麼，只ただ剩あま下しも三隻反應力作用在這樑上（沒ぼつ有ゆう $H_{A}\,\!$ ）。但ただし是ぜ，這樑現在げんざい可か以作水平すいへい移動いどう；這系統けいとう變へん為ため偏へん約束やくそく的てき。進一しんいち步ふ研究けんきゅう，這問題もんだい有ゆう兩個りゃんこ未知數みちすう，$V_{A}\,\!$ 與あずか $V_{C}\,\!$。我わが們可以用 $\sum F_{y}=0\,\!$ 與あずか $\sum {\vec {M}}=0\,$ 這兩個りゃんこ方程式ほうていしき來らい求もとめ解答かいとう。得え到いた的てき答案とうあん與あずか前ぜん面相めんそう同どう。可か是ぜ，除じょ非ひ $F_{H}=0\,\!$ ，方程式ほうていしき $\sum F_{x}=0\,\!$ 無む法被はっぴ滿足まんぞく。

靜せい不定ふてい度ど

圖ず 2 ，一いち個こ3度ど靜せい定てい系統けいとう。

圖ず 3 ，一個靜定穩定系統。

一いち個こ系統けいとう的てき靜せい不定ふてい度ど表示ひょうじ的てき是ぜ系統けいとう中ちゅう未知みち量りょう多た出で系統けいとう靜せい力りょく方程式ほうていしき的てき數量すうりょう，靜せい不定ふてい度ど越こし大まさる，表示ひょうじ系統けいとう“超ちょう穩定”的てき程度ていど越えつ高だか。靜せい不定ふてい度ど$h\,\!$的てき符號ふごう有ゆう三さん種しゅ形式けいしき：

• h < 0, 此時系統けいとう是ぜ不ふ平衡へいこう的てき。
• h = 0, 此時系統けいとう是ぜ靜せい定じょう的てき。
• h > 0, 此時系統けいとう是ぜ靜せい不定ふてい的てき。

一いち個こ系統けいとう的てき靜せい不定ふてい度ど的まと表ひょう達たち式しき是ぜ $M-N\,\!$。這裏，

• $M\,\!$ 是ぜ系統けいとう所有しょゆう未知みち變量へんりょう的てき數量すうりょう。
• $N\,\!$ 是ぜ系統けいとう能のう夠寫出で的てき所有しょゆう靜せい力りょく平衡へいこう方程式ほうていしき的てき數量すうりょう。

計算けいさん靜せい不定ふてい度ど的てき方法ほうほう主要しゅよう有ゆう計數けいすう法ほう和重かずえ構法。計數けいすう法ほう方便ほうべん快かい捷とし；重じゅう構法則ほうそく可か以更深刻しんこく地ち理解りかい系統けいとう的てき內在構成こうせい。下面かめん詳細しょうさい解釋かいしゃく計數けいすう法ほう。

計數けいすう法ほう：

這裡主要しゅよう處理しょり二に維問題もんだい。 對たい於一いち個こ二に維桁架か，首しゅ先さき需要じゅよう數すう出で其桿或ある部ぶ件數けんすう$p\,\!$。 其次計けい算出さんしゅつ能のう寫うつし出で的てき所有しょゆう靜せい力りょく方程式ほうていしき數すう目もく。對たい於一いち個こ靜態せいたい物體ぶったい，其滿足まんぞく三さん條じょう靜せい力りょく方程式ほうていしき：水平すいへい受力平衡へいこう，垂直すいちょく受力平衡へいこう和わ力りょく矩のり平衡へいこう。所以ゆえん可か以寫出で $N=3*p$

最後さいご要求ようきゅう出で系統けいとう所有しょゆう未知みち量りょう，或ある者もの說せつ約束やくそく條件じょうけん的てき個數こすう$M\,\!$。約束やくそく條件じょうけん分ぶん為ため外そと約束やくそく條件じょうけん$m\,\!$和わ內約束やくそく條件じょうけん$n\,\!$；外がい約束やくそく條件じょうけん指ゆび的てき是ぜ因いん與あずか外界がいかい，如地面めん，基き座ざ等とう連結れんけつ而出現しゅつげん的てき約束やくそく條件じょうけん；相反あいはん地ち，內約束やくそく條件じょうけん是ぜ指ゆび因いん系統けいとう內部的てき連結れんけつ而出現しゅつげん的てき約束やくそく條件じょうけん。對たい於與外部がいぶ的てき連結れんけつ，我わが們區分くぶん三さん種しゅ情況じょうきょう：

• 固定こてい節ぶし：在ざい平面へいめん中ちゅう禁止きんし所有しょゆう的てき三さん個こ活動かつどう方式ほうしき：平面へいめん和わ水平すいへい的てき移動いどう以及旋轉せんてん。故こ有ゆう三さん個こ約束やくそく條件じょうけん，對應たいおう的てき三個未知量為水平和垂直的受力以及力矩。
• 球形きゅうけい鉸：在ざい平面へいめん中ちゅう固定こてい了りょう水すい平和へいわ垂直すいちょく方かた向上こうじょう的てき移動いどう，只ただ允許いんきょ旋轉せんてん，故こ有ゆう兩個りゃんこ約束やくそく條件じょうけん，其對應おう的てき未知みち量りょう為ため兩個りゃんこ方かた向上こうじょう的てき應力おうりょく。
• 平面へいめん撐：在ざい平面へいめん中ちゅう只ただ禁止きんし垂直すいちょく支ささえ撐面方かた向上こうじょう的てき移動いどう，允許いんきょ順じゅん著ちょ該支撐面的てき移動いどう和わ旋轉せんてん。故こ只ただ有ゆう一いち個こ約束やくそく條件じょうけん，對應たいおう垂直すいちょく該支撐面的てき移動いどう。

把わ所有しょゆう外部がいぶ連結れんけつ所しょ形成けいせい的てき約束やくそく條件じょうけん相しょう加か，便びん可か得え到いた外そと約束やくそく條件じょうけん數かず$m\,\!$。 現在げんざい把わ所有しょゆう外部がいぶ連結れんけつ去さ除じょ，孤立こりつ內部的てき系統けいとう。對たい於內部ぶ的てき連結れんけつ我わが們區分くぶん兩りょう種たね情況じょうきょう：

• 鉸鏈：只ただ允許いんきょ圍繞いじょう其軸的てき轉てん動どう，禁止きんし水すい平和へいわ垂直すいちょく的てき移動いどう。連帶れんたい的てき約束やくそく條件じょうけん數すう為ため2乘じょう連結れんけつ與あずか該點的てき桿或部ぶ件けん的てき數量すうりょう減げん一いち。
• 固定こてい節ぶし：禁止きんし平面へいめん內三さん種しゅ方式ほうしき的てき活動かつどう。連帶れんたい的てき約束やくそく條件じょうけん數すう為ため3乘じょう連結れんけつ與あずか該點的てき桿或部ぶ件けん的てき數量すうりょう減げん一いち。

把わ所有しょゆう內部連結れんけつ形成けいせい的てき約束やくそく條件じょうけん相しょう加か，便びん可か得え到いた內約束やくそく條件じょうけん數かず$n\,\!$。

於是就能算出さんしゅつ該系統けいとう的てき靜せい不定ふてい度ど為ため $h=M-N=m+n-N$。

方法ほうほう應用おうよう舉例：對たい於圖二に的てき結構けっこう，我わが們認為ため整せい個こ框かまち架か即そく是ぜ一いち個こ部ぶ件けん。於是靜せい力りょく方程式ほうていしき數量すうりょう為ため $N=3*1=3$ 左ひだり下角したすみ的てき平面へいめん撐附帶たい兩個りゃんこ約束やくそく條件じょうけん。右みぎ下角したすみ的てき球形きゅうけい鉸附帶たい一いち個こ約束やくそく條件じょうけん。 去さ除じょ所有しょゆう外部がいぶ連結れんけつ後ご，發現はつげん沒ぼつ有ゆう內部連結れんけつ，所しょ以取內約束やくそく條件じょうけん為ため零れい。 於是可か以算出さんしゅつ $h=(1+2)+3+0-3=3$ 所以ゆえん系統けいとう是ぜ3度ど靜せい不定ふてい的てき。

對たい於圖三さん的てき結構けっこう，我わが們數出で有ゆう六ろく個こ桿件。故こ靜せい力りょく方程式ほうていしき數量すうりょう為ため $N=3*6=18$ 左ひだり下角したすみ和わ右みぎ下角したすみ的てき平面へいめん撐各附帶ふたい兩個りゃんこ約束やくそく條件じょうけん，所以ゆえん外がい約束やくそく條件じょうけん數量すうりょう為ため$m=2+2=4$。 去さ除じょ兩個りゃんこ外部がいぶ連結れんけつ後ご，發はつ現有げんゆう五ご個こ內部連結れんけつ。四角的鉸鏈各有兩個桿件集結，所以ゆえん各かく形成けいせい$2*(2-1)=2$個こ約束やくそく條件じょうけん。而上邊べ中ちゅう間あいだ的てき鉸鏈有ゆう四よん個こ桿件集結しゅうけつ，所以ゆえん有ゆう$2*(4-1)=6$個こ約束やくそく條件じょうけん。於是內約束やくそく條件じょうけん數量すうりょう為ため$n=2*4+6=14$ 求もとめ出で靜しずか不定ふてい度ど為ため $h=4+14-18=0$ 所以ゆえん此系統けいとう為ため靜しずか定てい穩定結構けっこう。

參まいり閱

• 结構工程こうてい學がく