代數だいすう整數せいすう

在ざい數學すうがく裡うら，代數だいすう整數せいすう（algebraic integer）是これ複數ふくすう中なか的てき一いち类。一いち个複数すうαあるふぁ是ぜ代数だいすう整数せいすう当とう且仅当とう它是某ぼう个個整せい系けい數すう的てき首くび一いち多項式たこうしき$P(x)$的てき根ね。其中首くび一いち（英文えいぶん：monic）意い謂いい最高さいこう冪べき次項じこう的てき系けい數すう是ぜ1。

因いん此，所有しょゆう代數だいすう整數せいすう都と是ぜ代數だいすう數すう，但ただし並なみ非ひ所有しょゆう代數だいすう數すう都みやこ是ただし代數だいすう整數せいすう。所有しょゆう代数だいすう整数せいすう构成一いち个环，通常つうじょう记作$\mathbb {A}$。

如果$P(x)$是ぜ整せい係數けいすう本原もとはら多項式たこうしき（即そく系けい數すう的てき最さい大公たいこう因数いんすう是ぜ1的てき多た项式），但ただし非ひ首くび一いち多項式たこうしき，則のり$P$的まと根ね都と不ふ是ぜ代數だいすう整數せいすう。

定てい义

以下いか是ぜ代数だいすう整数せいすう四よん种相互そうご等とう价的てき定てい义。设K为代数だいすう数すう域いき（有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん扩张）。根ね据すえ本原もとはら元もと定理ていり，K可か以写成なり$K=\mathbb {Q} (\theta )$的形まとがた式しき。其中$\theta \in \mathbb {C}$是ぜ某ぼう个代数だいすう数すう。设有$\alpha \in K$，则αあるふぁ是ぜ代数だいすう整数せいすう当とう且仅当とう以下いか命いのち题之一いち成立せいりつ：

1. 存在そんざい整せい系けい数多あまた项式：$P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]$，使つかい得とく$P(\alpha )=0$。
2. αあるふぁ在ざい$\mathbb {Q}$上うえ的てき极小首こくび一多项式是整系数多项式。
3. $\mathbb {Z} [\alpha ]$是ぜ有限ゆうげん生成せいせい的てき$\mathbb {Z}$-模も。
4. 存在そんざい有限ゆうげん生成せいせい的てき$\mathbb {Z}$-子こ模も：$M\subset \mathbb {C}$，使つかい得とく$\alpha M\subseteq M$。

例れい子こ

• 有理数ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$中なか的てき代数だいすう整数せいすう就是整数せいすう。换句话说，$\mathbb {A}$和わ$\mathbb {Q}$交集是ぜ整数せいすう环$\mathbb {Z}$。这可以用整せい系けい数多あまた项式的てき一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}$

有ゆう一いち个根是ぜ有理数ゆうりすう：$\scriptstyle r={\frac {p}{q}}$，其中p、q是これ互素的てき整数せいすう，那な么必然しか有ゆう：分母ぶんぼq 整除せいじょ$a_{m}$，以及分子ぶんしp 整除せいじょ$a_{0}$。因よし此，由ゆかり于代数すう整数せいすう是ぜ某ぼう个首一いち多た项式的てき根ね，如果它是有理数ゆうりすう，那な么它的てき分母ぶんぼ整除せいじょ多た项式的てき最高さいこう冪べき次項じこう，也就是ぜ说整除せいじょ1。所以ゆえん这个有理数ゆうりすう的てき分母ぶんぼ是ぜ1，即そく是ぜ说它是ぜ整数せいすう。反はん过来，所有しょゆう的てき整数せいすうn都みやこ是ただし整せい系けい数すう首しゅ一いち多た项式$\displaystyle x-n$的てき根ね，所以ゆえん是ぜ代数だいすう整数せいすう。

• 一いち个给定じょう的てき代数だいすう数すう域いき$\mathbb {K}$与あずか$\mathbb {A}$的てき交集称しょう为这个数域いき的てき（代数だいすう）整数せいすう环，记作${\mathcal {O}}_{K}$。这个整数せいすう环中的てき代数だいすう整数せいすう不ふ再さい只ただ是ぜ整数せいすう。比ひ如说，给定一いち个数域いき：$\mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$，那な么对应的整数せいすう环中不ふ仅有整数せいすう，还有${\sqrt {2}}$，因いん为${\sqrt {2}}$是これ首しゅ一いち多た项式$\scriptstyle x^{2}-2$的てき根ね。

• $\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$不ふ是ぜ代数だいすう整数せいすう。这是因いん为$\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$在ざい有理数ゆうりすう域いき上じょう的てき最小さいしょう多た项式是これ$\scriptstyle 2x^{2}-1$，不ふ是ぜ一いち个首一いち多た项式。

• $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$是ぜ一いち个代数すう整数せいすう。它是多た项式$\scriptstyle x^{2}-x-1$的てき根ね。一般いっぱん来らい说，如果整数せいすう$\scriptstyle d$除じょ以4余あまり1，那な么$\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$也是代数だいすう整数せいすう，因いん为它是ぜ多た项式$\scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}$的てき根ね。

• 给定素数そすうp，p次つぎ单位根ね$\zeta _{p}$也是一いち个代数すう整数せいすう，因いん为是首くび一いち多た项式$\displaystyle x^{p}-1=0$的てき根ね。实际上じょう，p次つぎ分ぶん圆域$\mathbb {Q} (\zeta _{p})$的てき整数せいすう环就是ぜ$\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$。

性せい质

• 兩個りゃんこ代數だいすう整數せいすう的てき和わ是ぜ一いち個こ代數だいすう整數せいすう，他た們的差さ及積也是。這時它們滿足まんぞく的てき首くび一いち多項式たこうしき可か以用結ゆい式しき表ひょう達たち；但ただし他た們的商しょう就不一定いってい是ぜ代數だいすう整數せいすう。
• 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換かわ句く話はなし說せつ，代數だいすう整數せいすう構成こうせい一いち個こ環たまき，並なみ且在任ざいにん何なに代數だいすう擴張かくちょう下しも是ぜ整せい閉的てき。
• 任にん何なに從したがえ整數せいすう出發しゅっぱつ，透過とうか和わ、積せき與あずか开方得え到いた的てき數すう都と是ぜ代數だいすう整數せいすう，但ただし並なみ非ひ所有しょゆう代數だいすう整數せいすう都と可か依よ此構造こうぞう，例れい如，大だい多數たすう的てき五次代數整數都無法透過這種方式構造。
• 代數だいすう整數せいすう是ぜ裴蜀整せい环。

參まいり見み

• 整せい性せい
• 高こう斯整數すう
• 艾あい森もり斯坦整數せいすう
• 單位たんい根ね
• 狄利克かつ雷かみなり單位たんい理論りろん
• 基本きほん单位 (数すう论)

参考さんこう来らい源げん

• Daniel A. Marcus, Number Fields（数すう域いき）, third edition, Springer-Verlag, 1977