位置いち算ざん符ふ

在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，位置いち算ざん符ふ（position operator）是ぜ一いち種しゅ量子りょうし算さん符ふ。對應たいおう於位置いち算ざん符ふ的てき可か觀察かんさつ量りょう是ぜ粒子りゅうし的てき位置いち。位置いち算ざん符ふ的てき本ほん徵ちょう值是位置いち向こう量りょう。採用さいよう狄拉克かつ標記ひょうき，位置いち算ざん符ふ ${\hat {x}}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい $|x\rangle$ 滿足まんぞく方程式ほうていしき

${\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle$ ；

其中，$x$ 是ぜ本ほん徵ちょう值，是ぜ量子りょうし態たい為ため $|x\rangle$ 的てき粒子りゅうし所しょ處しょ的てき位置いち，$x$ 只ただ是ぜ一いち個こ數すう值。

位置いち空間くうかん表現ひょうげん

設定せってい量子りょうし態たい $|\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle$ 。量子りょうし態たい $|\Psi \rangle$ 、$|\psi \rangle$ 的てき位置いち空間くうかん表現ひょうげん，即そく波なみ函數かんすう，分別ふんべつ定義ていぎ為ため

$\Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle$ 、

$\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle$ 。

在ざい位置いち空間くうかん裡うら，定義ていぎ算ざん符ふ ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 為ため

${\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)$ 。

在ざい位置いち空間くうかん裡うら，使用しよう連續れんぞく本ほん徵ちょう態たい $|x'\rangle$ 所ところ組成そせい的てき基底きてい，任意にんい量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ 展開てんかい為ため

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle$ 。

將はた量子りょうし算さん符ふ ${\hat {x}}$ 作用さよう於量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ ，可か以得到いた

${\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle$ 。

應用おうよう狄拉克正かつまさ交歸一いち性せい，$\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ ，這方程式ほうていしき與あずか左ひだり矢や $\langle x|$ 的てき內積為ため

$\langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

量子りょうし態たい $|\Psi \rangle$ 的てき展開てんかい式しき為ため

$\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle$ 。

應用おうよう狄拉克正かつまさ交歸一いち性せい，這方程式ほうていしき與あずか左ひだり矢や $\langle x|$ 的てき內積為ため

$\langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)$ 。

所以ゆえん，兩個りゃんこ波は函數かんすう $\Psi (x)$ 、$\psi (x)$ 之これ間あいだ的てき關係かんけい為ため

$\Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)$ 。

總そう結ゆい，位置いち算ざん符ふ ${\hat {x}}$ 作用さよう於量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ 的てき結果けっか $|\Psi \rangle$ ，表現ひょうげん於位置いち空間くうかん，等價とうか於波函數かんすう $\psi (x)$ 與あずか $x$ 的てき乘じょう積せき $\Psi (x)$ 。位置いち算ざん符ふ ${\hat {x}}$ 的てき位置いち空間くうかん表現ひょうげん是ぜ位い算さん符ふ ${\hat {\mathfrak {x}}}$ ，可か以稱算さん符ふ ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 為ため位置いち算ざん符ふ。

本ほん徵ちょう函數かんすう

假設かせつ，在ざい位置いち空間くうかん裡うら，位置いち算ざん符ふ ${\hat {\mathfrak {x}}}$ 的てき本ほん徵ちょう值為ため $q$ 的てき本ほん徵ちょう函數かんすう是これ $g_{q}(x)$ 。用よう方程式ほうていしき表ひょう達たち，

${\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)$ 。

這方程式ほうていしき的てき一般いっぱん解かい為ため，

$g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)$ ；

其中，$g_{0}$ 是ぜ常數じょうすう，$\delta (x-q)$ 是これ狄拉克かつδでるた函數かんすう。

注意ちゅうい到いた $g_{q}(x)$ 無法むほう歸一きいつ化か：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}$ 。

設定せってい $g_{0}=1$ ，函數かんすう $g_{q}(x)$ 滿足まんぞく下か述じゅつ方程式ほうていしき：

$\int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)$ 。

這性質せいしつ不ふ是ぜ普通ふつう的てき正せい交歸一いち性せい，這性質せいしつ稱たたえ為ため狄拉克正かつまさ交歸一いち性せい。因よし為ため這性質しつ，位置いち算ざん符ふ的てき本ほん徵ちょう函數かんすう具有ぐゆう完備かんび性せい，也就是ぜ說せつ，任意にんい波は函數かんすう $\psi (x)$ 都と可か以表達たち為本ためもと徵ちょう函數かんすう的てき線せん性せい組合くみあい：

$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq$ 。

雖然本ほん徵ちょう函數かんすう $g_{q}(x)$ 所ところ代表だいひょう的てき量子りょうし態たい是ぜ無法むほう實際じっさい體現たいげん的てき，並なみ且嚴格げんかく而論，不ふ是ぜ一いち個こ函數かんすう，它可以視為ため代表だいひょう一いち種しゅ理想りそう量子りょうし態たい，這種理想りそう量子りょうし態たい具有ぐゆう準じゅん確かく的てき位置いち $q$ ，因いん此，根據こんきょ不ふ確定かくてい性せい原理げんり，這種理想りそう量子りょうし態たい的てき動どう量りょう呈てい均ひとし勻分佈。

期き望もち值

採用さいよう位置いち空間くうかん表現ひょうげん，設しつらえ想そう一個移動於一維空間的量子粒子。在ざい這裏，希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん是ぜ ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ ，是ぜ實じつ值定義ていぎ域いき的てき平方へいほう可か積せき函數かんすう的てき空間くうかん。兩個りゃんこ態たい向こう量的りょうてき內積是ぜ

$\langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x$ 。

對たい於任意にんい量子りょうし態たい $\psi$ ，可か觀察かんさつ量りょう $x$ 的まと期き望もち值為

$\langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle$ 。

位置いち算ざん符ふ ${\hat {x}}$ 作用さよう於量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ 的てき結果けっか，表現ひょうげん於位置いち空間くうかん，等價とうか於波函數かんすう $\psi (x)$ 與あずか $x$ 的てき乘じょう積せき，所以ゆえん，

$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x$ 。

粒子りゅうし處しょ於 $x$ 與あずか $x+dx$ 微小びしょう區間くかん內的機き率りつ是ぜ

$p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x$ 。

粒子りゅうし位置いち與あずか機き率りつ的てき乘じょう積せき在ざい位置いち空間くうかん的てき積分せきぶん，就是粒子りゅうし位置いち的てき期き望もち值。

三さん維案例れい

推廣至いたり三維空間相當直截了當，參さん數すう為ため三さん維位置いち $\mathbf {r}$ 的てき波なみ函數かんすう為ため $\psi (\mathbf {r} )$ ，位置いち的てき期き望もち值為ため

$\langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ ；

其中，$\mathbb {V}$ 是ぜ積分せきぶん體積たいせき。

位置いち算ざん符ふ $\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}}$ 的てき作用さよう為ため

$\mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi$ 。

對たい易えき關係かんけい

位置いち算ざん符ふ與あずか動どう量りょう算さん符ふ的てき對たい易えき算さん符ふ，當とう作用さよう於波函數かんすう時じ，會得えとく到いた一いち個こ簡單かんたん的てき結果けっか：

$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi$ 。

所以ゆえん，$[{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar$ 。這關係かんけい稱しょう為ため位置いち算ざん符ふ與あずか動どう量りょう算さん符ふ的てき對たい易えき關係かんけい。由よし於兩者しゃ的てき對たい易えき關係かんけい不等ふとう於 0 ，位置いち與あずか動どう量りょう彼此ひし是ぜ不ふ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう。${\hat {x}}$ 與あずか ${\hat {p}}$ 絕對ぜったい不ふ會かい擁よう有ゆう共同きょうどう的てき基底きてい量子りょうし態たい。一般いっぱん而言，${\hat {x}}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい與あずか ${\hat {p}}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい不同ふどう。

根據こんきょ不ふ確定かくてい性せい原理げんり，

$\Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|$ 。

由よし於 $x$ 與あずか $p$ 是ぜ兩個りゃんこ不ふ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう，$\left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2$ 。所以ゆえん，$x$ 的てき不ふ確定かくてい性せい與あずか $p$ 的てき不ふ確かく定性的ていせいてき乘じょう積せき $\Delta x\ \Delta p$ ，必定ひつじょう大だい於或等とう於 $\hbar /2$ 。