反はん正せい割わり

反はん正せい割わり
性質せいしつ
奇偶きぐう性せい	非ひ奇き非ひ偶
定義ていぎ域いき	$\left\{x\in \mathbb {R} :\left|x\right|\geq 1\right\}$
到達とうたつ域いき	$\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq {\frac {\pi }{2}}\right\}$ $\left\{y\in \mathbb {R} :0\leq y\leq \pi \land y\neq 90^{\circ }\right\}$
周期しゅうき	N/A
特定とくてい值
當とうx=0	不ふ存在そんざい
當とうx=+∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
當とうx=-∞	${\frac {\pi }{2}}$ （90°）
當とうx=1	0
當とうx=-1	$\pi$ （180°）
其他性質せいしつ
渐近线	$y={\frac {\pi }{2}}$ （y=90°）

反はん正せい割わり（英語えいご：arcsecant、記き為ため：$\operatorname {arcsec}$或ある$\sec ^{-1}$）是ぜ一いち種しゅ反はん三角さんかく函數かんすう，對應たいおう的てき三角さんかく函數かんすう為ため正せい割わり函數かんすう，用もちい來らい計算けいさん已やめ知ち斜邊しゃへん與あずか鄰邊的てき比ひ值求出で其夾角かく大小だいしょう的てき函數かんすう，是ぜ高等こうとう數學すうがく中ちゅう的てき一いち種しゅ基本きほん特殊とくしゅ函數かんすう，其輸入ゆにゅう值與反はん餘弦よげん互為倒たおせ數すう。

由よし於正割わり函數かんすう在ざい實數じっすう上うえ不ふ具有ぐゆう一いち一いち對應たいおう的てき關係かんけい，所以ゆえん不ふ存在そんざい反はん函數かんすう，但ただし我わが們可以限きり制せい其定義ていぎ域いき，因いん此，反はん正せい割わり是ぜ單たん射い也是可逆かぎゃく的てき，由ゆかり於限制せい正せい割わり函數かんすう的てき定義ていぎ域いき在ざい$[0,\pi ]$（[0, 180°]）时，其值域是ぜ全體ぜんたい實數じっすう，但ただし在ざい區間くかん$[-1,1]$不ふ存在そんざい。

符號ふごう

反はん正せい割わり一般いっぱん記き為ため$\sec ^{-1}z$或ある$\operatorname {arcsec} z$，以表示ひょうじ正せい割わり的てき反はん函數かんすう。也有やゆう以大寫うつし書寫しょしゃ的てき版本はんぽんArcsec z和かずSec^-1 z一般用於表示多值函數。在ざい符號ふごう$\sec ^{-1}z$上うえ的てき上じょう標しるべ-1是ぜ表示ひょうじ反はん函數かんすう，而不是ぜ乘法じょうほう逆ぎゃく元素げんそ。但ただし根據こんきょISO 31-11應おう將はた反はん正せい切きり函數かんすう記き為ため$\operatorname {arcsec} z$，因よし為ため$\sec ^{-1}$可能かのう會かい與あずか${\frac {1}{\sec }}$混淆こんこう，${\frac {1}{\sec }}$是これ餘弦よげん函數かんすう。

定義ていぎ

原始げんし的てき定義ていぎ是ぜ將しょう正せい割わり函數かんすう限きり制せい在ざい$[0,\pi ]$（[0, 180°]）的てき反はん函數かんすう
在ざい複ふく變へん分析ぶんせき中なか，反はん正せい割わり是ぜ這樣定義ていぎ的てき：

$\operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,$

這個動作どうさ使し反はん正せい割わり被ひ推廣到いた複數ふくすう。

下圖したず表示ひょうじ推廣到いた複數ふくすう的てき反はん正せい割わり複數ふくすう平面へいめん函數かんすう圖形ずけい，可か以見到いた圖ず中央ちゅうおう有ゆう一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。

拓つぶせ展てん到いた複數ふくすう的てき反はん正せい割わり函數かんすう

直角ちょっかく三角形さんかっけい中ちゅう

在ざい直角ちょっかく三角形さんかっけい中なか，反はん正せい割わり定義ていぎ為ため已やめ知ち斜邊しゃへんc與あずか鄰邊b比ひ值對應たいおう的てき$\angle A$的てき大小だいしょう，也就是ぜ：

$\sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!$

• 
  直角ちょっかく三角形さんかっけい，C為ため直角ちょっかく，對たい於角A而言，a為ため對邊たいへん、b為ため鄰邊、c為ため斜邊しゃへん
• 
  直角ちょっかく三角形さんかっけい，已やめ知ち斜邊しゃへん斜邊しゃへん為ためx且鄰邊べ為ため單位たんい長ちょう

此外在がいざい直角ちょっかく三角形さんかっけい中なか，若わか已やめ知ち斜邊しゃへん為ため$x$且鄰邊べ為ため單位たんい長ちょう，$x$代入だいにゅう反はん正せい割わり可か求もとめ得とく對應たいおう的てき角かく的てき大小だいしょう：

$\sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!$

因いん此，根據こんきょ畢氏定理ていり可か以使反はん正せい割わり利用りよう其他反はん三角さんかく函數かんすう表示ひょうじ：

$\sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$

$\cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}$

$\tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}$

直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい中ちゅう

若わか$\alpha$是ぜ平面へいめん直角ちょっかく坐すわ标系xOy中ちゅう的てき一いち個こ未知みち的てき象限しょうげん角かく，$P\left({x,y}\right)$是ぜ角かく的てき终边上じょう一いち点てん，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是ぜP到いた原点げんてんO的てき距离，若わか已やめ知ち${\frac {r}{x}}\,\!$，則のり可か利用りよう反はん正せい割わり求もとめ得え未み知的ちてき象限しょうげん角かく$\alpha$：

$\sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!$

級數きゅうすう定義ていぎ

反はん正せい割わり函數かんすう可か以使用しよう無窮むきゅう級數きゅうすう定義ていぎ：

${\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

反はん正せい割わり函數かんすう的てき泰たい勒展開てんかい式しき為ため：

$\operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots$

參まいり見み

• 反はん餘弦よげん
• 正せい割わり
• 餘弦よげん

外部がいぶ連結れんけつ

• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Inverse Secant. MathWorld. 
• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Arcsecant. MathWorld.