圍かこえ長ちょう (圖ず論ろん)

在ざい图论中ちゅう，一いち個こ圖ず的てき圍かこえ長ちょう定義ていぎ為ため這個圖ず所しょ包含ほうがん的てき最短さいたん環たまき長ちょう。 若わか這個圖ず是ぜ無む環たまき圖ず，它的圍かこえ長則ながのり定義ていぎ做無窮むきゅう大だい。 舉例來らい說せつ，4-環たまき（正方形せいほうけい）的てき圍かこえ長ちょう是ぜ 4。

籠こめ (Cage)

最小さいしょう的てき圍かこえ長ちょう為ため g 的てき三さん次じ圖ず（3-正則せいそく圖ず）稱しょう做 g-籠こめ（或ある是ぜ (3,g)-籠かご）。佩特森もり圖ず是ぜ唯一ゆいいつ的てき 5-籠こめ，Heawood graph 則すなわち是ぜ唯一ゆいいつ的てき 6-籠こめ，McGee graph 是ぜ唯一ゆいいつ的てき 7-籠こめ，Tutte eight cage 是ぜ唯一ゆいいつ的てき 8-籠かご。 對たい特定とくてい的てき圍かこえ長ちょう來らい說せつ，可能かのう會かい存在そんざい不ふ只ただ一いち個こ籠かご。比ひ如，存在そんざい三さん個こ不同ふどう構的 10-籠こめ，分別ふんべつ都と有ゆう 70 條じょう邊あたり：Balaban 10-cage、Harries graph、Harries–Wong graph。

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  The Petersen graph has a girth of 5
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  The Heawood graph has a girth of 6
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  The McGee graph has a girth of 7
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  The Tutte–Coxeter graph (Tutte eight cage) has a girth of 8

圍かこえ長與ながよ圖ず染色せんしょく

給きゅう定てい任意にんい正せい整數せいすう$g$和わ$\chi$，存在そんざい一いち幅ぶく圖ず，其圍長ちょう不ふ小しょう於$g$，同時どうじ色いろ數すう不ふ小しょう於$\chi$。例れい如，格かく勒奇圖ず無む三角形さんかっけい，且色數すう為ため$4$，然しか後こう重複じゅうふく採用さいよう梅うめ切きり爾なんじ斯基構造こうぞう法ほう（格かく勒奇圖ず亦また是ぜ以此法ほう可か得とく），即そく得とく任意にんい大だい色しょく數すう而無三角形さんかっけい的てき圖ず。埃ほこり尔德什·帕尔最さい先さき用よう概がい率りつ方法ほうほう證明しょうめい一般いっぱん的てき結論けつろん：

取と$n$個こ頂點ちょうてん的てき随ずい机つくえ图，每まい兩りょう點てん之の間あいだ各自かくじ獨立どくりつ地ち以$n^{(1-g)/g}$概がい率りつ連れん邊あたり，則のり當とう$n$趨向すうこう無窮むきゅう時じ，大概たいがい率りつ（趨向すうこう於$1$）該圖中ちゅう 長ちょう度ど不ふ逾$g$的てき環たまき總數そうすう不ふ超過ちょうか$n/2$，同時どうじ沒ぼつ有ゆう$n/(2k)$大小だいしょう的てき獨立どくりつ集しゅう。所以ゆえん，在ざい每まい個こ短たん環たまき中ちゅう移うつり除じょ一いち點てん，餘よ下か的てき子こ圖ず至いたり少しょう有ゆう$n/2$點てん，圍かこえ長大ちょうだい於$g$，但ただし染色せんしょく時じ，每まい種たね顏色かおいろ的てき點數てんすう不能ふのう超過ちょうか$n/(2k)$，即そく需要じゅよう至いたり少すくな$k$種たね色しょく。

若わか不用ふよう概がい率りつ論證ろんしょう，亦また可か明確めいかく構造こうぞう圍かこえ長和おさわ色しょく數すう皆みな大だい的てき圖ず，例れい如有限ゆうげん域いき上うえ某ぼう些線せん性せい群ぐん的てき凱萊圖ず。此類例れい子こ同時どうじ屬ぞく拉ひしげ馬うま努つとむ金きん圖ず，擴展系けい數すう大だい。