尚なお努つとむ埃ほこり爾なんじ引理

在ざい數學すうがく的てき同調どうちょう代數だいすう中なか，尚なお努つとむ埃ほこり爾なんじ（Schanuel）引理是ぜ一いち條じょう簡易かんい的てき基本きほん結果けっか，可用かよう來らい比較ひかく一いち個こ模も離はなれ投射とうしゃ性せい有ゆう多た遠とお。

敘述

設しつらえR是これ環たまき，

0 → K → P → M → 0

0 → K' → P ' → M → 0

是ぜ兩りょう條じょう左ひだりR-模かたぎ的てき短たん正せい合ごう序列じょれつ，P和わP '是ぜ投射とうしゃ模も，則のりK ⊕ P '同どう構於K ' ⊕ P。

證明しょうめい

定義ていぎP ⊕ P '的てき子こ模も如下，其中φふぁい : P → M，φふぁい' : P ' → M：

$X=\{(p,q)\in P\oplus P^{\prime }:\phi (p)=\phi ^{\prime }(q)\}.$

定義ていぎ映うつ射い πぱい : X → P為ため自じX投射とうしゃ第だい一いち個こ座標ざひょう至いたりP。φふぁい' 是ぜ滿まん射しゃ，所以ゆえん對たい任にん何なにp ∈ X，都みやこ有ゆうq ∈ P ' 使つかい得とくφふぁい(p) = φふぁい'(q)。故こ有ゆう(p,q) ∈ X，得とく πぱい (p,q) = p。因よし此πぱい 是ぜ滿まん射しゃ。

考慮こうりょπぱい 的てき核かく：

${\begin{aligned}{\text{ker}}\;\pi &=\{(0,q):(0,q)\in X\}\\&=\{(0,q):\phi ^{\prime }(q)=0\}\\&\cong \;{\text{ker}}\;\phi ^{\prime }\cong K^{\prime }.\end{aligned}}$

由よし此可知かち有ゆう短たん正せい合ごう序列じょれつ

$0\rightarrow K^{\prime }\rightarrow X\rightarrow P\rightarrow 0.$

因よし為ためP是ぜ投射とうしゃ的てき，所以ゆえん序列じょれつ分裂ぶんれつ，故こ有ゆうX ≅ K ' ⊕ P。

同どう理り可か得とく

$0\rightarrow K\rightarrow X\rightarrow P^{\prime }\rightarrow 0,$

因いん此X ≅ P ' ⊕ K。結合けつごうX的てき兩りょう等價とうか式しき，結果けっか得とく證しょう。

長正ながまさ合ごう序列じょれつ

以上いじょう證明しょうめい也可推廣至いたり長正ながまさ合ごう序列じょれつ。

應用おうよう

設しつらえ $\ldots \rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}{\xrightarrow {f_{0}}}M\rightarrow 0$ 是これM的てき一いち個こ投射とうしゃ分解ぶんかい，使つかい得とく$\mathrm {ker} (f_{0})$是ぜ投射とうしゃ的てき，則のりM的まと每ごと個こ投射とうしゃ分解ぶんかい都と是ぜ如此。

證明しょうめい

設しつらえ$\ldots \rightarrow Q_{1}\rightarrow Q_{0}{\xrightarrow {g_{0}}}M\rightarrow 0$是ぜ另一いち個こ投射とうしゃ分解ぶんかい。考慮こうりょ短みじか正せい合ごう序列じょれつ

$0\rightarrow \mathrm {ker} (f_{0})\rightarrow P_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

$0\rightarrow \mathrm {ker} (g_{0})\rightarrow Q_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

從したがえ尚なお努つとむ埃ほこり爾なんじ引理可知かち$P_{0}\oplus \mathrm {ker} (g_{0})\cong Q_{0}\oplus \mathrm {ker} (f_{0})$，而從假設かせつ知ち$Q_{0}\oplus \mathrm {ker} (f_{0})$是ぜ投射とうしゃ的てき，故こ$\mathrm {ker} (g_{0})$是ぜ投射とうしゃ模も的てき直和なおかず項こう，因いん此也是ぜ投射とうしゃ的てき。

起源きげん

斯蒂芬·尚なお努つとむ埃ほこり爾なんじ在ざい歐文おうぶん·卡普蘭らん斯基1958年ねん秋季しゅうき學期がっき芝しば加か哥大學がく的てき同調どうちょう代だい數すう課か上じょう發現はつげん這個證しょう法ほう。卡普蘭らん斯基在ざい書しょ上じょう說せつ：他た在ざい課か上じょう給きゅう出で了りょう一いち個こ模かたぎ的てき投射とうしゃ分解ぶんかい的てき一いち步ほ，並なみ指出さしで若わか在ざい一個分解中這個核是投射的，則のり在ざい所有しょゆう分解ぶんかい中ちゅう都と是ぜ投射とうしゃ的てき，又また說せつ雖然命題めいだい簡單かんたん，但ただし須過些時候じこう才能さいのう證しょう。尚なお努つとむ埃ほこり爾なんじ回かい應おう說せつ這容易ようい證しょう，於是描述了りょう大概たいがい，就是後來こうらい以其命名めいめい的てき引理。他た們討論ろん了りょう幾いく天てん後ご，得え到いた了りょう完かん整せい的てき證明しょうめい。