もと

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もとろん[1]またたたえため誖論[2]とむらい[3]佯謬ある詭局ゆびいち种导致矛盾むじゅんてきいのち通常つうじょう逻辑うえ无法判断はんだんせい确或错误しょう为悖论,而是しょう为佯谬;ゆう时候违背ちょく觉的せい确论だん也称为悖论。もと论的英文えいぶんparadoxいちまれ腊语παράδοξοςparadoxos意思いし预料いたてき”、“かいてき”。 如果うけたまわ假設かせつ它是しんてき,经过いち系列けいれつせい确的推理すいり,却又とく它明あらわかりてき;如果假設かせつ它是かりてき,经过いち系列けいれつせい确的推理すいり,却又とく它明あらわしんてき古今ここん中外ちゅうがいゆうしょう著名ちょめいてきもと论,它们震撼しんかんりょう逻辑数学すうがくてきもと础,げき发了じん们求知和ちわ精密せいみつてき思考しこう吸引きゅういんりょう古往今来こおうこんらい许多思想家しそうかかず爱好しゃてき注意ちゅういりょくかい决悖论难题需よう创造性的せいてき思考しこうもと论的かい决又往往おうおう以给じん带来ぜんしんてき观念。

もとろん其實またゆう而是”てき解釋かいしゃくそくよう普通ふつう常識じょうしきじょう不正ふせいかくただし其實是正ぜせいかくあるゆう可能かのうてきれい如“站著走路そうろさらるい”。一般常識是走路比站著累,ただしよう一個人例如在公園裡站一個小時,可能かのうやすしねがいはしどういちしょうよしため“站著走路そうろさらるい”。也例如狹義きょうぎ相對そうたいろんうらめんてきそう生子おいご佯謬また另外いちれい

佛法ぶっぽうなか也有やゆう釋迦牟尼しゃかむにほとけやぶ外道げどうもとろんてきれい:如《大智たいちろんまきいちちゅう舉出ちょうつめ梵志てきれいちょうつま梵志ひさげいちしゅ一切いっさいほう受”てき主張しゅちょう,其意思いしせつ接受せつじゅ世間せけん一切いっさい理論りろん釋迦牟尼しゃかむにふつ就問:「你接接受せつじゅ自己じこしょ建立こんりゅうてき這個“一切いっさいほう受”てき理論りろん?」。とう釋迦牟尼しゃかむにふつ提出ていしゅつ這個問題もんだいてき時候じこうながつま梵志就知どう自己じこてき理論りろんゆう問題もんだいてき──如果接受せつじゅ就是“接受せつじゅいちしゅ理論りろん”這與自己じこ建立こんりゅうてき一切いっさいほう受”てき主張しゅちょう違背いはい;如果接受せつじゅてき主張しゅちょう就不存在そんざい。就這さま,一方面顯示長爪梵志的理論是一種悖論,另一方面ほうめん也突あらわ釋迦牟尼しゃかむにふつ非常ひじょう簡短かんたんてき開示かいじ就把ちょうつま梵志おりふくりょう

另外,ゆう些悖ろんあずか謬誤いきいき相關そうかんれい如:連鎖れんさもとろんあずか連續れんぞくたい謬誤連鎖れんさもとろん由正よしまさかくてき前提ぜんてい和正かずまさかくてき推理すいり,卻得いた一個明顯與認知上不一致的結果,而連續れんぞくたい謬誤そくはりたい連鎖れんさもとろんてき結論けつろんみとめためXあずかXなみぼつゆう區別くべつ

てい[编辑]

斯坦ぶく哲学てつがく百科ひゃっかぜん书“もと论”条目じょうもく认为,しょ谓“もと论”通常つうじょうゆびいち命題めいだいこえたたえぼう内容ないようちょう(甚至はん对)“通常つうじょうてき见解”(通常つうじょう认为,あるゆう)。[1]

ほう开悖论的かく种含义,通常つうじょうしょ说的导致矛盾むじゅんてきもと论,应当满足如下条件じょうけん

  1. ゆういち命題めいだいA,しょうためもとろん命題めいだい
  2. ゆういち邏輯系統けいとうL,しょうため相關そうかん系統けいとう
  3. ゆういちくみ命題めいだいE, しょうため背景はいけい命題めいだい背景はいけい命題めいだい相關そうかん系統けいとうちゅうてき命題めいだい相關そうかん系統けいとう簡化ため背景はいけい命題めいだい背景はいけい命題めいだいなりためもとろん證明しょうめいてき依據いきょ
  4. 相關そうかん系統けいとう存在そんざい两个证明以获もとろん命題めいだいAてき,其中いち个证あきらA为真,而另いち个证あきらA为假,从而矛盾むじゅん

いん此,よう判断はんだん一个悖论是否真的逻辑悖论,就是よう确定要素ようそA、LE,とく别是よう确认Eなかてきいのち题都いのち题,而且しょ给出てき两个证明是正ぜせい确合规的证明。如果Eなかてきいのち题不しんあるものしょ给出てき证明错的,则这一个逻辑悖论,而是一个逻辑错误。许多逻辑悖论最终都以归结为いち个命题A⇔¬A,しょう为悖论情がた(paradox situation),进一步推出矛盾的依据。すえもと论情がた以有证明1:かり设A为真,以推A为假,矛盾むじゅんいん此A为假。ただしどう时也以有证明2:かり设A为假,以推A为真,矛盾むじゅんいん此A为真。证明1证明2是正ぜせい确合规的证明。よし此问题就,A⇔¬Aざいあい关系统中いち个真いのち题。如果いのち题,もと成立せいりつしょう关系统有问题,需要じゅようあらため进。而且あらため进相关系统以しょうじょもと论的おもえ也就ざい于如なん避免这一もと论情がた。如果いのち题,不能ふのうよし它推矛盾むじゅん,而且该悖论实际上就是一个逻辑错误:一个假命题当作了真命题,并用它进ぎょう推理すいり

背景はいけいいのち题是すえもと论的描述归纳出来できてき原始げんし接近せっきんもと论的描述。もと论情がたすえ背景はいけいいのち推理すいり而得いたてき,进一步就可直接推出矛盾。よし此,ただゆうとう所有しょゆう背景はいけいいのち题中てきいのち题都为真时,もと论情がたざいいち个真いのち题。ところ谈论てきもと论才一个真正的逻辑悖论。

れい罗素もと,A=(R∈R),L=「ぼく集合しゅうごう」,Eただゆういち个命题:R∈R⇔R∉R。背景はいけいいのち题为いん为朴もと集合しゅうごう论有いち概括がいかつ公理こうり:对任意にんいせい质P(x),存在そんざい集合しゅうごうS,使つかいとく任意にんい对象x,x∈S⇔P(x)成立せいりつそく存在そんざい集合しゅうごうS,它刚こう包含ほうがん所有しょゆう备性质P(x)てき对象,而且ただ包含ほうがん备性质P(x)てき对象。れいP(x)=(x∉x),そくx为不包含ほうがん自己じこてき集合しゅうごうだい多数たすう集合しゅうごう包含ほうがん自己じこ包含ほうがん自己じこてき集合しゅうごう很难そうぞうただ论上排除はいじょ它的存在そんざい而已,则根すえ概括がいかつ公理こうりゆう:x∈R⇔x∉x。またいん为R本身ほんみ也是いち个对ぞうれいx=R,则得いた背景はいけいいのち题R∈R⇔R∉R,背景はいけいいのち题为真因しんいん为它出来できてきよし为R∉R=¬(R∈R),所以ゆえん背景はいけいいのち题就もと论情がたA⇔¬A。所以ゆえん罗素もと论是ほおもと集合しゅうごう论的いち个悖论。

いん为有罗素もと论,所以ゆえん现代てき集合しゅうごう掉了概括がいかつ公理こうり,而且しょう集合しゅうごうげんせいざい一个很小的范围内,从而かい决了もと论的问题。つきかん集合しゅうごうきりせいざい一个很小的范围内,ただしやめあし表示ひょうじ数学すうがくてき基本きほん要素ようそ,如数、かたちとう所以ゆえん现代集合しゅうごう论仍以作为数がくてきもと础。

さい举一个发师悖论てきれい小城おぎさとてき发师放出ほうしゅつごうごとよう为,而且ただ为,小城おぎさと所有しょゆう自己じこ刮脸てきじん刮脸。ただし问题发师该给自己じこ刮脸吗?ざい这里A=「发师给自己じこ刮脸」,L=「普通ふつう逻辑」,就是大家たいかすえつね使用しようてき逻辑,Eゆう两个いのち题,いち个是E1=「发师给理发师刮脸」⇔「发师给自己じこ刮脸」,这是个真いのち题因为「发师」就是「自己じこ」,也说あきらわが们不区分くぶん发师在家ありいえさとてき水房みずふささと自己じこ刮脸”かず发师ざいてき营业厅里给理发师刮脸”。另一个命题是E2=「发师给小じょうさとてき任意にんいいちにん刮脸」⇔(¬「该任意にんい一人给自己刮脸」),该命题被认为しんてきいん为它发师てきごうごと,而且一般也认为它可以为真。よし为理发师小城おぎさとてきぼうじんいん此由E2しょう发师」代入だいにゅう小城おぎさとてき任意にんいいちにん」,とく发师给理发师刮脸」⇔(¬「发师给自己じこ刮脸」),さいすえE1おさむあらためとう价关けいてきひだり边可どく发师给自己じこ刮脸」⇔(¬「发师给自己じこ刮脸」),这就さい终归结出てきA⇔¬Aてきもと论情がた

发师悖论是逻辑悖论取决于E2ざい普通ふつう逻辑ちゅう为真。发师てきごうごと一个全称命题。ぜんしょういのち题为真当まっとう且仅とうしょう所有しょゆう小城おぎさとてきじん逐个代入だいにゅういのち题中「小城おぎさとてき任意にんいいちにん」时都为真,いや则为かり。现将发师代入だいにゅう时得いたA⇔¬A。わが们正ざい验证A⇔¬A为真,而并ぼつゆう推出A⇔¬A为真,いん此普どおり逻辑并没ゆう证A⇔¬A为真。とう逻辑けい不能ふのう证明A⇔¬A为真时,它是个假いのち题,いん为等价关けい两边不一致ふいっち(如果逻辑けい统可以证あきら就是逻辑けい统有问题,いん为它推出りょう一个应该是假的命题)。よし此,发师てきごうごと实际じょう一个假命题,よし于理发师ゆるがせりゃくりょうてきごうごと自己じこ不成立ふせいりつ造成ぞうせいてき所以ゆえん发师悖论不一个逻辑悖论。あるもの说普どおり逻辑ざい这里并没ゆう问题,还是もたれてき

为什么一般いっぱんかい认为E2以为呢?这其实是一种由于忽略而造成的错觉。ゆういち种命题,ぼつゆう确定てき值,しんかりさけべ自由じゆういのち题。れい如,「ぼうじん自己じこ刮脸」,它的值取决于该某人的じんてきすなおいん此可しんかり。另一个例いのち题M」,而没ゆう具体ぐたい说明M什么,它也一个自由命题。对于一个等价关系命题F⇔G,如果いのち题Fいのち题G自由じゆういのち题,而有确定てき值,么该とう价关けい为真决于FGてき值。如果它们てき一致いっち,则该とう价关けいいのち题为しんいや则为かりただし如果FGちゅういたりしょうゆういち个为自由じゆういのち,则该とう价关けいいのち题总为真,いん为无其中てき一个自由命题失去了它的自由度,さい自由じゆうりょう。如果FG自由じゆういのち题,则只あましもいち自由じゆうりょう

ざい发师悖论里,F=「发师给小じょうさとてき任意にんいいちにん刮脸」G=(¬「该任意にんい一人给自己刮脸」)みやこただし自由じゆういのち题,いん此人们习惯地就接受理じゅり发师てきごうごとE2=「发师给小じょうさとてき任意にんいいちにん刮脸」⇔(¬「该任意にんい一人给自己刮脸」)为真いのち题了,无非发师牺牲りょうてき自由じゆう而已。ひと们忽りゃくてきじょう况是,FG可能かのう现反しょう关的じょう况,そくざいぼう种情况下かい发生F⇔(¬G)てき可能かのうせい。而这せいはた发师」代入だいにゅう小城おぎさとてき任意にんいいちにんしょ发生てきじょう况。如果FGはんあい关,とう价命题F⇔G不能ふのう成立せいりつてきいん为等价关けい两边不一致ふいっちよし此,にん们是ざいゆるがせりゃくりょう一种特殊情况后根据习惯接受了一个假命题,所以ゆえんざい以为这是いち个悖论。

当然とうぜん,认为发师悖论是一个真正的悖论的观点还有一种理由:发师てきごうごと无非てい义了いち个性质f(x)=“x由理ゆり发师给他刮脸てき”;而性质g(x)=“x自己じこ自己じこ刮脸てき一个按常理可能被定义的性质,れい如,做一个调查,はたまい个人自己じこ刮脸确定らい就可以了;发师てきごうごと所定しょてい义的f(x):f(x)⇔(¬g(x));该定义是よう一个性质定义另一个性质,也没ゆう什么问题;いん此,发师悖论也一个关于定义的悖论。てき确,にん们目ぜん对如なん进行せい确的てい义还ぼつゆうとおる彻的认识。还存在そんざい另一些关于性质定义的悖论就是证明。ただし论上对于よう以定义的いのち题都必须以被证明てきいのち题这一点还是有共识的。如果含不能ふのう证明てきいのち题,则不应当以定义的形式けいしき进行てい义,而应以公理こうりてき形式けいしき进行てい集合しゅうごう论中关于集合しゅうごう相等そうとうてきてい义不よし一个定义给出,而是よし一个叫做外延公理的公理给出的就是一个例子。而理发师てきごうげんよう一个似乎可能为真,ただし实际じょう却为かりてきいのち题来进行てい义,这自然しぜん就不あい规了。

もと论情がたA⇔¬AなかてきA一个自由命题,ただしよし于等价关けい两边てきいのち题是はんあい关的,所以ゆえんとう价关けい不能ふのう成立せいりつ

发师悖论的きょう训是:ざい作出さくしゅつとう价关けいいのち题时,一定要检查等价关系的两边是否存在反相关的情况,あるもの附加ふか上当かみとうとう价关けいてき两边存在そんざいはんあい关的条件じょうけん。这就ぞうざい做除ほう时,一定要检查除数不为0いち样。ざい一个逻辑系统中,公理こうりかずじょう义经つね带有とう关系いのち题,ゆるがせりゃくりょうしょう关性检查,就可能かのう导致悖论。罗素もと论的直接ちょくせつ原因げんいん就是よし概括がいかつ公理こうりてきとう价关けい现了はんあい关。说谎しゃもと论也いん为语义定义中てきとう价关けい现了はんあい关。

么是いや以不概括がいかつ公理こうり,而只对概括がいかつ公理こうりちゅうてきせい质加以限せい证不现反しょう关的じょう况,从而かい决罗もともと论呢?这样做确实可以消じょ罗素もと论,ただし不足ふそく以解决集合しゅうごう论的问题。矛盾むじゅん仍然可能かのうよし集合しゅうごう运算而产せいよし此,集合しゅうごう论的问题ゆうさらふか层的原因げんいん,而人们还不知ふちどう什么原因げんいん。这是为什么现だい集合しゅうごう论除りょう概括がいかつ公理こうり,还要集合しゅうごうげんせいざい很小范围ないてき原因げんいん

蒯因てきぶん[编辑]

ひしげとく·范奥曼·蒯因[4]通常つうじょうしょうてきもと论(paradox )ぶんさん类:[5][6]

  • 实性もと论(veridical paradox): 产生てき结果おこりらい很荒谬,ただしこと实证あかり是正ぜせい确的。其推理すいり过程其结はてぼつゆう问题,真正しんせいてきもと论。如, まれ尔伯とくたび馆悖论なまもとろん
  • 谬误悖论(falsidical paradox):其推理すいり过程ゆう谬误てきただしすえ此确りつてきいのち题不ただし乎是あら谬的,而且确实错误てき所以ゆえん,也不真正しんせいてきもと论。 如,しょうしば诺悖论てきおもねもとさとつい乌龟”かず飞矢”, 這些現在げんざい以用微積分びせきぶん無限むげんてき概念がいねん解釋かいしゃくよし为谬误悖论是げん于,错误てきおもえ维方しき推理すいり过程,さら应该归类于谬误
  • もと论(paradox): じょう两者いち. 而是ざいわが自身じしんてき理性りせいちゅう自身じしん识体けいちゅうてき矛盾むじゅん(antinomy)。おもて现为,つう过适当地とうちさいようおおやけ认的推理すいり方式ほうしき以推导出自しゅつじしょう矛盾むじゅんてき结果。 如,罗素もと说谎しゃもとただゆう这一类是真正意义上的悖论。

Quineてき工作こうさく以来いらいやめ经产せいりょうだいよん种描じゅつ以被かい释为だい三种的特殊情况: ざいどう一时间和同一意义上同时是“しんかずかりてきもと论被しょうそうめん真理しんり(dialetheia)。[7] れい如,约翰ただしはしざい门中间的时候,对于“约翰やめ经进らいりょう”这个いのち题,以既肯定こうていてきどう时也否定ひていてきいん为,这时“约翰やめ经进らいりょうすんで棱两てき也是程度ていどてき问题, いち个双めん真理しんりただしどう时“肯定こうていかず否定ひていどう一命题也是自相矛盾的悖论。

ちょくいた现在,真正しんしょう义上てきもと论(じょりょう模糊もこせいてきそうめん真理しんり),其问题几乎都ゆびあるあい关而引起。[8] 斯蒂芬·みやびぬのらくえいStephen Yablo于1985ねんだい一次宣称发现了没有自相关的悖论,しょうまさぬのらくもとえいYablo's paradox[8] ただしかくかみなりやくえいGraham Priest 并不认同.[9][10]

ひしげ姆齐てきぶん[编辑]

どる兰克·伦普顿·ひしげ姆齐于1925ねん最早もはや逻辑悖论(Logical Paradox)どう语义悖论(Semantical Paradox)别开らい罗素もとぞく于前いち类,说谎しゃもとぞく于后しゃ[11] ひしげ姆齐认为,逻辑矛盾むじゅんわたる及数がくある逻辑术语(れい如类,かず),いん表明ひょうめい存在そんざい逻辑问题。而语义矛盾むじゅんじょ纯逻辑术语外还涉及“思想しそう”,“语言”,“符号ふごうとう概念がいねん, 它们经验せい(形式けいしき)术语。语义矛盾むじゅん也被しょう为认识论矛盾むじゅん。 该方法被はっぴ认为とうまえてき标准てきもと论分类方ほう[1]

ひしげ姆齐てきぶん类是针对蒯因区分くぶんてき真正しんせいもと论(antinomy), 包括ほうかつゆう蒯认为并真正しんせいもと论的另外两种:实性てきもと论(veridical paradox)かず谬误悖论(falsidical paradox)。

柯里もと以像罗素もといち样,以集合しゅうごうある属性ぞくせい论的もと论的形式けいしき现(そく逻辑悖论的形式けいしき); ただし,它也以是类似于说谎しゃもとてき语义悖论てき形式けいしき现。[12]

かい决悖论[编辑]

上面うわつらてきもと论例子中こなかざい逻辑じょう它们ゆう无法摆脱概念がいねんゆびしょ带来てき恶性循环。英国えいこく数理すうり逻辑がく罗素 (Russell,B. A. W.)提出ていしゅつりょう恶性循环げん则(vicious circle principle),[13] そくぼっゆう一个整体能包含一个只能借助于这个整体来定义的元素,排除はいじょもと论。[8]

逻辑けい不能ふのうゆう矛盾むじゅんよし此,如果存在そんざいもと论,则说あかり逻辑けい统有问题,应当どおり过修あらため逻辑けい统以しょうじょもと论。 逻辑けい统中,如果要求ようきゅうにんなんいのち不能ふのう违反恶性循环げん则(vicious circle principle), 则可以避めん类似罗素もと论和说谎しゃもと论等ゆびせいもと论。直接ちょくせつ应用恶性循环げん则检验命题并いちけんえきごと

いん此,罗素按恶せい循环げん则(vicious circle principle)思想しそうげん则,进いち提出ていしゅつりょうぶんささえ类型论てき思想しそうよう于指导逻辑系统的おさむあらため以消じょもと论。罗素按恶せい循环げん则也かげ响了きさきらい现的众多しょうじょもと论的方案ほうあんきさきらい现了现代集合しゅうごう论,おもね尔弗かみなりとく·とう斯基(Alfred Tarski)てき真理しんりてき语义のう避免もと论。 つきかん现代集合しゅうごう论仍さく为数がくてきもと础,ただしあずかほおもと集合しゅうごう论相认为过于严格,难以よう日常にちじょうてき生活せいかつちゅうてきぶん层次てきおもえ维方しきれい如,一个班的学生看成一个集合就没有现代集合论的根据。よし此,集合しゅうごう论悖论的问题いやいた正解せいかい决仍しかゆうそう议的。

もと研究けんきゅうてき义和かげ[编辑]

ざい19せい纪末いたり20せい纪初,逻辑数学すうがくてきもと础受到许多こま难(ところ谓的もと论)てき发现てきかげ响, とく别是经典集合しゅうごう论中发现ゆうあい矛盾むじゅんてき现象,ゆう其是罗素もと,以极为简あかりてき形式けいしき震撼しんかんりょう数学すうがくてきもと础。这些难题わたる基本きほん概念がいねん以及てい义和推理すいりてき​​基本きほん方法ほうほう,这些以前いぜん通常つうじょう认为ぼつゆう问题てき。从那时起,もと论在当代とうだい逻辑ちゅう获得りょうしんてき作用さよう:确实,它们导致りょうしん定理ていりてき发现(通常つうじょう负面てき结果,れい不可ふか证明せい不可ふか判定はんていせい)。逻辑てき几个基本きほん概念がいねん发展过程,  これ所以ゆえんやめ经到りょう目前もくぜんてきじょう态,通常つうじょうとくえき于解决悖论的かく种尝试。对于集合しゅうごう(set)かず类(collection)てき概念がいねん,标准古典こてん逻辑てき基本きほん句法くほう语义概念がいねん(给定顺序てき逻辑语言,满足せいてい义性てき概念がいねんだし现而ごとゆう其如此。研究けんきゅうもと论解决方あんてきふく产品包括ほうかつ集合しゅうごうてき公理こうり类型论まとけい统发てん语义がくてきもと础,形式けいしきけい统的论。[1]

もとろんれつひょう[编辑]

語意ごい邏輯悖ろん[编辑]

古希こき腊悖论[编辑]

數理すうりもとろん[编辑]

物理ぶつりがくもとろん[编辑]

經濟けいざいがくもとろん[编辑]

天文學てんもんがくもとろん[编辑]

醫學いがくあずか生物せいぶつがくもとろん[编辑]

けつさくろんあずかはく弈論もとろん[编辑]

其他もと[编辑]

相關そうかん條目じょうもく[编辑]

参考さんこう资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Paradoxes and Contemporary Logic, <Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-28]. (原始げんし内容ないようそん于2021-11-04). 
  2. ^ 「誖」もとてき异体义无べつ
  3. ^ - とむらい. [2022-05-25]. (原始げんし内容ないようそん于2022-05-24). 
  4. ^ Hylton, Peter; Gary Kemp. Willard Van Orman Quine, <Stanford Encyclopedia of Philosophy> Spring 2020 Edition. [2021-01-01]. (原始げんし内容ないようそん于2021-07-30). 
  5. ^ Quine, W.V. The ways of paradox. The Ways of Paradox, and other essays. New York: Random House. 1966 [2020-12-30]. ISBN 9780674948358. (原始げんし内容ないようそん于2021-05-23). 
  6. ^ W.V. Quine. The Ways of Paradox and Other Essays REVISED AND ENLARGED. Cambridge, Massachusetts and London, England: Harvard University Press. 1976. (原始げんし内容ないようそん于2016-09-22). 
  7. ^ Priest, Graham; Francesco Berto; Zach Weber. Dialetheism, < Stanford Encyclopedia of Philosophy> Fall 2018 Edition. [2021-01-02]. (原始げんし内容ないようそん于2020-07-25). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Gupta, Anil. Self-Reference, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. (原始げんし内容ないようそん于2021-06-10). 
  9. ^ G. Priest. Yablo's paradox. Analysis. 1997, 57 (4): 236–242. doi:10.1093/analys/57.4.236. 
  10. ^ J. Beall. Is Yablo's paradox non-circular? (PDF). Analysis. 2001, 61 (3): 176–187 [2020-12-31]. doi:10.1093/analys/61.3.176. (原始げんし内容ないようそん (PDF)于2020-10-28). 
  11. ^ MacBride, Fraser, etc. Chapter 2. The Foundations of Logic and Mathematics, Frank Ramsey, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-31]. (原始げんし内容ないようそん于2021-10-29). 
  12. ^ Shapiro, Lionel; Jc Beall. Curry's Paradox, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. 2018 [2020-12-31]. (原始げんし内容ないようそん于2021-10-29). 
  13. ^ Bolander, Thomas. 2.6 Vicious-Circle Principle, Definitions, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. (原始げんし内容ないようそん于2021-06-10).