正弦せいげん定理ていり

正弦せいげん定理ていり是これ三角みすみ学まなぶ中なか的てき一いち个定理ていり。它指出で：对于任意にんい$\triangle ABC$，$a$、$b$、$c$分ぶん别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的てき对边，$R$为$\triangle ABC$的てき外接がいせつ圆半径はんけい，则有

${\frac {a}{\sin \angle A}}={\frac {b}{\sin \angle B}}={\frac {c}{\sin \angle C}}=2R$

證明しょうめい

法ほう一いち

做一个边长为$a$，$b$，$c$的てき三角形さんかっけい，对应角かく分ぶん别是$A$，$B$，$C$。从角$C$向むかい$c$边做垂たれ线，得とく到いた一个长度为h的てき垂たれ线和两个直角ちょっかく三角形さんかっけい。

显然：

$\sin A={\frac {h}{b}}$

且:

$\;\sin B={\frac {h}{a}}$

故こ：

$h=b\,\sin A=a\,\sin B$

故こ:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}$

同どう理り可か證しょう：

${\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

法ほう二に

作さく$\triangle ABC$的てき外接がいせつ圆，设半径はんけい为$R$，$BC=a$

角かくA为锐角かく时

由よし于$\angle A$与あずか$\angle D$所ところ对的弧こ都と为$BC$，根ね据すえ圆周角かく定理ていり可か瞭あきら解かい到いた

$\angle {\rm {A=\angle D}}$

由よし于$BD$为外接がいせつ圆直径ちょっけい，

${\rm {BD}}=2R,\ \angle {\rm {BCD}}={\pi \over 2}rad$

所以ゆえん

$\sin \angle D={a \over 2R}$

$\sin \angle A={a \over 2R}$

${a \over \sin \angle A}=2R$

角かくA为直角かく时

因いん为$BC=a=2R$，可か以得到いた

$\sin \angle A=\sin {\pi \over 2}=1$

所以ゆえん可か以证明あきら

${a \over \sin \angle A}=2R$

角かくA为钝角かく时

线段$BD$是ぜ圆的直径ちょっけい 根ね据すえ圆内接ないせつ四边形对角互补的性质

$\angle {\rm {D={\pi }-\angle BAC}}$

所以ゆえん

$\qquad \sin \angle BAC=\sin \angle D$

因いん为$BD$为外接がいせつ圆的直径ちょっけい$BD=2R$。根ね据すえ正弦せいげん定てい义

${\sin \angle BAC}={\sin \angle D}={a \over 2R}$

变形可か得とく

${a \over \sin \angle BAC}=2R$

根ね据すえ以上いじょう的てき证明方法ほうほう可か以证明あかり得え到いた得え到いた三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即そく

${\frac {a}{\sin \angle A}}={\frac {b}{\sin \angle B}}={\frac {c}{\sin \angle C}}=2R$

运用

三面さんめん角かく正弦せいげん定理ていり

若わか三面角的三个面角分别为$\alpha$、$\beta$、$\gamma$，它们所しょ对的二に面めん角かく分ぶん别为$A$、$B$、$C$，则

${\frac {\sin \alpha }{\sin A}}={\frac {\sin \beta }{\sin B}}={\frac {\sin \gamma }{\sin C}}$

多た边形的てき正弦せいげん关系

${\frac {OA}{\sin \angle OBA}}={\frac {OB}{\sin \angle OAB}},{\frac {OB}{\sin \angle OCB}}={\frac {OC}{\sin \angle OBC}},{\frac {OC}{\sin \angle ODC}}={\frac {OD}{\sin \angle OCD}},{\frac {OD}{\sin \angle OED}}={\frac {OE}{\sin \angle ODE}},{\frac {OE}{\sin \angle OAE}}={\frac {OA}{\sin \angle OEA}}$

${\frac {\sin \angle OAB\sin \angle OBC\sin \angle OCD\sin \angle ODE\sin \angle OEA}{\sin \angle OBA\sin \angle OCB\sin \angle ODC\sin \angle OED\sin \angle OAE}}={\frac {OB\cdot OC\cdot OD\cdot OE\cdot OA}{OA\cdot OB\cdot OC\cdot OD\cdot OE}}=1$

$\sin \angle OAB\sin \angle OBC\sin \angle OCD\sin \angle ODE\sin \angle OEA=\sin \angle OBA\sin \angle OCB\sin \angle ODC\sin \angle OED\sin \angle OAE$

外部がいぶ链接

• 关于K级顶点てん角かく的てき正弦せいげん定理ていり及应用よう （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 关于正弦せいげん定理ていり在ざい四面体中的类比定理 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• 正弦せいげん定理ていり证明 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

參まいり阅

• 余弦よげん定理ていり
• 正せい切きり定理ていり
• 角かく平分へいぶん線せん長ちょう公式こうしき
• 中ちゅう線せん長ちょう公式こうしき