球たま (数学すうがく)

一いち个球

在ざい歐おう氏し空間くうかん裡うら，球たま是ぜ指ゆび球面きゅうめん的てき內部。

球たま（英語えいご：sphere）在ざい數學すうがく裡うら，是ぜ指ゆび球面きゅうめん內部的てき空間くうかん。球たま可か以是封ふう閉的てき（包含ほうがん球面きゅうめん的てき邊あたり界かい點てん，稱たたえ為ため閉球），也可以是開放かいほう的てき（不ふ包含ほうがん邊べ界かい點てん，稱たたえ為ため開ひらき球だま）。

球たま的てき概念がいねん不ふ只ただ存在そんざい於三さん維歐おう氏し空間くうかん裡うら，亦また存在そんざい於較低ひく或ある較高維度，以及一般いっぱん度量どりょう空間くうかん裡うら。$n\,\!$維空間あいだ裡うら的てき球たま稱たたえ為ため$n\,\!$維球，且包含於$n-1\,\!$維球面めん內。因よし此，在ざい歐おう氏し平面へいめん裡うら，球きゅう為一ためいち圓盤えんばん，包含ほうがん在ざい圓えん內。在ざい三さん維空間あいだ裡うら，球きゅう則そく是ぜ指ゆび在ざい二に維球面きゅうめん邊あたり界かい內的空間くうかん。

歐おう氏し空間くうかん裡うら的てき球たま

在ざい $n\,\!$ 維歐氏し空間くうかん裡うら，一いち個こ中心ちゅうしん為ため $x\,\!$ ，半徑はんけい為ため $r\,\!$ 的てき $n\,\!$ 維（開ひらく）球たま是ぜ個こ由よし所有しょゆう距 $x\,\!$ 的てき距離きょり小しょう於 $r\,\!$ 的まと點てん所しょ組成そせい之の集合しゅうごう。一いち個こ中心ちゅうしん為ため $x\,\!$，半徑はんけい為ため $r\,\!$ 的てき $n\,\!$ 維閉球だま是これ個こ由よし所有しょゆう距 $x\,\!$ 的てき距離きょり小しょう於等於 $r\,\!$ 的まと點てん所しょ組成そせい之の集合しゅうごう。

在ざい $n\,\!$ 維歐氏し空間くうかん裡うら，每まい個こ球だま都みやこ是ただし某ぼう個こ超ちょう球面きゅうめん內部的てき空間くうかん。在ざい一いち維時，球きゅう是これ個こ有界ゆうかい的てき區間くかん；在ざい二に維時，是ぜ某ぼう個こ圓えん的てき內部（圓盤えんばん）；而在三さん維時，則のり是ぜ某ぼう個こ球面きゅうめん的てき內部。

體積たいせき

主しゅ条目じょうもく：n維球的てき體積たいせき

在ざい $n\,\!$ 維歐氏し空間くうかん裡うら，半徑はんけい $R\,\!$ 的まと球だま之の $n\,\!$ 維體積たいせき為ため：

$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},$

其中，Γがんま是ぜ李り昂のぼる哈德·歐おう拉ひしげ的てきΓがんま函數かんすう（可か被ひ視み為ため階かい乘じょう在ざい實數じっすう的てき延伸えんしん）。使用しようΓがんま函數かんすう在ざい整數せいすう與あずか半はん整數せいすう時じ的てき公式こうしき，可か不ふ需要じゅよう估算Γがんま函數かんすう即そく可か計けい算出さんしゅつ球だま的てき體積たいせき：

$V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},$

$V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.$

在ざい奇數きすう維度時じ的てき體積たいせき公式こうしき裡うら，對たい每まい個こ奇數きすう$2k+1\,\!$，雙そう階かい乘じょう (2k + 1)!! 定義ていぎ為ため (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空間裡的球

令れい (M,d) 為一ためいち度量どりょう空間くうかん，即そく具有ぐゆう度量どりょう（距離きょり函數かんすう）d 的てき集合しゅうごう M。中心ちゅうしん為ため M 內的點てん p，半徑はんけい為ため r > 0 的てき開ひらき球だま，通常つうじょう標しるべ計けい為ため B_r(p) 或ある B(p; r)，定義ていぎ為ため

$B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$

其閉球だま，可か標しるべ計けい為ため B_r[p] 或ある B[p; r]，則定のりさだ義よし為ため

$B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

請特別べつ注意ちゅうい，一いち個こ球だま（無論むろん開放かいほう或ある封ふう閉）總會そうかい包含ほうがん點てん p，因いん為ため依よ定義ていぎ， r > 0。

開ひらき球だま的てき閉包へいほう通常つうじょう標記ひょうき為ため ${\overline {B_{r}(p)}}$。雖然 $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}$ 與あずか ${\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p]$ 總そう是ぜ成立せいりつ的てき，但ただし ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p]$ 則のり不ふ一定いってい總そう是ぜ為真ためざに。舉例來らい說せつ，在ざい一いち個こ具ぐ離散りさん度量どりょう的てき度量どりょう空間くうかん X 裡うら，對たい每まい個こ X 內的 p 而言，${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$，但ただし $B_{1}[p]=X$。

一いち個こ（開ひらけ或ある閉）單位たんい球だま為ため一いち半徑はんけい為ため 1 的てき球たま。

度量どりょう空間くうかん的てき子こ集しゅう是ぜ有界ゆうかい的てき，若わか該子集しゅう包含ほうがん於某個こ球だま內。一いち個こ集合しゅうごう是ぜ全ぜん有界ゆうかい的てき，若わか給きゅう定一さだいち正せい值半徑はんけい，該集合しゅうごう可か被ひ有限ゆうげん多た個こ具ぐ該半徑はんけい的てき球たま所しょ覆くつがえ蓋ぶた。

度量どりょう空間くうかん裡うら的てき開ひらき球だま為ため拓ひらけ撲なぐ空間くうかん裡うら的てき基もと，其中所有しょゆう的てき開ひらけ集合しゅうごう均ひとし為ため某ぼう些（有限ゆうげん或ある無限むげん個こ）開ひらき球だま的てき聯れん集しゅう。該拓撲なぐ空間くうかん被ひ稱しょう為ため由よし度量どりょう d 導出どうしゅつ之の拓ひらけ撲なぐ。

賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん裡うら的てき球たま

每まい個こ具ぐ範はん數すう |·| 的てき賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん亦また為ため一いち度量どりょう空間くうかん，其中度量どりょう d(x, y) = |x − y|。在ざい此類空間くうかん裡うら，每まい個こ球だま B_r(p) 均ひとし可視かし為ため是ぜ單位たんい球だま B₁(0) 平ひら移うつり p，再さい縮ちぢみ放ひ r 後こう所得しょとく之の集合しゅうごう。

前面ぜんめん討論とうろん的てき歐おう氏し空間くうかん裡うら的てき球だま亦また為ため賦ふ範はん向むこう量りょう空間くうかん裡うら球だま的てき一いち例れい。

p-範はん數すう

在ざい具ぐ p-範はん數すう L_p 的てき笛ふえ卡爾空間くうかん $\mathbb {R} ^{n}$ 裡うら，開ひらき球だま是ぜ指ゆび集合しゅうごう

$B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.$

在ざい二に維（n=2）時じ，L₁（通常つうじょう稱たたえ為ため曼哈頓ひたぶる度量どりょう）的てき球たま是ぜ對角線たいかくせん平行へいこう於坐標しるべ軸じく的てき正方形せいほうけい；而 L_∞（切きり比ひ雪夫ゆきお度量どりょう）的てき球たま則そく是これ個こ邊あたり平行へいこう於坐標しるべ軸じく的てき正方形せいほうけい。對たい於 p 的てき其他值，該球則そく會かい是ぜ超ちょう橢圓だえん的てき內部。

在ざい三さん維（n=3）時じ，L₁ 的まと球だま是これ個こ對角線たいかくせん平ひら行為こうい坐すわ標しるべ軸じく的てき八はち面體めんてい，而 L_∞ 的てき球たま則そく是これ個こ邊あたり平ひら行為こうい坐すわ標しるべ軸じく的てき正せい立方體りっぽうたい。對たい於 p 的てき其他值，該球則そく會かい是ぜ超ちょう橢球的てき內部。

一般いっぱん凸とつ範はん數すう

更さら一般いっぱん性せい地ち，給きゅう定てい任にん一いち Rⁿ 內中心ちゅうしん對稱たいしょう、有界ゆうかい、開放かいほう且凸とつ的てき集合しゅうごう X，均ひとし可か定義ていぎ一いち個こ在ざい Rⁿ 的てき範はん數すう，該球均ひとし為ため X 平ひら移うつり再さい一致縮放後所得之集合。須注意ちゅうい，若わか將はた此定理ていり內的「開ひらく」子こ集しゅう以「閉」子こ集しゅう替がえ代だい，則定のりさだ理り不能ふのう成立せいりつ，因いん為ため原點げんてん也符合ふごう定理ていり內所定之さだゆき集合しゅうごう，但ただし無法むほう定義ていぎ Rⁿ 內的範はん數すう。

拓ひらけ撲なぐ空間くうかん裡うら的てき球たま

在ざい拓ひらけ撲なぐ學がく的てき文獻ぶんけん裡うら，「球たま」可能かのう有ゆう两種含义，由よし上下じょうげ文ぶん决定。

開ひらき集しゅう

“（开）球たま”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可か以用“p 点てん周しゅう围的一いち个球”代表だいひょう包含ほうがんp 的てき一いち个开集しゅう。该集合しゅうごう同どう胚はい于什么依赖于背景はいけい拓つぶせ扑空间以及所しょ选取的てき开集。同どう样，“闭球”有ゆう时用于表示ひょうじ这样一いち个开集しゅう的てき闭包。（这可能かのう产生误导，例れい如超ちょう度量どりょう空そら间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都と是ぜ既すんで开且闭的。）

有ゆう时，邻域用よう于指代だい这个意い义上的てき球たま，但ただし是ぜ邻域其实有ゆう更さら一般いっぱん的てき意い义：p 的てき一个邻域是任何包含一个p 的てき开集的てき集合しゅうごう，因いん此通常つうじょう不ふ是ぜ开集。

拓ひらけ撲なぐ球たま

X 內的 n 維（開ひらけ或ある閉）拓ひらけ撲なぐ球たま是ぜ指ゆび X 內同どう胚はい於 n 維（開ひらけ或ある閉）歐おう幾里いくさと得とく球だま的てき任にん一いち子し集しゅう，該子集しゅう不ふ一定いってい需要じゅよう由ゆかり某ぼう個こ度量どりょう導出どうしゅつ。n 維拓撲なぐ球たま在ざい組合くみあい拓ひらけ撲なぐ學がく裡うら很重要じゅうよう，為ため建けん構胞腔復ふく形がた的てき基礎きそ。

任にん一いち n 維開拓かいたく撲なぐ球たま均ひとし同どう胚はい於笛卡爾空間くうかん Rⁿ 及 n 維開單位たんい超ちょう方形ほうけい $(0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$。任にん一いち n 維閉拓ひらけ撲なぐ球たま均ひとし同どう胚はい於 n 維閉超ちょう方形ほうけい [0, 1]ⁿ。

n 維球同どう胚はい於 m 維球，若わか且唯若わか n = m。n 維開球だま B 與あずか Rⁿ 間あいだ的てき同どう胚はい可分かぶん成なり兩りょう種類しゅるい型がた，以 B 的てき兩りょう種たね可能かのう之の拓ひらけ撲なぐ定てい向むかい來らい區分くぶん。

一いち個こ n 維拓撲なぐ球たま不ふ一定いってい是ぜ光ひかり滑すべり的てき；若わか該球是ぜ光こう滑すべり的てき，亦また不ふ一定いってい需微分びぶん同どう胚はい於一 n 維歐幾里いくさと得とく球だま。

另見

• 球たま - 一般いっぱん常見つねみ的てき意義いぎ
• 圓盤えんばん
• 形式けいしき球だま，將はた球たま的てき半徑はんけい延伸えんしん至いたり負ふ值。
• 鄰域
• 三さん維球面めん
• n維球面めん（超ちょう球面きゅうめん）
• 亞あ歷れき山大やまだい帶たい角かく球だま
• 流ながれ形がた
• n維球的てき體積たいせき
• 正せい八はち面體めんてい，$\ell _{1}$ 度量どりょう下か的てき三さん維球

• 球たま殼から
• 橢球
• 球たま缺かけ
• 半球はんきゅう

参考さんこう文献ぶんけん

• D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
• "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
• "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2]