圆幂定理ていり

圓えん冪べき定理ていり（英語えいご：circle power theorem），是ぜ平面へいめん幾何きか中なか的てき一いち個こ定理ていり。這定理ていり指出さしで，給きゅう定じょう一いち個こ圓えん $Γ がんま$ 以及一いち點てん $P$ ，從したがえ該點引出兩りょう條じょう割わり線せん，分別ふんべつ與あずか $Γ がんま$ 相あい交於 $A$ 、 $B$ 以及 $C$ 、 $D$ ，則のり有ゆう

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}

這個乘じょう積せき，是ぜ $P$ 對たい於 $Γ がんま$ 的てき圓えん冪べき（英語えいご：circle power），故こ定理ていり以此為ため名めい。

圓えん冪べき定義ていぎ

平面へいめん上じょう任意にんい一いち點てん $P$ ，以及半徑はんけい為ため $r$ 、圓心えんしん為ため $O$ 的てき圓えん，則定のりさだ義よし圓えん冪べき $h$ 為ため：

h=OP^{2}-r^{2}

。^[1]

從したがえ這個定義ていぎ可知かち，若わか $P$ 在ざい圓えん內，則のり圓えん冪べき為ため負數ふすう；若わか $P$ 在ざい圓えん外がい，則のり圓えん冪べき為ため正數せいすう；若わか $P$ 在ざい圓周えんしゅう上じょう，則のり有ゆう圓えん冪べき等とう於零。

圓えん冪べき又また可か等價とうか地ち定義ていぎ為ため：從したがえ該點穿ほじ過か圓心えんしん的てき割わり線せん，與あずか圓えん所作しょさ的てき兩個りゃんこ交點こうてん，與あずか該點距離きょり的てき乘じょう積せき。也就是ぜ說せつ：

h={\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}

。

理由りゆう如下：

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h

。

變體へんたい

圓えん冪べき定理ていり有ゆう三さん個こ變體へんたい，分別ふんべつ是ぜ「相あい交弦定理ていり」、「割わり線せん定理ていり」及「切きり割わり線せん定理ていり」。^[2]

相あい交弦定理ていり

設しつらえ有ゆう一いち圓えん，圓上えんじょう有ゆう兩りょう條じょう弦つる $AB$ 及 $CD$ ，它們相しょう交於 $E$ ，則のり有ゆう

{\overline {EA}}\cdot {\overline {EB}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {ED}}

這個乘じょう積せき，是ぜ $E$ 的てき圓えん冪べき的てき相反あいはん數すう $- h$ 。這是因いん為ため圓えん冪べき為ため非ひ正數せいすう，而線段だん的てき乘じょう積せき為ため正數せいすう。

割わり線せん定理ていり

設しつらえ有ゆう一いち圓えん，圓えん外がい有ゆう一いち點てん $P$ ，引出兩りょう條じょう割わり線せん，分別ふんべつ與あずか圓えん相しょう交於 $A$ 、 $B$ 以及 $M$ 、 $N$ ，則のり有ゆう

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PM}}\cdot {\overline {PN}}

這個乘じょう積せき，是ぜ $P$ 的てき圓えん冪べき $h$ 。

切きり割わり線せん定理ていり

設しつらえ有ゆう一いち圓えん，圓えん外がい有ゆう一いち點てん $P$ ，引出一いち條じょう割わり線せん，與あずか圓えん相しょう交於 $A$ 、 $B$ ，又また引出一いち條じょう切線せっせん，與あずか圓えん相しょう切きり於 $T$ ，則のり有ゆう

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PT}}^{2}

這個乘じょう積せき，同樣どうよう是ぜ $P$ 的てき圓えん冪べき $h$ 。

證明しょうめい

相あい交弦定理ていり

從したがえ同どう弓形きゅうけい內圓周えんしゅう角かく的てき性質せいしつ可知かち， $Δ でるた AED$ 與あずか $Δ でるた CEB$ 是これ相似そうじ三角形さんかっけい，因いん此

{\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}

整理せいり可か得とく

EA\cdot EB=EC\cdot ED

證明しょうめい完かん畢。

割わり線せん定理ていり

從したがえ同どう弓形きゅうけい內圓周えんしゅう角かく的てき性質せいしつ可知かち， $Δ でるた PAM$ 與あずか $Δ でるた PNB$ 是ぜ相似そうじ三角形さんかっけい，因いん此

{\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}

整理せいり可か得とく

PA\cdot PB=PM\cdot PN

證明しょうめい完かん畢。

切きり割わり線せん定理ていり

從したがえ內錯弓形きゅうけい圓周えんしゅう角かく的てき性質せいしつ可知かち， $Δ でるた PAT$ 與あずか $Δ でるた PTB$ 是ぜ相似そうじ三角形さんかっけい，因いん此

{\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}

整理せいり可か得とく

PA\cdot PB={PT}^{2}

證明しょうめい完かん畢。

參まいり見み

根ね軸じく——到いた兩りょう圓えん圓えん冪べき相等そうとう的てき點てん的てき軌跡きせき

參考さんこう資料しりょう

^ Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
^ Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969

[1] Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）

[2] Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry (2nd Edition), New York: Wiley, 1969

[1]

[2]