谱定理ていり

数学すうがく上うえ，特とく别是线性代数だいすう和わ泛函分析ぶんせき中なか，谱定理ていり（英語えいご：Spectral theorem）是ぜ关于线性算さん子こ或ある者もの矩のり阵的てき一いち些结果はて。泛泛来らい讲，谱定理ていり给出了りょう算さん子こ或ある者もの矩のり阵可以对角化か的てき条件じょうけん（也就是ぜ可か以在某ぼう个基底そこ中ちゅう用よう对角矩のり阵来らい表示ひょうじ）。对角化か的てき概念がいねん在ざい有限ゆうげん维空间中比ひ较直接ちょくせつ，但ただし是ぜ对于无穷维空间中的てき算さん子こ需要じゅよう作さく一いち些修改あらため。通常つうじょう，谱定理ていり辨べん认出一族いちぞく可か以用乘法じょうほう算さん子こ来らい代表だいひょう的てき线性算さん子こ，这是可か以找到的てき最さい简单的てき情じょう况了。用よう更さら抽象ちゅうしょう的てき语言来らい讲，谱定理ていり是ぜ关于交换C*-代数だいすう的てき命いのち题。参看さんかん谱分析ぶんせき中なか的てき历史观点。

可か以应用よう谱定理ていり的てき例れい子こ有ゆう希まれ尔伯特とく空そら间上うえ的てき自じ伴とも算さん子こ或ある者もの更さら一般いっぱん的てき正せい规算子こ。

谱定理ていり也提供ていきょう了りょう一个算子所作用的向量空间的标准分解ぶんかい，称しょう为谱分解ぶんかい，特とく征せい值分解ぶんかい，或ある者もの特徵とくちょう分解ぶんかい。

本条ほんじょう目め中ちゅう，主要しゅよう考こう虑谱定理ていり的てき简单情じょう况，也就是ぜ希まれ尔伯特とく空そら间上的てき自じ伴とも算さん子こ。但ただし是ぜ，如上じょじょう文ぶん所しょ述じゅつ，谱定理ていり也对希まれ尔伯特とく空そら间上的てき正せい规算子こ成立せいりつ。

有限ゆうげん维的情じょう况

埃ほこり尔米特とく矩のり阵

从在具有ぐゆう标准埃ほこり尔米特とく内うち积的てき有限ゆうげん维实或ある者もの复内うち积空间 $V$ 上うえ的てき埃ほこり尔米特とく矩のり阵 $A$ 开始；埃ほこり尔米特とく条件じょうけん意味いみ着ぎ

\langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle

对于所有しょゆう $V$ 的てき元素げんそ $x,y$ 成立せいりつ。

一个等价的条件是 $A^{*}=A$ ，其中 $A^{*}$ 是これ $A$ 的てき共きょう轭转置おけ。若わか $A$ 为实矩のり阵，这等价于 $A^{T}=A$ （也即， $A$ 是これ对称矩のり阵）。埃ほこり尔米特とく矩のり阵的特とく征せい值是实数。

先さき回かい顾一下か线性算さん子こA的てき特とく征せい向こう量りょう是ぜ（非ひ零れい）向むかい量りょう $x$ 使つかい得とく $Ax=\lambda x$ 对于某ぼう个标量りょう $\lambda$ 成立せいりつ。值 $\lambda$ 是ぜ相しょう应的特とく征せい值。

定理ていり：当とう $A$ 是ぜ埃ほこり尔米特とく矩のり阵, 存在そんざい标准正せい交基 $V$ ，由ゆかり $A$ 的てき特とく征せい向こう量りょう组成。且 $A$ 每まい个特征せい值都是ぜ实数。

证明

这里给出复数情じょう况的证明概要がいよう。

根ね据すえ代数だいすう基本きほん定理ていり，任にん何なん方形ほうけい虚数きょすう项矩阵存在そんざい至いたり少しょう一いち个特征せい值。若わか $A$ 为埃尔米特とく矩のり阵，有ゆう特とく征せい向こう量りょう $e_{1}$ ，考こう虑子空そら间 $K=\mathrm {span} \left\{e_{1}\right\}^{\perp }$ ，也即 $e_{1}$ 的てき正せい交补空そら间。根ね据すえ埃ほこり尔米特性とくせい， $K$ 为 $A$ 的てき不ふ变子空そら间。在ざい $K$ 上うえ采さい用よう同どう样的论证表明ひょうめい $A$ 有ゆう特とく征せい向こう量りょう $e_{2}\in k$ 。通つう过有限げん归纳法ほう可か以完成かんせい证明。

谱定理ていり对于 n 维欧几里得とく空そら间上うえ的てき对称矩のり阵也成立せいりつ，但ただし是ぜ特とく征せい向こう量的りょうてき存在そんざい性せい更さら难一些。实对称しょう矩のり阵有实特征せい值，因いん此特征せい向こう量りょう有ゆう实项。

若わか取と $A$ 的てき特とく征せい向こう量りょう为标准なぞらえ正せい交基， $A$ 在ざい这个基もと上じょう的てき表示ひょうじ是ぜ对角的てき。等とう价地， $A$ 可か以写作さく互相正せい交的投影とうえい的てき线性组合，称しょう为它的てき谱分解ぶんかい。令れい

V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}

为对应于特とく征せい值 $\lambda$ 的てき特とく征せい空そら间。注意ちゅうい该定义不依よ赖于特定とくてい特とく征せい向こう量的りょうてき选择。 $V$ 是ぜ空そら间 $V_{\lambda }$ 的てき直ちょく积，其中下か标取遍へん特とく征せい值。令れい $P_{\lambda }$ 为到 $V_{\lambda }$ 上うえ的てき正せい交投影とうえい，而 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ 为 $A$ 的てき特とく征せい值，谱分解ぶんかい可か以写作さく：

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.

谱分解ぶんかい是ぜ舒尔分解ぶんかい的てき特例とくれい。也是奇き异值分解ぶんかい的てき特例とくれい。

正せい规矩阵

谱定理ていり可か以推广到更さら为一般いっぱん的てき矩のり阵。令れい $A$ 为有限げん维内积空间上的てき算さん子こ。 $A$ 称しょう为正せい规算子こ若わか $A^{*}\ A=A\ A^{*}$ 。可か以证明あきら $A$ 正せい规当且仅当とう它可以酉对角化か：根ね据すえ舒尔分解ぶんかい， $A=U\ T\ U^{*}$ ，其中 $U$ 是ぜ酉とり矩のり阵而 $T$ 是ぜ上じょう三さん角かく阵。因よし为 $A$ 正せい规， $T\ T^{*}=T^{*}\ T$ ，所以ゆえん $T$ 必定ひつじょう是ぜ对角的てき。反はん过来也是显然的てき。

换言之の， $A$ 正せい规当且仅当とう存在そんざい酉とり矩のり阵 $U$ 使つかい得とく

A=U\Lambda U^{*}\;

其中 $\Lambda$ 是これ对角矩のり阵，其各项为 $A$ 的てき特とく征せい值。 $U$ 的てき列れつ向むこう量りょう是ぜ $A$ 的てき特とく征せい向こう量りょう，而且他た们是单位正せい交的。和わ埃ほこり尔米特とく的てき情じょう况不同ふどう， $A$ 的てき对角项未必みひつ为实数すう。

紧自伴とも算さん子こ的てき谱定理ていり

一般いっぱん来らい讲，希まれ尔伯特とく空そら间中的てき关于紧自じ伴とも算さん子こ的てき谱定理ていり和わ有限ゆうげん维的基本きほん一いち样。

定理ていり：设 $A$ 为希尔伯特とく空そら间 $V$ 上うえ的てき紧自伴とも算さん子こ。存在そんざい $V$ 的てき标准正せい交基，由ゆかり $A$ 的てき特とく征せい向こう量りょう构成。每まい个特征せい值都是ぜ实数。

对于埃ほこり尔米特とく矩のり阵，关键在ざい于存在そんざい至いたり少しょう一いち个非零れい向こう量りょう。要よう证明这一いち点てん，不能ふのう靠もたれ行列ぎょうれつ式しき来らい表明ひょうめい特とく征せい值的存在そんざい，而是要よう使用しよう极大化か论证，类似于特征せい值的变分表ひょう述じゅつ。上述じょうじゅつ谱定理ていり对于实或虚むなし希まれ尔伯特とく空そら间都成立せいりつ。

如果紧性假かり设被取消とりけし，则未必每个自伴とも算さん子こ都と有ゆう特とく征せい。

有界ゆうかい自じ伴とも算さん子こ的てき谱定理ていり

接せっ下か来らい的てき推广是ぜ希まれ尔伯特とく空そら间 $V$ 上うえ的てき有界ゆうかい自じ伴とも算さん子こ $A$ 。这样的てき算さん子こ可能かのう没ぼつ有ゆう特とく征せい值：例れい如令 $A$ 为 $L^{2}[0,1]$ 上乘じょうじょう以 $t$ 的てき算さん子こ，也即

[A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;

定理ていり：令れい $A$ 为希尔伯特とく空そら间 $H$ 上うえ有界ゆうかい自じ伴とも算さん子こ。则存在そんざい测度空そら间 $(X,\Sigma ,\mu )$ 和わ $X$ 上うえ实值可か测函数すう $f$ ，以及酉とり算さん子こ $U:H\rightarrow {L^{2}}_{\mu }(X)$ 使つかい得とく

U^{*}TU=A\;

其中 $T$ 是これ乘法じょうほう算さん子こ：

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;

这是称しょう为算さん子こ理り论的てき泛函分析ぶんせき这个巨大きょだい的てき研究けんきゅう领域的てき起点きてん。

对于希まれ尔伯特とく空そら间上的てき有界ゆうかい正せい规算子こ也有やゆう一个类似的谱定理。结论中ちゅう唯ただ一的区别在于 $f$ 可能かのう是ぜ复值的てき。

谱定理ていり的てき另一个表述形式将算子 $A$ 表おもて达为在ざい算さん子こ谱上うえ的てき坐すわ标函数すう关于投影とうえい值测度ど的てき积分。当とう该正规算子こ是ぜ紧的てき，这个版本はんぽん的てき谱定理ていり退化たいか为上面めん的てき有限ゆうげん维谱定理ていり，只ただ是ぜ算さん子こ表ひょう达为可能かのう为无限げん多た的てき投影とうえい的てき线性组合。

一般自伴算子的谱定理

很多数学すうがく分析ぶんせき中なか的てき重要じゅうよう线性算さん子こ，例れい如微分びぶん算さん子こ，是ぜ无界的てき。对于这类情じょう况的自じ伴とも算さん子こ也有やゆう一いち个谱定理ていり。例れい如，任にん何なん常つね系けい数すう微分びぶん算さん子こ酉とり等とう价于乘法じょうほう算さん子こ。事こと实上，实现这一等价的酉算子就是傅でん立たて叶かのう变换；该乘法ほう算さん子こ是ぜ一いち类傅でん立たて叶かのう乘じょう子こ。

参看さんかん

矩のり阵分解ぶんかい
标准型がた
若わか尔当分解ぶんかい，谱分解ぶんかい是ぜ其特例れい。
奇き异值分解ぶんかい，谱定理ていり到いた任意にんい矩のり阵的推广。
矩のり阵特征せい分解ぶんかい

参考さんこう

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, volume 70, number 3 (1963), pages 241–247