在微分几何中,黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式,更普遍的,它可以表示有仿射联络的流形的曲率,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的,一个仿射联络)
(或者叫协变导数)由下式给出:
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521909ebf9b30c4cfb21369a3a25d3ed8dc5f7c)
这里
是一个流形切空间的线性变换;它对于每个参数都是线性的。
注意有些作者用相反的符号定义曲率.
如果
与
是坐标向量场则
所以公式简化为
![{\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62561fbb0cba8fd68c89c87a9da5c624138bbe1)
也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。
线性变换
也称曲率变换。
對稱性和恆等式
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进一步,由上式定义了如下的三重线性映射
![{\displaystyle R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4be689a1b1ed804c5cab8e3ccff7824c2e69c7)
映射
关于每一个自变量都是
线性的, 故
是
上的
型光滑张量场, 称之为仿射联络空间
的曲率张量.
在坐标向量场下,
可以表示为
![{\displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7ed0a75eceb0f4006c877a1a13b7d3c34ad467)
还可以定义四重线性映射,如下
![{\displaystyle R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4881b6a1b575638e903b640c67ba79ae133388be)
则映射
关于每一个自变量都是
线性的, 故
是黎曼流形
上的
型光滑张量场, 称之为黎曼流形
的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下,
可以表示为
![{\displaystyle R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f3b7259896dba1c83219b3f6b6adb9c7db7bd9)
- 注:上述纺射联络空间
上的曲率张量
与黎曼流形
上的黎曼曲率张量
是同一个对象的不同表现形式.
- 注
.
黎曼曲率张量有如下的对称性:
![{\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d13525524bc23856de91ff8cabce26fa6729d0)
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d42774b50669deda325ebec4315f4814f5e9d1)
![{\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e6d0ce8b2489e0187c6609b2bc1e9701a458d6)
最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity),因为和下面的比安基恒等式相像。
这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表,也就是给定说任何满足上述恒等式的张量,可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有
个独立分量。
另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
![{\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9aa22be40292bb4664669357735def785e21c0)
比安基恒等式(Bianchi identity),经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
![{\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6792f3802499dfcc9874a655502d24043388b6a)
给定流形某点的任一坐标表示,上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:
![{\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1a00bee64094fd402a275c917d6bd9c08a26a)
![{\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fca4705de16558c69eb0502664c38b8b19db8f)
- 第一(代數)比安基恒等式:
或等價地寫為![{\displaystyle R_{a[bcd]}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb4de7a05d09f4779185892bb1b1513134acebb)
- 第二(微分)比安基恒等式:
或等價地寫為![{\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c935e2110170c1c4567b2cedf93d746ca8b0a16)
其中方括号表示对下标的反對稱化,分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用,特别是广义相对论。