黎はじむ曼曲率りつ張はり量りょう

在ざい微分びぶん几何中なか，黎はじむ曼曲率りつ张量或ある黎はじむ曼張量りょう是ぜ表ひょう达黎はじむ曼流形がた的てき曲きょく率りつ的てき标准方式ほうしき，更さら普遍ふへん的てき，它可以表示ひょうじ有ゆう仿射联络的てき流ながれ形がた的てき曲きょく率りつ，包括ほうかつ无扭率りつ或ある有ゆう撓たわわ率りつ的てき。曲きょく率りつ张量通どおり过列れつ维-奇き维塔联络(更さら一般いっぱん的てき，一いち个仿射联络) $\nabla$ (或ある者もの叫さけべ协变导数)由よし下か式しき给出:

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.

这里 $R(u,v)$ 是ぜ一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数すう都と是ぜ线性的てき。

注意ちゅうい有ゆう些作者しゃ用よう相反あいはん的てき符号ふごう定てい义曲率りつ.

如果 $u=\partial /\partial x_{i}$ 与あずか $v=\partial /\partial x_{j}$ 是ぜ坐すわ标向量りょう场则 $[u,v]=0$ 所以ゆえん公式こうしき简化为

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w

也就是ぜ说曲率りつ张量衡量协变导数的てき反はん交换性せい。

线性变换 $w\mapsto R(u,v)w$ 也称曲きょく率りつ变换。

對稱たいしょう性せい和わ恆等こうとう式しき

进一いち步ほ,由ゆかり上うえ式しき定てい义了如下的てき三重线性映射

$R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,$

映うつ射い $R$ 关于每ごと一个自变量都是 $C^{\infty }$ 线性的てき, 故こ $R$ 是これ $M$ 上うえ的てき $(1,3)$ 型かた光こう滑すべり张量场, 称しょう之の为仿射しゃ联络空そら间 $(M,\nabla )$ 的てき曲きょく率りつ张量. 在ざい坐すわ标向量りょう场下， $R$ 可か以表示ひょうじ为

$R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$

还可以定义四重线性映射，如下

$R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),$

则映射しゃ $R$ 关于每ごと一个自变量都是 $C^{\infty }$ 线性的てき, 故こ $R$ 是ぜ黎はじむ曼流形がた $(M,g)$ 上うえ的てき $(0,4)$ 型かた光こう滑すべり张量场, 称しょう之の为黎曼流形がた $(M,g)$ 的てき黎はじむ曼曲率りつ张量. 在ざい坐すわ标向量りょう场下, $R$ 可か以表示ひょうじ为

$R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$

注ちゅう：上述じょうじゅつ纺射联络空そら间 $(M,\nabla )$ 上うえ的てき曲きょく率りつ张量 $R$ 与あずか黎はじむ曼流形がた $(M,g)$ 上うえ的てき黎はじむ曼曲率りつ张量 $R$ 是ぜ同どう一个对象的不同表现形式.
注ちゅう $R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}$ .

黎はじむ曼曲率りつ张量有ゆう如下的てき对称性せい:

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$
$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$
$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

最さい后きさき一いち个恒等式とうしき由ゆかり里さと奇き发现,但ただし是ぜ称しょう为第だい一いち比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき(First Bianchi identity)或ある代数だいすう比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき(Algebraic Bianchi identity)，因いん为和下面かめん的てき比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき相しょう像ぞう。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是ぜ给定说任何なん满足上述じょうじゅつ恒等こうとう式しき的てき张量，可か以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的てき计算表明ひょうめい这样一いち个张量りょう有ゆう $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 个独立どくりつ分量ぶんりょう。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}

比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき(Bianchi identity)，经常也叫第だい二に比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき(Second Bianchi identity)或ある微分びぶん比ひ安やす基もと恒等こうとう式しき(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数: