一 いち 個 こ 可 か 以
代表 だいひょう cis
函數 かんすう 的 てき 圖形 ずけい ,
藍色 あいいろ 是 ぜ 實數 じっすう 部 ぶ 、
橘 たちばな 色 しょく 是 ぜ 虛數 きょすう 部 ぶ
cis函數 かんすう 性質 せいしつ 奇偶 きぐう 性 せい N/A 定義 ていぎ 域 いき (-∞,∞) 到達 とうたつ 域 いき
|
cis
x
|
=
1
,
cis
x
∈
C
{\displaystyle \left|\operatorname {cis} x\right|=1\,,\operatorname {cis} x\in \mathbb {C} }
周期 しゅうき 2π ぱい 特定 とくてい 值 當 とう x=0 1 當 とう x=+∞ N/A 當 とう x=-∞ N/A 最大 さいだい 值 複數 ふくすう 無法 むほう 比 ひ 大小 だいしょう 最小 さいしょう 值 複數 ふくすう 無法 むほう 比 ひ 大小 だいしょう 其他性質 せいしつ 渐近线 N/A 根 ね N/A 臨界 りんかい 點 てん N/A 拐點 kπ ぱい 不動點 ふどうてん 0 k是 ぜ 一 いち 個 こ 整數 せいすう .
在 ざい 微 ほろ 积分学 がく 中 なか ,cis函數 かんすう 又 また 稱 しょう 純 じゅん 虛數 きょすう 指數 しすう 函數 かんすう ,是 ぜ 複 ふく 變 へん 函數 かんすう 的 てき 一 いち 种,和 わ 三角 さんかく 函數 かんすう 類似 るいじ ,其可以使用 しよう 正弦 せいげん 函數 かんすう 和 わ 餘弦 よげん 函數 かんすう
cis
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x}
來 らい 定義 ていぎ ,是 ぜ 一 いち 種 しゅ 實 じつ 變數 へんすう 複數 ふくすう 值函數 すう ,其中
i
{\displaystyle i}
為 ため 虛數 きょすう 單位 たんい ,而cis則 そく 為 ため c os + i s in的 てき 縮寫 しゅくしゃ 。
cis函數 かんすう 是 ぜ 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 等號 とうごう 右側 みぎがわ 的 てき 所 しょ 形 がた 的 てき 組合 くみあい 函數 かんすう 簡寫:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
其中i 表示 ひょうじ 虛數 きょすう 單位 たんい
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
。因 よし 此
cis
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}
[ 1] [ 2] [ 3]
cis符號 ふごう 最早 もはや 由 ゆかり 威 い 廉 かど ·哈密頓 とみ 在 ざい 他 た 於1866出版 しゅっぱん 的 てき 《Elements of Quaternions》中 ちゅう 使用 しよう [ 4] ,而Irving Stringham在 ざい 1893出版 しゅっぱん 的 てき 《Uniplanar Algebra》
[ 5] [ 6]
以及James Harkness和 わ Frank Morley在 ざい 1898出版 しゅっぱん 的 てき 《Theory of Analytic Functions》中 ちゅう 皆 みな 沿用了 りょう 此一符號 ふごう
[ 6] [ 7]
,其利用 りよう 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 將 はた 三角函數與複平面的指數函數連結起來。
cis函數 かんすう 主要 しゅよう 的 てき 功 こう 能 のう 為 ため 簡化某 ぼう 些數學 がく 表 ひょう 達 たち 式 しき ,透過 とうか cis函數 かんすう 可 か 以使部分 ぶぶん 數學 すうがく 式能 しきのう 更 さら 簡便 かんべん 地表 ちひょう 達 たち [ 4] [ 5] [ 8] ,例 れい 如傅里 さと 葉 は 變換 へんかん 和 わ 哈特利 り 變換 へんかん 的 てき 結合 けつごう [ 9] [ 10] [ 11] ,以及應用 おうよう 在 ざい 教學 きょうがく 上 じょう 時 じ ,因 いん 某 ぼう 些因素 もと (如課程 かてい 安 やす 排 はい 或 ある 課 か 綱 つな 需求)因 いん 故 こ 不能 ふのう 使用 しよう 指數 しすう 來 らい 表 ひょう 達 たち 數學 すうがく 式 しき 時 じ ,cis函數 かんすう 就能派 は 上 じょう 用 よう 場 じょう 。
cis函數 かんすう 的 てき 定 てい 义域是 ぜ 整 せい 个实数集 しゅう ,值域 是 これ 單位 たんい 複數 ふくすう ,絕對 ぜったい 值為 ため 1 的 てき 複數 ふくすう 。它是周期 しゅうき 函数 かんすう ,其最小正 おばさ 周期 しゅうき 为
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
。其图像 ぞう 关于原点 げんてん 对称。
上述 じょうじゅつ 文字 もじ 稱 しょう 它以類似 るいじ 三角函數的形式來定義函數的原因是,就如同 どう 三角 さんかく 函數 かんすう ,他 た 也算是 ぜ 一 いち 種 しゅ 比 ひ 值 ,複數 ふくすう 和 かず 其模的 てき 比 ひ 值:
cis
θ しーた
=
z
|
z
|
{\displaystyle \operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}}
,其中
z
{\displaystyle z}
是 これ 辐角 為 ため
θ しーた
{\displaystyle \theta }
的 てき 複數 ふくすう
因 いん 此,當 とう 一 いち 複數 ふくすう 的 てき 模 も 為 ため 1,其反函數 かんすう 就是辐角 (arg函數 かんすう )。
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 可視 かし 為 ため 求 もとむ 單位 たんい 複數 ふくすう 的 てき 函數 かんすう 。
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 的 てき 實數 じっすう 部分 ぶぶん 和 わ 餘弦 よげん 函數 かんすう 相 あい 同 どう 。
cis函數 かんすう 定義 ていぎ 在 ざい 複數 ふくすう 。圖 ず 中 ちゅう ,顏色 かおいろ 代表 だいひょう 辐角,高 こう 代表 だいひょう 模 も
d
d
z
cis
z
=
i
cis
z
=
i
e
i
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}}
[ 1] [ 12]
∫
cis
z
d
z
=
−
i
cis
z
=
−
i
e
i
z
{\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}}
[ 1]
根據 こんきょ 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき ,cis函數 かんすう 有 ゆう 以下 いか 性質 せいしつ :
cis
(
x
+
y
)
=
cis
x
cis
y
{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y}
[ 13]
cis
(
x
−
y
)
=
cis
x
cis
y
{\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}}
上述 じょうじゅつ 性質 せいしつ 是 ぜ 當 とう
x
{\displaystyle x}
與 あずか
y
{\displaystyle y}
都 みやこ 是 ただし 複數 ふくすう 時 じ 成立 せいりつ 。在 ざい
x
{\displaystyle x}
與 あずか
y
{\displaystyle y}
都 みやこ 是 ただし 實數 じっすう 時 じ ,有 ゆう 以下 いか 不等式 ふとうしき :
|
cis
x
−
cis
y
|
≤
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.}
[ 13]
由 よし 於
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 的 てき 值為「餘弦 よげん 加 か 上 じょう 虛數 きょすう 單位 たんい 倍 ばい 的 てき 正弦 せいげん 」,取 と 其英文 えいぶん 縮寫 しゅくしゃ c osine and i maginary unit s ine,故 こ 以
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
來 らい 表示 ひょうじ 該函數 すう 。
在 ざい 數學 すうがく 上 じょう ,為 ため 了簡 りょうけん 化 か 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ }
,因 いん 此將歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 以類似 るいじ 三角函數的形式來定義函數,給 きゅう 出 で 了 りょう cis函數 かんすう 的 てき 定義 ていぎ [ 1] [ 9] [ 8] [ 2] [ 14] [ 10] [ 11] [ 15] :
cis
θ しーた
=
cos
θ しーた
+
i
sin
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta }
並 なみ 且一般 いっぱん 定義 ていぎ 域 いき 為 ため
θ しーた
∈
R
{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}
,值域為 ため
θ しーた
∈
C
{\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}
。
當 とう
θ しーた
{\displaystyle \theta }
值為複數 ふくすう 時 じ ,
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 仍然是 ぜ 有效 ゆうこう 的 てき ,因 いん 此可利用 りよう cis函數 かんすう 將 しょう 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 推廣到 いた 更 さら 複雜 ふくざつ 的 てき 版本 はんぽん 。[ 16]
在 ざい 數學 すうがく 上 じょう ,為 ため 了 りょう 方便 ほうべん 起 おこり 見 み ,可 か 以將棣莫弗 どる 公式 こうしき 寫 うつし 成 なり 以下 いか 形式 けいしき :
cis
n
(
x
)
=
cis
(
n
x
)
{\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}
跟其他 た 三角 さんかく 函數 かんすう 類似 るいじ ,可 か 以用e 的 てき 指數 しすう 來 らい 表示 ひょうじ ,依 よ 照 あきら 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 給 きゅう 出 で :
cis
θ しーた
=
e
i
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
的 てき 反 はん 函數 かんすう :
arccis
x
{\displaystyle \operatorname {arccis} x}
,當 とう 代入 だいにゅう 模 も 為 ため 1的 てき 複數 ふくすう 時 じ ,所得 しょとく 的 てき 值是其輻角 かく
類似 るいじ 其他三 さん 角 かく 函數 かんすう ,
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
的 てき 反 はん 函數 かんすう 也可以用自然 しぜん 對數 たいすう 來 らい 表示 ひょうじ
arccis
x
=
−
i
ln
x
{\displaystyle \operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,}
當 とう 一 いち 複數 ふくすう 經過 けいか 符號 ふごう 函數 かんすう 後 こう 代入 だいにゅう
arccis
x
{\displaystyle \operatorname {arccis} x}
可 か 得 とく 輻 や 角 かく 。
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 的 てき 倍角 ばいかく 公式 こうしき 似 に 乎比三角 さんかく 函數 かんすう 簡單 かんたん 許多 きょた
cis
θ しーた
2
=
(
1
+
i
)
+
(
1
−
i
)
cos
θ しーた
sin
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}}
cis
θ しーた
2
=
cis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}}
cis
2
θ しーた
=
cis
2
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta }
cis
n
θ しーた
=
cis
n
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta }
cis
n
θ しーた
=
cis
n
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta }
cocis函數 かんすう ,正 せい 好 こう 跟cis上下 じょうげ 顛倒 てんとう ,周期 しゅうき 相 しょう 同 どう ,但 ただし 是 ぜ 位 い 移 うつり 了 りょう
π ぱい
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
就如同 どう 三角 さんかく 函數 かんすう ,我 わが 們可以令:
cocis
θ しーた
=
cos
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
+
i
sin
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
=
sin
θ しーた
+
i
cos
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta }
,其可用 よう 於誘導 ゆうどう 公式 こうしき 來 き 化 か 簡某些特定 とくてい 的 てき
cis
{\displaystyle \operatorname {cis} }
函數 かんすう 的 てき 式子 しょくし 。
至 いたり 於指數 すう 定義 ていぎ ,經過 けいか 正弦 せいげん 和 わ 餘弦 よげん 的 てき 指數 しすう 定義 ていぎ 得 どく :
cocis
θ しーた
=
(
1
−
i
)
e
i
θ しーた
+
(
1
+
i
)
e
−
i
θ しーた
2
{\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}}
有 ゆう 恆等 こうとう 式 しき :
cis
(
−
θ しーた
)
=
−
i
cocis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta }
cis
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
=
cocis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta }
cis
(
π ぱい
2
+
θ しーた
)
=
i
cis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta }
cis
(
π ぱい
+
θ しーた
)
=
−
cis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta }
cocis
(
−
θ しーた
)
=
i
cis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta }
cocis
(
π ぱい
2
−
θ しーた
)
=
cis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta }
cocis
(
π ぱい
2
+
θ しーた
)
=
−
i
cocis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta }
cocis
(
π ぱい
+
θ しーた
)
=
−
cocis
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta }
cish函數 かんすう (
cosh
+
i
sinh
{\displaystyle \cosh +i\sinh }
)在 ざい 幾何 きか 意義 いぎ 上 じょう 與 あずか cis函數 かんすう 對應 たいおう 的 てき 雙 そう 曲 きょく 函數 かんすう 不同 ふどう 。在 ざい 雙 そう 曲 きょく 幾何 きか 中 ちゅう ,與 あずか 歐 おう 幾里 いくさと 得 とく 幾何 きか 對應 たいおう cis函數 かんすう 應 おう 為 ため :
e
θ しーた
=
cosh
(
θ しーた
)
+
sinh
(
θ しーた
)
{\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )}
然 しか 而當中 ちゅう 的 てき
i
{\displaystyle i}
若 わか 定義 ていぎ 為 ため 負 まけ 一 いち 的 てき 平方根 へいほうこん ,則 のり 其會變 へん 為 ため [ 17] :
cish
θ しーた
=
cosh
(
θ しーた
)
+
i
sinh
(
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )}
雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう
在 ざい 一般 いっぱん 的 てき 情況 じょうきょう 下 か ,cis函數 かんすう 對應 たいおう 的 てき 雙 そう 曲 きょく 函數 かんすう 定義 ていぎ 域 いき 和 わ 值域 皆 みな 為 ため 實數 じっすう ,但 ただし 若 わか 定義 ていぎ 雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう ,考慮 こうりょ 數 すう
z
=
x
+
j
y
{\displaystyle z=x+jy}
,其中
x
,
y
{\displaystyle x,y}
是 これ 實數 じっすう ,而量
j
{\displaystyle j}
不 ふ 是 ぜ 實數 じっすう ,但 ただし
j
2
{\displaystyle j^{2}}
是 ぜ 實數 じっすう 。選 えらべ 取 ど
j
2
=
−
1
{\displaystyle j^{2}=-1}
,得 え 到 いた 一般 いっぱん 複數 ふくすう 。取 と
+
1
{\displaystyle +1}
的 てき 話 はなし ,便 びん 得 え 到 いた 雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう 。
而雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう 有 ゆう 對應 たいおう 的 てき 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき :
e
j
θ しーた
=
cosh
(
θ しーた
)
+
j
sinh
(
θ しーた
)
{\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}
cish
θ しーた
=
cosh
(
θ しーた
)
+
j
sinh
(
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}
其中j為 ため 雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう 。
因 いん 此雙 そう 曲 きょく cis函數 かんすう 得 え 到 いた 的 てき 值為雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう ,相反 あいはん 的 てき 若 わか 將 はた 其反 はん 函數 かんすう 帶 おび 入 にゅう 模 も 為 ため 一 いち 的 てき 雙 そう 曲 きょく 複數 ふくすう 可 か 得 とく 其輻 や 角 かく 。
如此一 いち 來 らい ,值域將 しょう 會 かい 變成 へんせい 分裂 ぶんれつ 四 よん 元 げん 数 すう 。
cas函數 かんすう 是 ぜ 一 いち 個 こ 以類似 るいじ cis函數 かんすう 的 てき 概念 がいねん 定義 ていぎ 的 てき 一 いち 個 こ 函數 かんすう ,為 ため 雷 かみなり 夫 おっと ·赫特利 り 於1942提出 ていしゅつ ,其定義 ていぎ 為 ため
c
a
s
(
x
)
:=
cos
x
+
sin
x
{\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x}
,是 ぜ 一種實變數實值函數,而cas為 ため 「cosine -and-sine 」的 てき 縮寫 しゅくしゃ ,其表示 ひょうじ 了 りょう 實數 じっすう 值的赫特利 り 變換 へんかん [ 18] [ 19] :
c
a
s
(
x
)
=
cos
x
+
sin
x
{\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x}
cas函數 かんすう 存在 そんざい 一 いち 些恆等式 とうしき :
2
cas
(
a
+
b
)
=
cas
(
a
)
cas
(
b
)
+
cas
(
−
a
)
cas
(
b
)
+
cas
(
a
)
cas
(
−
b
)
−
cas
(
−
a
)
cas
(
−
b
)
.
{\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,}
角 すみ 和 かず 公式 こうしき :
cas
(
a
+
b
)
=
cos
(
a
)
cas
(
b
)
+
sin
(
a
)
cas
(
−
b
)
=
cos
(
b
)
cas
(
a
)
+
sin
(
b
)
cas
(
−
a
)
{\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,}
微分 びぶん :
cas
′
(
a
)
=
d
d
a
cas
(
a
)
=
cos
(
a
)
−
sin
(
a
)
=
cas
(
−
a
)
.
{\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}
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