相そう量りょう

串くし联RLC电路及其各自かくじ的てき相そう量りょう图

物理ぶつり和わ工程こうてい领域中ちゅう，常会じょうかい使用しよう到いた正弦せいげん信号しんごう（例れい如交流こうりゅう电路分析ぶんせき），这时可か以使用しよう相しょう量りょう来らい简化分析ぶんせき。相そう量りょう（英えい语：phasor）是ぜ振幅しんぷく（A）、相そう位い（θしーた）和かず频率（ωおめが）均ひとし为非ひ时变的てき正弦せいげん波は的てき一いち个复数すう，是ぜ更さら一般いっぱん的てき概念がいねん解析かいせき表示法ひょうじほう的てき一いち个特例れい。而将正弦せいげん信号しんごう用よう复数表示ひょうじ后きさき进行电路分析ぶんせき的てき方法ほうほう称しょう为相そう量りょう法ほう，而在相しょう量りょう图中利用りよう向こう量りょう表示ひょうじ正弦せいげん交流こうりゅう电的图解法ほう称しょう为向むかい量りょう图法。相そう量りょう法ほう可か以将这几个参数すう的てき相しょう互依赖性降くだ低てい，使つかい这3个参数すう相互そうご独立どくりつ，这样就能简化特定とくてい的てき计算。Phasor是ぜPhase Vector的てき混成こんせい词。Phasor也被称しょう作さく复振幅はば，在ざい比ひ较古老ころう的てき英文えいぶん工程こうてい文献ぶんけん当とう中ちゅう，也常被ひ写うつし作さくsinor，甚至写うつし作さくcomplexor。

参さん数すう中ちゅう的てき频率参さん数すう对正弦せいげん波は的てき线性组合的てき所有しょゆう分量ぶんりょう都と一いち样，若わか利用りよう相しょう量りょう法ほう将はた这一因子いんし提ひっさげ取ど出来でき，留とめ下か的てき只ただ是ぜ振幅しんぷく和わ相しょう位い信しん息いき的てき代数だいすう组合而不是ぜ三さん角かく函数かんすう的てき组合。同どう样，线性微分びぶん方かた程ほど的てき求もとめ解かい也可以通过相量りょう法ほう简化为代数すう运算。不ふ过因为要提ひっさげ取ど频率，所以ゆえん只ただ有ゆう同どう频率的てき正弦せいげん量りょう才能さいのう进行相しょう量りょう运算。由よし此可知ち，相そう量りょう是ぜ一いち种简化か的てき表示ひょうじ方法ほうほう，纪录一正弦波的振幅和相位资讯。因よし此，相そう量りょう一般指振幅和相位部分。

忽ゆるがせ略りゃく一些数学细节，相そう量りょう变换也可以看作さく是ぜ拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯变换的てき特定とくてい情じょう况，该变换还能のう同どう时导出でRLC电路的てき瞬まどか态响应。然しか而拉普ひろし拉ひしげ斯变换在数学すうがく上じょう应用较为困难，因いん而在只ただ需要じゅよう进行稳态分析ぶんせき时没有ゆう必要ひつよう使用しよう。

定てい义

正弦せいげん波は可か视为旋转矢や量りょう

通つう过欧おう拉ひしげ公式こうしき，我わが们可以将正弦せいげん信号しんごう表示ひょうじ为二复数函数かんすう项的和わ：

$A\cdot \cos(\omega t+\theta )={\frac {A\cdot e^{j(\omega t+\theta )}}{2}}+{\frac {A\cdot e^{-j(\omega t+\theta )}}{2}}$，

（其中A和わθしーた分ぶん别表波は的てき振幅しんぷく以及相そう位い，而其频率f则定义为${\frac {\omega }{2\pi }}$。）

也可单用实部表示ひょうじ：

${\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t}\right\}\\\end{aligned}}$

或ある可か单用虚きょ部ぶ表示ひょうじ：

${\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=A\cdot \sin(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}})\\&=\operatorname {Im} \left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta +{\tfrac {\pi }{2}})}\right\}\\&=\operatorname {Im} \left\{Ae^{j(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})}\cdot e^{j\omega t}\right\}\end{aligned}}$

更さら进一いち步ほ，若わか所しょ分析ぶんせき电路为线性せい，由ゆかり于讯号ごう源げん只ただ为单一いち固定こてい频率ωおめが而不产生其他杂项（例れい如谐波），因いん此可以只取と其复数すう的てき常数じょうすう部分ぶぶん$Ae^{j\theta }\,$，一般把这部分定义为相量。我わが们也可か以用另一种更精简的极坐标形式けいしき表示ひょうじ：$A\angle \theta \,$。

在ざい电机工程こうてい领域当とう中なか，相そう角かく通常つうじょう是ぜ以度ど来き定てい义，而非弧こ度ど；振幅しんぷく大小だいしょう则通常つうじょう是ぜ以方ほう均ひとし根ね定てい义，而非峰みね－峰ほう值。

正弦せいげん波は可か以被理解りかい成なり复平面めん上じょう的てき旋转矢や量りょう在ざい实轴上じょう的てき投影とうえい。这一矢量的模是振动的幅度，而矢量的りょうてき幅はば角かく是ぜ总相位い$\omega t+\theta$。相そう位い常数じょうすう$\theta$代表だいひょう复矢量りょう于$t=0$时刻与あずか实轴的てき夹角。

运算法ほう则

与あずか常数じょうすう（标量）相乘そうじょう

相そう量りょう$Ae^{j\theta }e^{j\omega t}\,$与あずか复常数すう$Be^{j\phi }\,$的てき乘じょう积也是ぜ一いち个相量りょう，这意味いみ着ぎ相しょう量りょう乘法じょうほう只ただ会かい改あらため变正弦せいげん波は的てき振幅しんぷく和わ相しょう位い：

${\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{j\theta }\cdot Be^{j\phi })\cdot e^{j\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{j(\theta +\phi )})\cdot e^{j\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}$

在ざい电子学がく中ちゅう，$Be^{j\phi }\,$是ぜ独立どくりつ于时间的阻抗，且并不ふ是ぜ另一相量的简短记法。 阻抗乘じょう以相量りょう电流可か得え到いた相あい量りょう电压。但ただし2个相量りょう相乘そうじょう或ある相そう量りょう乘じょう方かた运算的てき结果表示ひょうじ2个正弦せいげん波は的てき乘じょう积，这种运算是非ぜひ线性运算，会かい产生新せいしん的てき频率分量ぶんりょう。相そう量りょう记法只ただ能のう表示ひょうじ同どう一频率的系统，例れい如正弦せいげん波は模も拟的线性系けい统。

微分びぶん和わ积分

一いち个相量的りょうてき时间导数或ある积分可か以产生せい另一个相量りょう，例れい如：

${\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{j\theta }\cdot j\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{Ae^{j\theta }\cdot e^{j{\tfrac {\pi }{2}}}\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{j(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})}\cdot e^{j\omega t}\}\\&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}$

因いん此在相しょう量りょう表示法ひょうじほう中ちゅう，正弦せいげん波は的てき时间导数仅需要じゅよう与あずか常数じょうすう$j\omega =(e^{j{\tfrac {\pi }{2}}}\cdot \omega )\,$相乘そうじょう就能得え到いた；同どう样，对相量りょう进行积分运算也只需要じゅよう乘じょう以常数すう${\frac {1}{j\omega }}={\frac {e^{-j{\tfrac {\pi }{2}}}}{\omega }}\,$就能得え到いた；不ふ论是微分びぶん还是积分运算，时间变量因子いんし$e^{j\omega t}\,$均ひとし不ふ受影响。当とう利用りよう相しょう量りょう法ほう求もとめ解かい线性微分びぶん方かた程ほど时，我わが们只需要じゅよう将しょう方かた程ほど中ちゅう全部ぜんぶ项中的てき因子いんし$e^{j\omega t}\,$提ひさげ取出とりで来らい后きさき，计算完成かんせい后きさき将はた这一因子重新引入答案中，就可完成かんせい全部ぜんぶ求もとめ解かい。例れい如，求もとめ解かいRC电路中ちゅう电容上じょう的てき电压，可か建立こんりゅう下か列れつ微分びぶん方かた程ほど：

${\frac {d\ v_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)$

当とう电路中ちゅう的てき电压源げん是正ぜせい弦つる变化时：

$v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,$

可か以代换成如下方かた程ほど：

${\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\}\\\end{aligned}}$

$v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\},$

其中相しょう量りょう$V_{s}=V_{P}e^{j\theta },\,$，相そう量りょう$V_{c}\,$是ぜ需要じゅよう求もとめ取的とりてき未知みち量りょう。

利用りよう相しょう量的りょうてき简短记法，微分びぶん方かた程ほど可か化か简为：

$j\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}$

解かい得とく相しょう量りょう电容电压为：

$V_{c}={\frac {1}{1+j\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{j\theta })\,$

如上じょじょう所しょ示しめせ，结果为一个因子与$V_{s}\,$的てき乘じょう积，这代表だいひょう了りょう关联于$V_{P}\,$和わ$\theta \,$的てき$v_{C}(t)\,$的てき幅はば值和相しょう位い的てき不同ふどう之の处。

用よう极坐标形式しき表示ひょうじ，则结果はて为：

${\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-j\phi (\omega )}\,$，其中$\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)\,$。（简化的てき极坐标形式しき为：${\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\angle -\arctan(\omega RC)$）

因いん此得到いた电容电压为：

$v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))$

加法かほう

相あい量的りょうてき和かず是ただし由よし旋转矢や量りょう进行合成ごうせい得え到いた的てき

多た个相量りょう相しょう加か可か以得到いた另一个相量りょう，因いん为同频率的てき正弦せいげん波なみ相しょう加か可か得え到いた频率相しょう同どう的てき合成ごうせい正弦せいげん波は：

${\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{j\theta _{1}}e^{j\omega t}+A_{2}e^{j\theta _{2}}e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{j\theta _{1}}+A_{2}e^{j\theta _{2}})e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{j\theta _{3}})e^{j\omega t}\}\\&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}$

其中：

$A_{3}^{2}=(A_{1}\cos {\theta _{1}}+A_{2}\cos {\theta _{2}})^{2}+(A_{1}\sin {\theta _{1}}+A_{2}\sin {\theta _{2}})^{2},$

$\theta _{3}=\arctan {\left({\frac {A_{1}\sin {\theta _{1}}+A_{2}\sin {\theta _{2}}}{A_{1}\cos {\theta _{1}}+A_{2}\cos {\theta _{2}}}}\right)},$

由ゆかり复平面めん上うえ的てき馀弦定理ていり或ある角かく的てき和わ差さ恒等こうとう式しき也可得え到いた相あい同どう结果：

$A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta ),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),$

其中$\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}$。

这种计算方法ほうほう的てき关键是ぜA₃和わθしーた₃ 并不取と决于ωおめが或あるt，因いん为在这种情じょう况下才ざい可か以使用しよう相しょう量りょう法ほう。方ほう程ほど中なか的てき时间和わ频率因子いんし可か以在计算时去掉，在ざい相そう量りょう运算完成かんせい后きさき的てき结果中ちゅう乘じょう以这一いち因子いんし即そく可か。若わか使用しよう极坐标表示法ひょうじほう，运算的てき形式けいしき则为：

$A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.$

另外一个考虑问题的角度是将加法运算视为[A₁ cos(ωおめがt+θしーた₁), A₁ sin(ωおめがt+θしーた₁)]与あずか[A₂ cos(ωおめがt+θしーた₂), A₂ sin(ωおめがt+θしーた₂)]的矢まとや量りょう和わ，最さい终得到いた矢や量りょう[A₃ cos(ωおめがt+θしーた₃), A₃ sin(ωおめがt+θしーた₃)]，如上じょじょう图所示しめせ。

三波发生完全相消干涉的相量图

在ざい物理ぶつり学がく中ちゅう，当とう正弦せいげん波は发生相しょう长或相しょう消けし干涉かんしょう时，可か被ひ视为相しょう量りょう加法かほう。若わか将しょう3个大小しょう相当そうとう的矢まとや量りょう首尾しゅび相しょう接せっ，得とく到いた的てき是ぜ一いち个等とう边三角形さんかっけい，因いん此每2个相量りょう间的夹角是ぜ120°（2πぱい/3弧こ度ど），即そく波なみ长的三さん分ふん之の一いち^λらむだ/₃。因よし此每一波形之间的相位差必须为120°时，正弦せいげん波は才能さいのう发生完全かんぜん相しょう消しょう干涉かんしょう，而这种相位い条件じょうけん与あずか三さん相そう交流こうりゅう电是ぜ相しょう同どう的てき。用よう公式こうしき可か表示ひょうじ为：

$\cos(\omega t)+\cos(\omega t+{\frac {2\pi }{3}})+\cos(\omega t+{\frac {4\pi }{3}})=0\,$。

在ざい三个波相消干涉的情况下，第だい一个波和第三个波的相位相差240°，而两个波发生相しょう消しょう干涉かんしょう的てき条件じょうけん是ぜ相しょう位相いそう差さ180°时。若わか多た个波进行相しょう消しょう干涉かんしょう，第だい一个相量和最后一个相量几乎平行。这意味いみ着ぎ对于多た个波源げん的てき情じょう况，第だい一个波和最后一个波发生相消干涉的条件是相位相差360°，即そく一个全波长$\lambda$。因よし此，单缝衍射的てき极小值位置いち是ぜ光ひかり程ほど差さ为全波は长的位置いち。

相そう量りょう图

电机工程こうてい师、电子工程こうてい师、电气工程こうてい师以及飞机つくえ工程こうてい师都使用しよう相しょう量りょう图使复常数すう和わ相しょう量りょう变量可か视化。与あずか矢や量りょう一いち样，在ざい图纸或ある计算机つくえ中ちゅう都と用よう箭や头代表だいひょう相しょう量りょう。相そう量りょう可か以用指数しすう形式けいしき或ある极坐标形式しき表示ひょうじ，各かく有ゆう优点。

电路定律ていりつ

用よう相しょう量りょう法ほう表示ひょうじ正弦せいげん交流こうりゅう电后，就可以将直流ちょくりゅう电路的てき分析ぶんせき方法ほうほう直接ちょくせつ用よう于分析ぶんせき交流こうりゅう电路，这些基本きほん定律ていりつ如下：

• 欧おう姆定律ていりつ：V=IZ，其中Z是ぜ复阻抗。
• 在ざい交流こうりゅう电路中ちゅう，有功ゆうこう功こう率りつP表示ひょうじ输入电路的てき平均へいきん功こう率りつ，无功功こう率りつQ是ぜ使し电路内ない电场与磁场进行能のう量りょう交换而需要じゅよう的てき电功率りつ，不ふ对外做功。这样我わが们可以定义复功率りつS=P+jQ，其幅值就是ぜ视在功こう率りつ。由よし此，由よし相しょう量りょう表示ひょうじ的てき复功率りつ为：S=VI ^*，其中I ^*是これI 的てき共きょう轭复数すう）。
• 基もと尔霍夫おっと电路定律ていりつ的てき复数形式けいしき也可用よう于相量りょう计算中ちゅう。

由よし以上いじょう定律ていりつ，我わが们可以使用しよう相しょう量りょう法ほう进行阻性电路分析ぶんせき，可か分析ぶんせき包含ほうがん电阻、电容和わ电感的てき单一频率交流こうりゅう电路。分析ぶんせき多た频率线性交流こうりゅう电路和わ不同ふどう波形はけい的てき交流こうりゅう电路时，可か以先将はた电路化か为正弦せいげん波は分量ぶんりょう的てき组合（由ゆかり叠加定理ていり满足），然しか后きさき对每一频率情况的正弦波进行分析，找出电压和わ电流。

电力工程こうてい

在ざい三さん相そう交流こうりゅう电力系けい统的分析ぶんせき中ちゅう，通常つうじょう会かい有ゆう一组相量被定义为3个复单位立方根りっぽうこん，并以图表示ひょうじ为角0°、120°以及240°处的单位幅はば值。将はた多おお相あい交流こうりゅう电路的てき量りょう化か为相量りょう后きさき，平衡へいこう电路可か被ひ化か简，而非平衡へいこう电路可か被ひ当とう作さく对称电路的てき代数だいすう组合。这种方法ほうほう简化了りょう电学计算中ちゅう计算电压降、功こう率りつ流りゅう以及短たん路ろ电流所しょ需的工作こうさく。在ざい电力系けい统分析ぶんせき中ちゅう，相そう位い角かく的てき单位常つね为度ど，而幅值大小しょう则通常つうじょう是ぜ以方ほう均ひとし值而不是ぜ峰みね值来き定てい义。

同どう步ふ相しょう量りょう技わざ术中使用しよう数字すうじ式しき仪表来らい测量相しょう量りょう，先さき进的测量设备包括ほうかつ同どう步ふ相しょう量りょう测量装置そうち（PMU），能のう直接ちょくせつ即刻そっこく测得某ぼう节点的てき相しょう量りょう，不ふ需要じゅよう花はな费时间进行ぎょう大量たいりょう的てき计算。在ざい输电系けい统中，相そう量りょう一般被广泛地认为是表示输电系统电压。相あい量的りょうてき微小びしょう变化是ぜ功こう率りつ流りゅう和わ系けい统稳定性的ていせいてき灵敏指示しじ参さん数すう。

参考さんこう文献ぶんけん

• Douglas C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. 1989. ISBN 0-13-666322-2 （英えい语）. 

外部がいぶ链接

• （英文えいぶん）Phasor Phactory （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• （英文えいぶん）Visual Representation of Phasors （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）