巴ともえ塔とう林りん-維爾可か維斯基もと代數だいすう

Batalin-Vilkovisky代數だいすう（Batalin–Vilkovisky formalism，簡稱BV代數だいすう）是ぜBatalin和わVilkovisky在ざい研究けんきゅう規範きはん場じょう的てき量子りょうし化か過程かてい中ちゅう發現はつげん的てき一いち種しゅ代數だいすう結構けっこう^[1]^[2]。他た們所提出ていしゅつ的てき量子りょうし化か方法ほうほう（稱しょう為ためBV formailism或ある者ものBV quantization），是ぜ一種十分普遍而且有效的量子化方法，正せい受到越來ごえく越えつ多た的てき量子りょうし場じょう論ろん學がく家か和わ弦つる理論りろん家いえ的てき重視じゅうし和わ應用おうよう，而BV代だい數也かずや越來ごえく越えつ受到數學すうがく家か們的重視じゅうし。

定義ていぎ

設しつらえ $\;V\;$ 是これ數かず域いき $\;k\;$ 上うえ的てき一いち個こ分ぶん次じ(graded)線せん性せい空間くうかん。 $\;V\;$ 上うえ的てき一いち個こBV代數だいすう結構けっこう是ぜ三さん元げん組ぐみ $\;(V,\bullet ,\Delta )\;$ ，滿足まんぞく以下いか兩個りゃんこ關係かんけい：

$\;(V,\bullet )\;$ 是これ $\;k\;$ 上うえ的てき分ぶん次じ、交換こうかん、結合けつごう的てき代數だいすう(algebra)；
$\;\Delta \;$ 是ぜ關せき於 $\;\bullet \;$ 的てき二に階かい微分びぶん算さん子こ，即そく $\;\Delta \;$ 的てき度數どすう為ため1， $\;\Delta ^{2}=0\;$ ，並なみ且對任にん給きゅう的てき $\;a,b,c\in V\;$ ,

\;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}

在ざい上面うわつら的てき定義ていぎ中ちゅう，如果令れい

\;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;

則のり可か以驗證しょう， $\;(V,\bullet ,[\;,\;])\;$ 形成けいせい一いち個こGerstenhaber代數だいすう。因よし此可以說，BV代數だいすう是ぜ一類いちるい特殊とくしゅ的てきGerstenhaber代數だいすう。不ふ僅如此， $\;\Delta \;$ 還かえ是ぜ關せき於 $\;[\;,\;]\;$ 的てき導しるべ子こ(derivation)，即そく

\;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;

使つかい得とく $\;(V,[\;,\;],\Delta )$ 形成けいせい一いち個こ微分びぶん分ぶん次じ李り代數だいすう(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例れい子こ

迄まで今こん為ため止とめ所しょ發現はつげん的てきBV代數だいすう的てき例れい子こ幾いく乎都與あずか數學すうがく物理ぶつり有ゆう關せき。

設しつらえ $\;M\;$ 是ぜ一いち個こ奇き的てき辛からし流りゅう形がた(odd symplectic manifold)，記き $\;C^{\infty }(M)\;$ 為ため $\;M\;$ 上光かみみつ滑すべり函數かんすう組成そせい的てき集合しゅうごう。我わが們有 $\;C^{\infty }(M)\;$ 形成けいせい一個分次交換結合的代數，記き其乘法ほう為ため $\;\bullet \;$ 。設しつらえ $\;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;$ 為ため $\;M\;$ 上うえ的てき一いち組くみDarboux坐すわ標しるべ，令れい
$\;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;$
則のり可か以驗證しょう， $\;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;$ 形成けいせい一いち個こBV代數だいすう，參まいり見み^[3]^[4]；
田た剛つよし(G. Tian)在ざい關せき於卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた(Calabi-Yau manifold)的てき復ふく結構けっこう的てき形かたち變へん空間くうかん是ぜ光こう滑すべり的てき證明しょうめい中ちゅう，實際じっさい上じょう證明しょうめい了りょう控ひかえ制せい復ふく結構けっこう形かたち變へん的てき微分びぶん分ぶん次じ李り代數だいすう是ぜ一いち個こBV代數だいすう^[5]；
B. Lian和わG. Zuckerman證明しょうめい了りょう量子りょうし場じょう論ろん的てき數學すうがく背景はいけい(background，指ゆび從したがえ量子りょうし場じょう論ろん中ちゅう抽象ちゅうしょう出來でき的てき代數だいすう結構けっこう)有ゆう一いち個こBV代數だいすう結構けっこう^[6]；
E. Getzler用よう不同ふどう於Lian和わZuckerman的てき方法ほうほう證明しょうめい，一いち個こ二に維拓ひらけ撲なぐ共きょう形かたち場じょう論ろん(TCFT，此處ここら採用さいようSegal的てき定義ていぎ)的てき同調どうちょう群ぐん有ゆう一いち個こ自然しぜん的てきBV代數だいすう結構けっこう^[7]；
M. Chas和わD. Sullivan證明しょうめい，一いち個こ流りゅう形がた的てき自由じゆう環たまき路ろ空間くうかん(free loop space)的てき同調どうちょう群ぐん上じょう有ゆう一いち個こBV代數だいすう結構けっこう^[8]。

背景はいけい

正せい如上じょじょう面めん所しょ述じゅつ，BV代數だいすう跟量子りょうし場じょう論ろん有ゆう密みつ切きり的てき聯れん繫。事實じじつ上じょう，對たい一些數學物理學家來說，一個量子場論就指一個BV代數だいすう以及其中一いち個こ元素げんそ $\;S\;$ ，該元素げんそ滿足まんぞく以下いか方かた程ほど：

\;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;

等價とうか於

\;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;

稱たたえ為ためMaster方かた程ほど，有ゆう時候じこう $\;S\;$ 必須ひっす滿足まんぞく所謂いわゆる的てき量子りょうしMaster方かた程ほど，即そく

\;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;

另外，BV代數だいすう跟弦理論りろん裡うら面めん的てき鏡かがみ像ぞう對稱たいしょう(Mirror Symmetry)也有やゆう密みつ切きり的てき關係かんけい。事實じじつ上じょう，鏡かがみ像ぞう對稱たいしょう的てきA模型もけい和わB模型もけい都と有ゆう一いち個こBV代數だいすう，而它們相應おう的てきMaster方かた程ほど的てき解かい空間くうかん上うえ都と有ゆう一いち個こ所謂いわゆる弗どる羅ら貝かい尼あま烏がらす斯流形がた的てき結構けっこう。鏡かがみ像ぞう對稱たいしょう的てき一いち種しゅ表ひょう述じゅつ就是，這兩個りゃんこFrobenius流りゅう形がた是ぜ同どう構的。

BV代數だいすう的てき研究けんきゅう是ぜ目前もくぜん數學すうがく特別とくべつ是ぜ數學すうがく物理ぶつり中ちゅう一いち個こ比較ひかく活躍かつやく的てき領域りょういき，關せき於它的てき研究けんきゅう仍在進行しんこう之の中なか。

參考さんこう文獻ぶんけん

^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
^ I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
^ A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
^ D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
^ G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
^ B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
^ E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
^ M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.

[1] I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.

[2] I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.

[3] A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088

[4] D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057

[5] G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.

[6] B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.

[7] E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.

[8] M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.

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