倍ばい立方りっぽう

倍ばい立方りっぽう問題もんだい

倍ばい立方りっぽう是これ古希こき臘數學すうがく裏うら尺せき規ただし作圖さくず領域りょういき當とう中なか的てき著名ちょめい問題もんだい，和わ三さん等分とうぶん角かく、化か圓えん為ため方かた問題もんだい被ひ並列へいれつ為ため古希こき臘尺規ぶんまわし作圖さくず三さん大だい難題なんだい。尺せき規ただし作圖さくず是ぜ古希こき臘人的てき數學すうがく研究けんきゅう課題かだい之の一いち，是ぜ對たい具體ぐたい的てき直ちょく尺しゃく和わ圓まどか規ただし畫圖えず可能かのう性せい的てき抽象ちゅうしょう化か，研究けんきゅう是ぜ否ひ能のう用よう規定きてい的てき作圖さくず法ほう在ざい有限ゆうげん步ふ內達到いた給きゅう定じょう的てき目標もくひょう。倍ばい立方りっぽう問題もんだい的てき內容是ぜ：

「能否のうひ用よう尺せき規ただし作圖さくず的てき方法ほうほう作出さくしゅつ一いち立方體りっぽうたい的てき稜りょう長ちょう，使つかい該立方體りっぽうたい的てき體積たいせき等とう於一給きゅう定立ていりつ方體ほうたい的てき兩りょう倍ばい？」

倍ばい立方りっぽう問題もんだい的てき實質じっしつ是ぜ能否のうひ通過つうか尺じゃく規ぶんまわし作圖さくず從したがえ單位たんい長ちょう度ど出發しゅっぱつ作出さくしゅつ${\sqrt[{3}]{2}}$的てき問題もんだい。

三さん大だい難題なんだい提出ていしゅつ後ご，在ざい漫長的てき兩りょう千せん餘よ年ねん中ちゅう，曾有眾多的てき嘗試，但ただし沒ぼっ有人ゆうじん能のう夠給出で嚴格げんかく的てき答案とうあん。隨ずい着ぎ十じゅう九世紀群論和域論的發展，法ほう國こく數學すうがく家か皮かわ埃ほこり爾なんじ·汪ひろし策さく爾なんじ首くび先さき利用りよう伽羅きゃら瓦かわら理論りろん證明しょうめい，三等分角問題的答案是否定的。運用うんよう類似るいじ的てき方法ほうほう，可か以證明しょうめい倍ばい立方りっぽう問題もんだい的てき答案とうあん同樣どうよう是ぜ否定ひてい的てき。具體ぐたい來らい說せつ，給きゅう定てい單位たんい長ちょう度ど後ご，所有しょゆう能のう夠經由けいゆ尺じゃく規ぶんまわし作圖さくず達たち到いた的てき長ちょう度ど值被稱たたえ為ため規矩きく數すう，而如果はて能のう夠作出で${\sqrt[{3}]{2}}$，那な麼就能のう做出不ふ屬ぞく於規矩きく數すう的てき長ちょう度ど，從したがえ而反證はんしょう出で通過つうか尺じゃく規ぶんまわし作圖さくず作出さくしゅつ給きゅう定立ていりつ方體ほうたい體積たいせき兩りょう倍ばい的てき立方體りっぽうたい是ぜ不可能ふかのう的てき。

如果不ふ將しょう手段しゅだん局限きょくげん在ざい尺せき規ただし作圖さくず法ほう中ちゅう，放ひ寬ひろし限げん制せい或ある藉助更さら多た的てき工具こうぐ的てき話ばなし，作出さくしゅつ給きゅう定立ていりつ方體ほうたい體積たいせき兩りょう倍ばい的てき立方體りっぽうたい是ぜ可か行ぎょう的てき。

背景はいけい簡介

相關そうかん傳說でんせつ

傳說でんせつ中ちゅう，這問題もんだい的てき來らい源げん，可か追おい溯さかのぼ到いた公おおやけ元もと前まえ429年ねん。一場瘟疫襲擊了希臘提ひさげ洛らく島とう（Delos），造成ぞうせい四よん分ふん之の一いち的てき人口じんこう死亡しぼう。島民とうみん們去神しん廟びょう請示阿波あわ羅ら的てき旨むね意い，神かみ諭さとし說せつ：要よう想そう遏止瘟疫，得とく將はた阿波あわ羅ら神殿しんでん中ちゅう那な正せい立方りっぽう的てき祭壇さいだん加か大だい一いち倍ばい。人ひと們便把わ每ごと邊あたり增長ぞうちょう一いち倍ばい，結果けっか體積たいせき當然とうぜん就變成へんせい了りょう8倍ばい，瘟疫依よ舊きゅう蔓延まんえん；接着せっちゃく人じん們又試ためし著ちょ把わ體積たいせき改あらため成原なりはら來らい的てき2倍ばい，但ただし形狀けいじょう卻變為ため一いち個こ長ちょう方體ほうたい……第だい羅ら斯島人じん在ざい萬般ばんぱん無む奈的情況じょうきょう下か，只ただ好こう鼓こ足あし勇氣ゆうき到いた雅典まさのり去さ求もとめ救すくい於當時とうじ著名ちょめい的てき學者がくしゃ柏かしわ拉ひしげ圖ず。

開始かいし，柏かしわ拉ひしげ圖ず和かず他た的てき學生がくせい認みとめ為ため這個問題もんだい很容易えき。他た們根據こんきょ平時へいじ的てき經驗けいけん，覺さとし得とく利用りよう尺せき規ただし作圖さくず可か以輕而易舉地作さく一いち個こ正方形せいほうけい，使つかい它的面積めんせき等とう於已知ち正方形せいほうけい的てき2倍ばい，那な麼作一いち個こ正方せいほう體たい，使つかい它的體積たいせき等とう於已知正ともまさ方體ほうたい體積たいせき的てき2倍ばい，還かえ會かい難なん嗎?

尺せき規ただし作圖さくず法ほう

主しゅ條目じょうもく：尺せき規ただし作圖さくず

在ざい敘述倍ばい立方りっぽう問題もんだい前まえ，首しゅ先さき需要じゅよう介かい紹尺せき規ただし作圖さくず。尺せき規ただし作圖さくず問題もんだい是ぜ從したがえ現實げんじつ中ちゅう具體ぐたい的てき「直ちょく尺せき和かず圓えん規ぶんまわし畫圖えず可能かのう性せい」問題もんだい抽象ちゅうしょう出來でき的てき數學すうがく問題もんだい，將はた現實げんじつ中ちゅう的てき直ちょく尺せき和かず圓えん規ぶんまわし抽象ちゅうしょう為ため數學すうがく上じょう的てき設定せってい，研究けんきゅう的てき是能これよし不能ふのう在ざい若干じゃっかん個こ具體ぐたい限げん制せい之の下した，在ざい有限ゆうげん的てき步ふ驟內作出さくしゅつ給きゅう定じょう的てき圖形ずけい、結構けっこう或ある其他目標もくひょう的てき問題もんだい。在ざい尺せき規ただし作圖さくず中ちゅう，直ちょく尺せき和かず圓えん規ぶんまわし的てき定義ていぎ是ぜ：

直ちょく尺しゃく：一側為無窮長的直線，沒ぼつ有ゆう刻こく度ど也無法ほう標識ひょうしき刻こく度ど的てき工具こうぐ。只ただ可か以讓筆ひつ摹下這個直線ちょくせん的てき全部ぜんぶ或ある一部分いちぶぶん。

圓まどか規ただし：由ゆかり兩りょう端點たんてん構成こうせい的てき工具こうぐ。可か以在保持ほじ兩個りゃんこ端はし點てん之の間あいだ的てき距離きょり不變ふへん的てき情況じょうきょう下か，將はた兩個りゃんこ端點たんてん同時どうじ移動いどう，或ある者もの只ただ固定こてい其中一いち個こ端點たんてん，讓ゆずる另一いち個こ端點たんてん移動いどう，作出さくしゅつ圓弧えんこ或ある圓えん。兩個りゃんこ端はし點てん之の間あいだ的てき距離きょり只ただ能取のとろ已やめ經けい作出さくしゅつ的てき兩りょう點てん之の間あいだ的てき距離きょり，或ある者もの任意にんい一いち個こ未知みち的てき距離きょり。

定義ていぎ了りょう直ちょく尺せき和かず圓えん規ぶんまわし的てき特性とくせい後ご，所有しょゆう的てき作圖さくず步ふ驟都可か以歸化か為ため五種基本的步驟，稱しょう為ため作圖さくず公法こうほう：

• 通過つうか兩個りゃんこ已やめ知ち點てん，作さく一直線いっちょくせん。
• 已やめ知ち圓心えんしん和わ半徑はんけい，作さく一いち個こ圓えん。
• 若わか兩りょう已やめ知直ともなお線せん相しょう交，確定かくてい其交點てん。
• 若わか已やめ知直ともなお線せん和わ一已知圓相交，確定かくてい其交點てん。
• 若わか兩りょう已やめ知ち圓えん相しょう交，確定かくてい其交點てん。

尺せき規ただし作圖さくず研究けんきゅう的てき，就是是ぜ否ひ能のう夠通過つうか以上いじょう五種步驟的有限次重複，達たち到いた給きゅう定じょう的てき作圖さくず目標もくひょう。尺せき規ただし作圖さくず問題もんだい常見つねみ的てき形式けいしき是ぜ：「給きゅう定てい某某ぼうぼう條件じょうけん，能否のうひ用よう尺せき規ただし作出さくしゅつ某某ぼうぼう對象たいしょう？」比ひ如：「給きゅう定じょう一いち個こ圓えん，能否のうひ用よう尺せき規ただし作出さくしゅつ這個圓えん的てき圓心えんしん？」，等とう等とう。

問題もんだい敘述

倍ばい立方りっぽう問題もんだい的てき完かん整せい敘述是ぜ：

“ 任意にんい給きゅう定じょう一いち個こ線せん段だんl，是ぜ否ひ能のう夠通過つうか以上いじょう說明せつめい的てき五ご種しゅ基本きほん步ふ驟，於有限げん次じ內作出で另一個長度的線段，使つかい得とく以它為ため棱長的てき立方體りっぽうたい的てき體積たいせき是ぜ以l為ため棱長的てき立方體りっぽうたい的てき體積たいせき的てき2倍ばい？ ”

如果將しょう給きゅう定じょう線せん段だん的てき長ちょう度ど定てい為ため單位たんい長ちょう度ど，則のり倍ばい立方りっぽう問題もんだい實質じっしつ上じょう就是要よう作出さくしゅつ長ちょう度ど為ため單位たんい長ちょう度ど的てき${\sqrt[{3}]{2}}$倍ばい的てき線せん段だん。

倍ばい平方へいほう

與あずか倍ばい立方りっぽう問題もんだい相しょう比ひ，倍ばい平方へいほう問題もんだい要よう簡單かんたん得とく多た。給きゅう定じょう一個單位長度的線段，只ただ需做一個以它為邊長的正方形，以正方形せいほうけい的てき對角線たいかくせん為ため邊べ長ちょう的てき正方形せいほうけい，面積めんせき就是2. 也即是ぜ說せつ，尺せき規ただし作圖さくず可か以作出さくしゅつ長ちょう度ど為ため單位たんい長ちょう度ど的てき${\sqrt {2}}$倍ばい的てき線せん段だん。然しか而，${\sqrt[{3}]{2}}$和わ${\sqrt {2}}$雖然形狀けいじょう相近すけちか，卻有本質ほんしつ性的せいてき區別くべつ。數學すうがく家か們直到いた十じゅう九きゅう世紀せいき後ご，才さい從したがえ群ぐん論ろん和わ域いき論ろん的てき工具こうぐ中ちゅう了解りょうかい了りょう這個區別くべつ。

不可能ふかのう性せい的てき證明しょうめい

主しゅ條目じょうもく：規矩きく數すう

以下いか內容已やめ移うつり至いたり於規矩きく數すう

尺せき規ただし作圖さくず三さん大だい難題なんだい提出ていしゅつ後ご，有ゆう許多きょた基もと於平面めん幾何きか的てき論證ろんしょう和わ嘗試，但ただし在ざい十じゅう九きゅう世紀せいき以前いぜん，一直沒有完整的解答。沒ぼつ有人ゆうじん能のう夠給出で倍ばい立方りっぽう問題もんだい的てき解法かいほう，但ただし開始かいし懷疑かいぎ其可能かのう性的せいてき人じん之の中なか，也沒有人ゆうじん能のう夠證明しょうめい這樣的てき解法かいほう一定いってい不ふ存在そんざい。直ちょく到いた十じゅう九きゅう世紀せいき後ご，伽羅きゃら瓦かわら和わ阿おもね貝かい爾しか開ひらけ創そう了りょう以群論ろん來らい討論とうろん有理ゆうり系けい數すう多項式たこうしき方かた程ほど之の解かい的てき方法ほうほう，人にん們才認識にんしき到いた這三さん個こ問題もんだい的てき本質ほんしつ 。

尺せき規ただし可か作さく性せい和わ規矩きく數すう

在ざい研究けんきゅう各種かくしゅ尺じゃく規ぶんまわし作圖さくず問題もんだい的てき時候じこう，數學すうがく家か們留意りゅうい到いた，能否のうひ用よう尺せき規ただし作出さくしゅつ特定とくてい的てき圖形ずけい或ある目標もくひょう，本質ほんしつ是ぜ能否のうひ作出さくしゅつ符合ふごう的てき長ちょう度ど。引進直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい和わ解析かいせき幾何きか以後いご，又また可か以將長ちょう度ど解釋かいしゃく為ため坐すわ標しるべ。比ひ如說，作出さくしゅつ一いち個こ圓えん，實際じっさい上じょう是ぜ作出さくしゅつ圓心えんしん的てき位置いち（坐すわ標しるべ）和かず半徑はんけい的てき長ちょう度ど。作出さくしゅつ特定とくてい的てき某ぼう個こ交點こうてん或ある某ぼう條じょう直線ちょくせん，實際じっさい上じょう是ぜ找出它們的てき坐すわ標しるべ、斜はす率りつ和わ截距。為ため此，數學すうがく家か引入了りょう尺せき規ただし可か作さく性せい這一概念がいねん。假設かせつ平面へいめん上じょう有ゆう兩個りゃんこ已やめ知的ちてき點てんO和わA，以OA為ため單位たんい長ちょう度ど，射しゃ線せんOA為ためx-軸じく正ただし向こう可か以為平面へいめん建立こんりゅう一いち個こ標準ひょうじゅん直角ちょっかく坐すわ標しるべ系けい，平面へいめん中ちゅう的てき點てん可か以用橫よこ坐すわ標しめぎ和かず縱たて坐すわ標しるべ表示ひょうじ，整せい個こ平面へいめん可か以等價とうか於$\mathbb {R} ^{2}$。

設しつらえE是これ$\mathbb {R} ^{2}$的てき一いち個こ非ひ空そら子こ集しゅう。如果某ぼう直線ちょくせん${\mathcal {l}}$經過けいかE中ちゅう不同ふどう的てき兩りょう點てん，就說${\mathcal {l}}$是これE-尺せき規ただし可か作さく的てき，簡稱E-可か作さく。同樣どうよう地ち，如果某ぼう個こ圓えん${\mathcal {C}}$的てき圓心えんしん和わ圓上えんじょう的てき某ぼう個こ點てん是ぜE中なか的てき元素げんそ，就說${\mathcal {C}}$是これE-可か作さく的てき。進一しんいち步ふ地ち說せつ，如果$\mathbb {R} ^{2}$里さと的てき某ぼう個こ點てんP是ぜ某ぼう兩個りゃんこE-可か作さく的てき直線ちょくせん或ある圓えん的てき交點こうてん（直線ちょくせん－直線ちょくせん、直線ちょくせん－圓えん以及圓えん－圓えん），就說點てんP是これE-可か作さく的てき。這樣的てき定義ていぎ是ぜ基もと於五個基本步驟得來的，包括ほうかつ了りょう尺せき規ただし作圖さくず中ちゅう從したがえ已やめ知ち條件じょうけん得え到いた新しん元素げんそ的てき五ご種しゅ基本きほん方法ほうほう。如果將しょう所有しょゆうE-尺せき規ただし可か作さく的てき點てん的てき集合しゅうごう記き作さくs(E)，那な麼當E中ちゅう包含ほうがん超過ちょうか兩個りゃんこ點てん的てき時候じこう，E肯定こうてい是ぜs(E)的てき真子しんじ集しゅう。從したがえ某ぼう個こ點てん集しゅうE₀開始かいし，經過けいか一步能作出的點構成集合E₁=s(E)，經過けいか兩りょう步ふ能のう作出さくしゅつ的てき點てん就是E₂=s(E₁)，……以此類推るいすい，經過けいかn步ふ能のう作出さくしゅつ的てき點てん集しゅう就是E_n=s(E_n-1)。而所有しょゆう從したがえE能のう尺せき規ただし作出さくしゅつ的てき點てん集しゅう就是：

$C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}.$

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設しつらえH是ぜ從したがえ集合しゅうごうE₀={(0,0), (0,1)}開始かいし，尺せき規ただし可か作さく點てん的てき集合しゅうごう：$\mathrm {H} =C(\mathrm {E} _{0}),$ 那な麼規矩きく數すう定義ていぎ為ためH中なか的てき點てん的てき橫よこ坐すわ標しめぎ和かず縱たて坐すわ標しるべ表示ひょうじ的てき數すう。

定義ていぎ：實數じっすうa和わb是ぜ規矩きく數すう若わか且唯若わか(a, b)是これH中なか的てき一いち個こ點てん。

可か以證明しょうめい，有理數ゆうりすう集しゅう$\mathbb {Q}$是ぜ所有しょゆう規矩きく數すう構成こうせい的てき集合しゅうごうK的てき子こ集しゅう，而K又また是ぜ實數じっすう集しゅう$\mathbb {R}$的てき子こ集しゅう。另外，為ため了りょう在ざい複數ふくすう集しゅう$\mathbb {C}$內討論ろん問題もんだい，也會將はた平面へいめん$\mathbb {R} ^{2}$看み作さく複ふく平面へいめん$\mathbb {C}$，同時どうじ定義ていぎ一いち個こ複數ふくすうa+bi是ぜ（復ふく）規矩きく數すう若わか且唯若わか點てん(a, b)是これH中なか的てき一いち個こ點てん。所有しょゆう復ふく規矩きく數すう構成こうせい的てき集合しゅうごうL也包含ほうがん$\mathbb {Q}$作為さくい子こ集しゅう，並なみ且是複數ふくすう集しゅう$\mathbb {C}$的てき子こ集しゅう。從したがえ尺せき規ただし可か作さく性せい到いた解析かいせき幾何きか下か的てき規矩きく數すう，尺せき規ただし作圖さくず問題もんだい從したがえ幾何きか問題もんだい轉成てんせい了りょう代數だいすう的てき問題もんだい。

域いき的てき擴張かくちょう與あずか最小さいしょう多項式たこうしき

以集合しゅうごう的てき觀念かんねん來らい說せつ，L與あずか$\mathbb {Q}$、$\mathbb {C}$之これ間あいだ是ぜ子こ集しゅう與あずか包含ほうがん的てき關係かんけい。以抽象ちゅうしょう代數だいすう的てき觀點かんてん來らい說せつ，可か以證明しょうめいL是ぜ有理數ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$的てき擴域，是ぜ實數じっすう域いき$\mathbb {C}$的てき子こ域いき。記き作さく$\mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C}$。域いき是ぜ抽象ちゅうしょう代數だいすう中ちゅう的てき概念がいねん，是能これよし夠進行しんこう「加減乘除かげんじょうじょ」運算うんざん的てき集合しゅうごう。從したがえ單位たんい長ちょう度ど出發しゅっぱつ，很容易ようい得え到いた任にん何なん有理數ゆうりすう長ちょう度ど的てき線せん段だん，所以ゆえん直線ちょくせんOA（也就是ぜ實數じっすう軸じく）上じょう所有しょゆう的てき有理數ゆうりすう坐すわ標的ひょうてき點てん都と是ぜ尺じゃく規ぶんまわし可か作さく點てん。如果平面へいめん上じょう還かえ有ゆう另一いち個こ尺せき規ただし可か作さく點てん（對應たいおう複數ふくすうz），那な麼也能のう做出任意にんいpz+q的まと點てん，甚至於任何なん形かたち如：

${\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}$

的まと點てん（其中P₁和わP₂是ぜ兩個りゃんこ多項式たこうしき）。有理數ゆうりすう域いき$\mathbb {Q}$和わ所有しょゆう因いん為ためz而多出來でき的てき尺せき規ただし可か作さく點てん仍舊構成こうせい一いち個こ域いき，稱たたえ為ため$\mathbb {Q}$關せき於z的てき擴張かくちょう，記き作さく$\mathbb {Q} (z)$。然しか而，$\mathbb {Q} (z)$中なか的てき元素げんそ並なみ沒ぼつ有ゆう表面ひょうめん上じょう那な麼「多た」。一般いっぱん來らい說せつ，如果有ゆう一いち個こ多項式たこうしきP使つかい得とくP(z)=0，那な麼$\mathbb {Q} (z)$中なか的てき元素げんそ都と可か以寫成なりλらむだ₁+λらむだ₂z+...+λらむだ_dz^d-1的てき形式けいしき，其中d是これP的てき階數かいすう。這樣的てき情況じょうきょう稱しょう為ため域いき$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん擴張かくちょう，因よし為ため$\mathbb {Q} (z)$可か以看成なり關せき於$\mathbb {Q}$的てき有限ゆうげん維線せん性せい空間くうかん。為ため了りょう確定かくてい這個線せん性せい空間くうかん的てき維數，需要じゅよう為ため它找一いち個こ基底きてい，也就是ぜ一いち個こ線せん性せい無關むせき的てき最小さいしょう生成せいせい集しゅう。為ため此，尋ひろ找使得とくm(z)=0的てき多項式たこうしき中ちゅう階數かいすう最小さいしょう的てき，並稱へいしょうm是これz最小さいしょう多項式たこうしき。在ざい最小さいしょう多項式たこうしき確定かくてい後ご，便びん可か確定かくてい1, z, ... , z^d_m-1是これ$\mathbb {Q} (z)$的てき一いち個こ基底きてい，$\mathbb {Q} (z)$是ぜ一いち個こd_m維的$\mathbb {Q}$-線せん性せい空間くうかん（d_m是これm的てき階數かいすう）。這時候じこう也稱d_m是ぜ域いき擴張かくちょう$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的てき階數かいすう，記き作さく：

$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}$

規矩きく擴張かくちょう的てき階數かいすう

對たい任にん何なん一個尺規可作點，都と可か以考察它對應たいおう的てき域いき擴張かくちょう的てき階數かいすう。由よし於每個こ尺じゃく規ぶんまわし可か作さく點てん都と是ぜ通過つうか五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中ちゅう生成せいせい新しん點てん（也就是ぜ新しん坐すわ標しるべ）的てき只ただ有ゆう後ご三さん種しゅ。所以ゆえん只ただ需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設かせつ某ぼう個こ時刻じこく，已やめ知的ちてき所有しょゆう尺じゃく規ぶんまわし可か作さく點てん構成こうせい的てき域いき是ぜL，那な麼生成せいせい新しん點てん時じ的てき直線ちょくせん和わ圓えん的てき係數けいすう都と在ざいL裏面りめん。

直線ちょくせん的てき方かた程ほど是ぜ：$ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)$

圓えん的てき方かた程ほど是ぜ：$(x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)$

無論むろん是ぜ兩個りゃんこ(1)類るい方かた程ほど，兩個りゃんこ(2)類るい方かた程ほど，還かえ是ぜ一いち個こ(1)類るい和わ一いち個こ(2)類るい方かた程ほど聯立れんりつ求もとめ解かい，得とく到いた的てきx和わy值都會かい是ぜ形がた同どう

${\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}$

的てき數すう值。所以ゆえん復ふく規矩きく數すうz=x+yi滿足まんぞく一いち個こ二に次じ方かた程ほど：

$(z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}$

其中的てきp₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都みやこ是ただしL中なか的てき元素げんそ。這意味いみ着ぎ，域いき擴張かくちょうL⊆L(z)的てき階數かいすう最多さいた是ぜ2（最小さいしょう多項式たこうしき的てき階數かいすう至いたり多た是ぜ2）。這又說明せつめい，從したがえL開始かいし，經過けいか一いち系列けいれつ（n次つぎ）基本きほん步ふ驟得到いた的てき尺せき規ただし可か作さく點てん，代表だいひょう了りょうn次じ域いき擴張かくちょう：

$\mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}.$

而每次じ域いき擴張かくちょう的てき階數かいすう：[L_k : L_k-1]都と不ふ超過ちょうか2。因よし此，如果從したがえ基本きほん的てき有理數ゆうりすう域いき出發しゅっぱつ的てき話ばなし，就能得え到いた如下的てき定理ていり：

任にん何なん復ふく規矩きく數すうz對應たいおう的てき域いき擴張かくちょう$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)$的てき階數かいすう$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]$都と是ぜ2的てき某ぼう個こ冪べき次じ： $[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}$

其中的てきs是ぜ某ぼう個こ小しょう於n的てき自然しぜん數すう（n是ぜ已やめ知ち所有しょゆう有理數ゆうりすう坐すわ標しるべ點てん時じ，作出さくしゅつz對應たいおう的てき點てん要よう經過けいか的てき基本きほん步ふ驟數目め）。

倍ばい立方りっぽう不可能ふかのう性せい的てき證明しょうめい

證明しょうめい使用しよう反證はんしょう法ほう。倍ばい立方りっぽう問題もんだい是ぜ指ゆび已やめ知ち單位たんい長ちょう度ど1，要よう作出さくしゅつ${\sqrt[{3}]{2}}$的まと長ちょう度ど。反はん設しつらえ${\sqrt[{3}]{2}}$可か以作出で，說明せつめい它是一いち個こ規矩きく數すう。所以ゆえん域いき擴張かくちょう的てき階數かいすう$[\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]$應おう該是2的てき冪べき次じ。然しか而，$z={\sqrt[{3}]{2}}$的てき最小さいしょう多項式たこうしき是ぜ：

$z^{3}-2=0$

這說明せつめい域いき擴張かくちょう$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$的てき階數かいすう是ぜ3，不ふ是ぜ2的てき冪べき次じ，這與先さき前まえ的てき結論けつろん矛盾むじゅん。所以ゆえん，用よう尺せき規ただし方法ほうほう無法むほう作出さくしゅつ一いち個こ立方體りっぽうたい，使つかい得とく它的體積たいせき是ぜ已やめ知立ちりゅう方體ほうたい的てき兩りょう倍ばい。

倍ばい立方りっぽう的てき方法ほうほう

如果放ひ寬ひろし條件じょうけん，比ひ如使用しよう有ゆう刻こく度ど的てき直じき尺じゃく（二に刻こく尺じゃく）或ある摺すり紙し等とう，則のり倍ばい立方りっぽう是ぜ有ゆう可能かのう的てき：

二に刻こく尺じゃく作圖さくず

用もちい有ゆう刻こく度ど的てき直じき尺じゃく來らい進行しんこう倍ばい立方りっぽう

1. 作さく一いち個こ邊あたり長ちょう為ため 1 的てき等邊とうへん三角形さんかっけい ABC。
2. 把わ AB 延長えんちょう，作さく線せん AD ，使つかい得とく BD = 1。
3. 把わ BC 延長えんちょう，作さく線せん BE。
4. 把わ D 和わ C 相あい連れん並なみ延長えんちょう，作さく線せん DF。
5. 利用りよう直じき尺じゃく上じょう的てき刻こく度ど，作さく線せん AGH，使つかい得とく GH = 1 ，其中 G 和わ H 分別ふんべつ在ざい DF 和わ BE 之これ上じょう。
6. AG 的てき長ちょう度ど就是${\sqrt[{3}]{2}}$，作圖さくず完かん畢

證明しょうめい

由ゆかり $\angle CBD=120^{\circ },{\overline {BC}}={\overline {BD}}$

得とく

$\angle BCD=30^{\circ },\angle ACG=90^{\circ }$

又また根據こんきょ畢氏定理ていり

${\overline {CD}}={\sqrt {3}}$

現在げんざい設しつらえ${\overline {AG}}=x$，則のり${\overline {CG}}={\sqrt {x^{2}-1}}$由ゆかり孟はじめ氏し定理ていり

${\frac {\overline {DB}}{\overline {BA}}}\cdot {\frac {\overline {AH}}{\overline {HG}}}\cdot {\frac {\overline {GC}}{\overline {CD}}}=1$

可か得とく

${\frac {(x+1){\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {3}}}=1$

兩邊りょうへん平方へいほう後ご整理せいり

$(x+1)^{2}(x^{2}-1)-3$

$=x^{4}+2x^{3}-2x-4$

$=(x+2)(x^{3}-2)=0$

此方こちら程ほど式しき有ゆう唯ただ一いち正せい實根みね

$x={\sqrt[{3}]{2}}$

摺すり紙し

通過つうか摺すり紙し的てき方式ほうしき求もとめ出で2的てき立方根りっぽうこん

將はた一張正方形紙折三等份留下痕跡之後，點てんP折おり向こう正方形せいほうけい的てき邊あたりAB，並なみ且點P的てき位置いち要よう使つかい得とく左ひだり三さん等分とうぶん點てんQ折おり到いた與あずか右みぎ三さん等分とうぶん線せん重合じゅうごう。此時有ゆう${\frac {\overline {PB}}{\overline {AP}}}={\sqrt[{3}]{2}}$。

證明しょうめい

將しょう圖ず中ちゅう左邊さへん被ひ折おり的てき點てん命名めいめい為ためC，以及AB邊あたり上じょう右みぎ三さん等分とうぶん點てん命名めいめい為ためD。

設しつらえ正方形せいほうけい連れん長ちょう為ため1以及AC長ちょう度ど為ため$x$，則のり有ゆうCP長ちょう度ど為ため$1-x$，AP長ちょう度ど通過つうか勾股定理ていり為ため${\sqrt {1-2x}}$；另一方面ほうめんPQ長ちょう度ど為ため${\frac {1}{3}}$，PD長ちょう度ど為ため${\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}$。

根據こんきょ相似そうじ三角形さんかっけい（$\triangle ACP\sim \triangle DPQ$），可か以得到いた方かた程ほど：

${\frac {x}{1-x}}={\frac {{\frac {2}{3}}-{\sqrt {1-2x}}}{\frac {1}{3}}}$

取と其正根ね解かい得とく$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$，又また由よし於PB長ちょう度ど為ため$1-{\sqrt {1-2x}}$，於是代入だいにゅう$x={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}$得とく${\frac {1-{\sqrt {1-2x}}}{\sqrt {1-2x}}}={\sqrt[{3}]{2}}$，證あかし畢。

相關そうかん條目じょうもく

• 三さん等分とうぶん角かく
• 化か圓えん為ため方かた
• 蔓づる葉は線せん

外部がいぶ連結れんけつ

• HPM 通どおり訊第6卷かん第だい6期き, 3大だい作圖さくず題だい 介かい紹在較寬鬆す的てき條件下じょうけんか（允許いんきょ使用しよう其他曲線きょくせん）用よう尺せき規ただし作圖さくず，來らい求もとめ解かい倍ばい立方りっぽう問題もんだい。