Superellips

Die superellips met n = 4, a = b = 1 benader 'n afgekante vierkant.

Die superellips (of Lamékromme) is die meetkundige figuur wat in die Cartesiese koördinaatstelsel gedefinieer word as die versameling punte (x, y) met

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$

waar $n>0$ en $a$ en $b$ die radiusse van die ovaal vorm is. Die geval $n=2$ lewer die gewone ellips; vermeerdering van $n$ na meer as 2 lewer die hiperellipse, wat al hoe meer soos 'n reghoek lyk; vermindering van $n$ na minder as 2 lewer hipoellipse wat gepunte hoeke ontwikkel in die $x$ en $y$ rigtingsen al hoe meer soos kruise lyk.

Effek van n

n = ³⁄₂, a = b = 1 lewer 'n ronder vorm wat soos 'n afgekante vierkant lyk.

n = ¹⁄₂, a = b = 1 lewer 'n vierpuntster.

Indien n 'n rasionale getal is met 'n ewe teller en onewe noemer dan is die superellips 'n vlak algebraïese kromme. In besonder indien a en b beide een is en n 'n ewe heelgetal is, dan is dit 'n Fermatkromme met graad n. In die geval is dit nie-singulier, maar in die algemeen sal dit singulier wees. Indien die teller nie ewe is nie, dan word die kromme saamgeplak uit dele van dieselfde algebraïese kromme in verskillende oriëntasies.

Byvoorbeeld, indien x^4/3 + y^4/3=1, dan is die kromme 'n algebraïese kromme met graad twaalf en genus drie, wat gegee word deur die vergelyking

$(x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+3(x^{4}+y^{4})-1=0.$

$x\left(\theta \right)=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta ,$

$y\left(\theta \right)=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta ;$

$0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}.$

Veralgemening

Voorbeeld van die veralgemeende superellips met m ≠ n.

Die superellips word verder veralgemeen as:

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;m,n>0.$

Superellipsoïed

Koper supereier deur Piet Hein.

In drie dimensies kan 'n superellipsoïed of supereier verkry word deur 'n superellips om die x-as te roteer wat die volgende generiese vorm lewer:

$\left(|x|^{\frac {2}{a}}+|y|^{\frac {2}{a}}\right)^{\frac {a}{b}}+|z|^{\frac {2}{b}}=1$

Met $a,b>0$.

Geskiedenis

Hoewel die uitvinding van die superellips baie keer toegeskryf word aan die Deense digter en wetenskaplike Piet Hein (1905-1996), het hy nie die superellips ontdek nie. Die algemene Cartesiese notasie van die vorm is afkomstig van die Franse wiskundige Gabriel Lamé (1795–1870) wat die vergelyking vir die ellips veralgemeen het.

Piet Hein het egter gewildheid verleen aan die gebruik van die superellips in argitektuur, stadsbeplanning en meubelontwerp, en hy het wel die supereier of superellipsoïed uitgevind deur met die superellips te begin

$\left|{\frac {x}{4}}\right|^{2.5}+\left|{\frac {y}{3}}\right|^{2.5}=1$

en dit om die x-as daarvan te wentel. Anders as 'n gewone ellipsoïed, kan die superellipsoïed regop op 'n plat oppervlak staan.

Toe stadsbeplanners in Stockholm, Swede 'n oplossing vir 'n verkeersirkel in die stadsplein Sergels Torg benodig het, het Piet Hein se superellips die nodige estetiese en praktiese oplossing verskaf. In 1969 kon onderhandellaars in die Vietnamoorlogvredessamesprekinge in Parys nie ooreenkom oor die vorm van die onderhandelingstafel nie. Piet Hein het 'n reuse superelliptiese tafel ontwerp om die partye te akkommodeer. Die superellips is ook gebruik vir die vorm van die 1968 Azteca Olympiese Stadion, in Meksiko Stad.

Hermann Zapf se lettertipe Melior, wat in 1952 uitgegee is, gebruik superellipse vir letters soos o. Dertig jaar later ontwikkel Donald Knuth die vermoë om tussen ware ellipse en superellipse te kies in sy Computer Modern lettertipefamilie.

Die mensdier trek graag strepe wat hom dan self pootjie. In die onwikkeling van die beskawing het twee neigings oorheers, die een na reguit lyne en reghoekige patrone, en die ander na sirkels. Daar is goeie praktiese en emosionele redes waarom dit so is. Dinge wat reguit en haaks is pas mooi bymekaar en spaar plek. En ons kan maklik rondbeweeg, fisies of intellektueel, om dinge wat sirkelvormig is. Ons word egter vasgevang in besluiteloosheid, asof ons die een of die ander moet kies, wanneer ons iets tussenin nodig kry. Om sommer iets uit die lug te gryp, soos die lappieskombersverkeerssirkel wat hulle in Stockholm aangepak het, is nie goed genoeg nie. Dit is nie vasgepen nie, dit is nie iets definitief soos 'n sirkel of 'n vierkant nie. Ons weet nie wat dit is nie. Dit is nie esteties bevredigend nie. Die superellips het die probleem opgelos. Dit is nie rond of reghoekig nie, maar tog is dit vas, dit is definitief, dit het eenheid. —Piet Hein

Sien ook

• Astroïed, 'n spesifieke superellips
• Ellips

Bronne

• Gardner, Martin: Piet Hein's Superellipse. - in Gardner, Martin: Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage, 1977, pp. 240-254.
• Johan Gielis: Inventing the circle. The geometry of nature. - Antwerpen : Geniaal Press, 2003. - ISBN 90-807756-1-4

Eksterne skakels

• Wikimedia Commons het meer media in die kategorie Superellips.
• Superellips (MathWorld)
• Lamé se Superellips (Java-miniprgram) Geargiveer 27 Februarie 2009 op Wayback Machine
• Superellipsoïed (Java-miniprogram) Geargiveer 24 Mei 2005 op Wayback Machine
• Johan Gielis Geargiveer 14 Desember 2009 op Wayback Machine en Bert Beirinckx Geargiveer 6 Desember 2007 op Wayback Machine se "Superformule".