القوى المعممة

يندرج استخدام القوى المعممة في ميكانيكا لاغرانج (Lagrangian mechanics)، حيث تتناقض مهامها مع الإحداثيات المعممة. ونحصل عليها من القوى التطبيقية، F_i, i=1,..., n، المؤثرة في أي نظام يتميز بمواصفات محددة في مصطلحات الإحداثيات المعممة. في معادلة الشغل الافتراضي، كل قوة معممة هي معامل اختلاف للإحداثيات المعممة.

الشغل الافتراضي

يمكن الحصول على القوى المعممة من حساب الشغل الافتراضي, δでるたW, of the applied forces.

الشغل الافتراضي للقوى, F_i, بناءً على الجزيئات P_i, i=1,..., n, التي يتم الحصول عليها من

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}$

حيث δでるたr_i هي النزوح الظاهري للجزيئات P_i.

الإحداثيات المعممة

لنفترض أن المتجهات الموضعية الجزيئات، r_i، هي وظيفة الإحداثيات المعممة، q_j, j=1,...,m. ثم يتم تقدير النزوح الظاهري δでるたr_i عن طريق

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,$

حيث δでるたq_j هي النزوح الظاهري للإحداثيات المعممة q_j.

يصبح الشغل الافتراضي لنظام الجزيئات

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.$

جمع معاملات q_j لذلك

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\ldots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.$

القوى المعممة

يمكن صياغة الشغل الافتراضي لأي نظام جزيئات في شكل

$\delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\ldots +Q_{m}\delta q_{m},$

بحيث تكون

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,$

وتسمى قوى التعميم المرتبطة بالإحداثيات المعممة q_j, j=1,...,m.

معادلة السرعة

عند تطبيق مبدأ الشغل الافتراضي نجد سهولة في كثير من الأحيان في الحصول على النزوح الظاهري من سرعات النظام. لنظام الجزيئات n، ندع سرعة كل جزيء P_i be V_i, then the virtual displacement δでるたr_i يمكن صياغته أيضًا في شكل

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.$

يعني ذلك أن القوى المعممة، Q_j، يمكن تحديدها كما يلي

$Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

مبدأ ألمبرت (D'Alembert's principle)

صاغ ألمبرت ديناميكيات الجزيئات كتوازن القوى المطبقة مع أي قوة قصور ذاتي (تُسمى القوة الظاهرة)، مبدأ ألمبرت. قوة القصور الذاتي للجزيء، P_i، للكتلة m_i هي

$\mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,$

بينما A_i هو تسريع للجزيء.

إذا اعتمد تكوين نظام الجزيئات على الإحداثيات المعممة q_j, j=1,...,m، فمن ثم نحصل على قوة القصور الذاتي بواسطة

$Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.$

صيغة ألمبرت لمبدأ نواتج الشغل الافتراضي

$\delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\ldots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.$

انظر أيضًا

• ميكانيكا لاغرانج