Divergència
En càlcul vectorial, s'anomena divergència a l'operador que mesura la tendència d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del flux de l'aigua escolant-se per una banyera, la divergència tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per allà (si només considerem dues dimensions); lluny del forat, la divergència seria zero, ja que no hi ha cap més pèrdua o font d'aigua.[1][2] Una altra notació comú de la divergència és ∇·F. Veure en aquest sentit operador nabla.
Un camp vectorial que té divergència zero s'anomena solenoidal.
Definició
[modifica]Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidià de dimensió tres, i siguin i, j, k les bases dels vectors unitat corresponents.
La divergència d'un camp vectorial diferenciable continu
- F = Fx i + Fy j + Fz k
es defineix com la funció de valor escalar
Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat és invariant sota transformades ortogonals, tal com suggereix la interpretació física.
Interpretació física
[modifica]En termes físics, la divergència d'un camp vectorial és l'abast en el qual el flux d'un camp vectorial es comporta com una font o un desguàs en un punt determinat. De fet, una alternativa dona la divergència com la derivada del flux net d'un camp vectorial a través de la superfície d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera.[3] Concretament,
on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R3, i la integral és la integral de superfície respecte de n, la normal a l'esfera.
Per la interpretació física, un camp vectorial amb divergència constant zero s'anomena incomprimible – en aquest cas, no hi pot haver cap flux net a través de cap superfície tancada.
Propietats
[modifica]Les propietats següents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordinària del càlcul. La més important, la divergència és un operador lineal,
per tots els camps vectorials F i G i tots els nombres reals a i b.
Hi ha una norma de producte del tipus següent; si
o en notació més suggestiva
Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que és:
o bé
El Laplacià d'un camp escalar és la divergència del gradient del camp.
La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) és constant i val zero.
Al contrari, si tens un camp vectorial F amb divergència nul·la definit en una bola en R3, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R3 més complicades que boles, l'última afirmació pot no ser veritat.
Vegeu també
[modifica]- Límit
- Gradient
- Rotacional
- Càlcul vectorial
- Operador nabla
- Teorema de la divergència
- Anàlisi no ortogonal
Referències
[modifica]- ↑ «Divergència». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
- ↑ «divergence» (en anglès). britannica.com. [Consulta: 12 setembre 2014].
- ↑ «Divergence» (en anglès). wolfram.com. [Consulta: 12 setembre 2014].
Enllaços externs
[modifica]- Michiel Hazewinkel (ed.). Divergence. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. (anglès)
- La idea de la divergència d'un camp vectorial (anglès)