Varietat simplèctica

En matemàtiques, i més específicament en geometria diferencial, una varietat simplèctica és una varietat diferenciable M dotada d'una 2-forma diferencial tancada i no-degenerada ωおめが, anomenada forma simplèctica. L'estudi de les varietats simplèctiques s'anomena geometria simplèctica o topologia simplèctica. Les varietats simplèctiques sorgeixen naturalment en les formulacions abstractes de la mecànica clàssica, i més específicament de la mecànica hamiltoniana, on l'espai de les fases d'un sistema mecànic és el fibrat cotangent de l'espai de les configuracions; aquest espai de les fases està dotat d'una estructura simplèctica natural.

De la mateixa manera que en la mecànica hamiltoniana la funció hamiltoniana dona lloc a les equacions del moviment, les equacions de Hamilton, en una varietat simplèctica arbitrària (M,ωおめが) qualsevol funció H: M → R dona lloc a un camp vectorial X_H dit camp vectorial hamiltonià. Al seu torn, aquest camp vectorial defineix una equació diferencial de primer ordre en M, dita equació de Hamilton. Les seves solucions són les corbes integrals de X_H, i constitueixen un flux en M dit flux hamiltonià, que està format per simplectomorfismes. D'acord amb el teorema de Liouville, el flux hamiltonià preserva la forma de volum de l'espai de les fases.

Definició

Una forma simplèctica en una varietat M és una 2-forma diferencial tancada i no-degenerada ωおめが.

• La condició de ser tancada significa que la diferencial exterior de ωおめが és idènticament zero: dωおめが=0.
• La condició de ser no degenerada significa que per a tot p ∈ M es compleix el següent: no existeix X ∈ T_pM no nul tal que ωおめが(X,Y) = 0 per a tot Y ∈ T_pM. L'antisimetria significa que per a tot p ∈ M tenim ωおめが(X,Y) = −ωおめが(Y,X) per a qualssevol X,Y ∈ T_pM. Recordem que en dimensió imparella qualsevol matriu asimètrica és no invertible, per tant M té dimensió parella.

Una varietat simplèctica és un parell (M,ωおめが) format per una varietat diferenciable M i una forma simplèctica ωおめが en M. Assignar una forma simplèctica ωおめが a una varietat és dotar-la d'una estructura simplèctica.

Camps vectorials hamiltonians i parèntesi de Poisson

Sigui (M,ωおめが) una varietat simplèctica. La 2-forma ωおめが essent no-degenerada, defineix per contracció amb els vectors tangents un isomorfisme TM → T^*M, el qual permet identificar camps vectorials amb 1-formes diferencials.

Donada una funció H: M → R, la seva diferencial exterior dH és una 1-forma diferencial, i per l'isomorfisme anterior es correspon amb un únic camp vectorial X_H en M, anomenat camp vectorial hamiltonià de H. Per definició,

ωおめが(X_H,Y) = dH(Y).

Donades dues funcions f, g en M, la fórmula

{f,g} = ωおめが(X_f,X_g)

defineix una nova funció, anomenada parèntesi de Poisson o claudàtor de Poisson de f i g. L'espai vectorial C^∞(M), dotat del parèntesi de Poisson, té una estructura de R-àlgebra de Lie, i l'aplicació f → X_f és un antihomomorfisme d'àlgebres de Lie.

Varietat simplèctica lineal

Hi ha un model lineal estàndard, l'espai vectorial simplèctic R²ⁿ. Sigui R²ⁿ amb la base canònica (v₁,...,v_2n). Es defineix una forma simplèctica ωおめが de la manera següent: per a tot 1 ≤ i ≤ n posem ωおめが(v_i,v_n+i) = 1 = -ωおめが(v_n+i,v_i), i fem que ωおめが sigui nul·la sobre tots els altres parells de vectors de la base. Si I_n denota la matriu identitat n × n, llavors la matriu Ωおめが d'aquesta forma simplèctica és la matriu per blocs 2n × 2n següent:

$\Omega =\left({\begin{array}{c|c}0&I_{n}\\\hline -I_{n}&0\end{array}}\right).$

Subvarietats d'una varietat simplèctica

Hi ha diverses nocions geomètriques naturals de subvarietat dins d'una varietat simplèctica.

• Una subvarietat simplèctica és una subvarietat tal que el pullback de la forma simplèctica a la subvarietat és encara una forma simplèctica.

• Una subvarietat isòtropa és una subvarietat tal que el pullback de la forma simplèctica a la subvarietat és zero. En altres paraules, cada espai tangent a la subvarietat és un subespai isòtrop de l'espai de tangent de la varietat ambiental. Anàlogament, si cada subespai tangent a una subvarietat és coisòtrop, la subvarietat es diu coisòtropa.

• Una subvarietat lagrangiana és una subvarietat isòtropa de dimensió màxima, és a dir, la meitat de la dimensió de la varietat simplèctica ambiental. Aquest és el tipus més important de subvarietat isòtropa.

Les subvarietats lagrangianes sorgeixen naturalment en moltes situacions físiques i geomètriques. Un exemple fonamental és el graf d'un simplectomorfisme, que és una subvarietat lagrangiana de la varietat simplèctica de producte (M × M, ωおめが × −ωおめが). En física les subvarietats lagrangianes apareixen per exemple en l'òptica, ja que les càustiques es poden explicar en termes de subvarietats lagrangianes.

Fibracions lagrangianes

Un fibració lagrangiana d'una varietat simplèctica M és una fibració on totes les fibres són subvarietats lagrangianes. Com que M té dimensió parella podem prendre coordenades locals (p₁…,p_n,q₁…,q_n), i pel teorema de darboux la forma simplèctica ωおめが es pot escriure localment com ωおめが = ∑ dp_k ∧ dq_k, on d denota la diferencial exterior i ∧ denota el producte exterior. Amb això localment podem pensar M com un fibrat cotangent T* Rⁿ, i la fibració lagrangiana com la fibració trivial πぱい : T* Rⁿ ↠ Rⁿ.

Casos especials i generalitzacions

• Una varietat simplèctica dotada addicionalment d'una mètrica que és compatible amb la forma simplèctica és una varietat gairebé kähleriana, en el sentit que el seu fibrat tangent té una estructura gairebé complexa, però no necessàriament integrable. Les varietats simplèctiques són casos especials d'una Varietat de poisson.
• Una varietat multisimplèctica de grau k és una varietat proveïda amb una k-forma tancada i no degenerada. Vegeu F. Cantrijn, L. A. Ibort i M. de León, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 66 (1999) 303-330.
• Una varietat polisimplèctica és un fibrat de Legendre dotat d'una $(n+2)$-forma polisimplèctica amb valors vectorials. Vegeu G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, "Covariant Hamiltonian equations for field theory", J. Phys. A 32 (1999) 6629-6642; arXiv: hep-th/9904062.

Vegeu també

• Varietat gairebé complexa
• Varietat gairebé simplèctica
• Varietat de contacte − anàleg en dimensió imparella de la varietat simplèctica.
• Varietat de Poisson
• Grup simplèctic
• Matriu simplèctica
• Topologia simplèctica
• Espai vectorial simplèctic
• Simplectomorfisme

Referències

• Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X .
• Alan Weinstein «Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds». Adv Math, vol. 6, 3, 1971, pàg. 329–346. DOI: 10.1016/0001-8708(71)90020-X.
• Examples of symplectic manifolds a PlanetMath