Zobrazení zdroje stránky Sdružený operátor

== Vlastnosti ==

=== Základní vlastnosti ===
* <math>T^{**} = T</math>
* <math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
* <math>(ST)^*  = T^*S^*</math>
* <math>(\lambda T)^* = \overline{\lambda} T^*</math>
* Je-li <math>T</math> [[Inverzní zobrazení|invertibilní]], tak: <math>(T^*)^{-1} = (T^{-1})^*</math>
* V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. ''hermiteovsky sdružená'' neboli ''adjungovaná'' matice.

=== Vlastnosti normy operátoru ===
Máme-li běžnou operátorovu [[Norma|normu]]
:<math> \| T \| = \sup_{\| x \| \le 1} \|Tx \| </math>
Tak platí:
:<math>\| T \| = \| T^* \|</math>
A navíc:
:<math>\| T^*T \| = \| T \|^2</math>

=== Vztah jádra a obrazu ===
Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:
:<math> \operatorname{Ker}\ T^* = ( \operatorname{Im}\ T )^\bot</math>
:<math> ( \operatorname{Ker}\ T^* )^\bot = \overline{\operatorname{Im}\ T}</math>

Prvá rovnost platí protože:
:<math>\begin{align}
T^* x = 0 &\iff
\langle T^*x,y \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff
\langle x,Ty \rangle = 0 \quad \forall y \in \mathcal{H} \\ &\iff
x\ \bot \ \operatorname{Im}\ T
\end{align}</math>
Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.


{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Funkcionální analýza]]