Asociativita

Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, která znamená, že nezáleží, jak použijeme závorky ve výrazu, kde je více operandů, tedy v jakém pořadí budeme tento výraz počítat. Například operace sčítání čísel je asociativní, takže $1+2+3=(1+2)+3=1+(2+3)$.

V informatice se často název asociativita používá i pro operace, které asociativní v matematickém smyslu nejsou. Pak rozlišujeme asociativitu zleva doprava, jaká je například u odečítání, kdy a - b - c znamená (a - b) - c, a asociativitu zprava doleva, jaká je třeba u umocňování, kde a ↑ b ↑ c znamená a ↑ (b ↑ c) (místo ↑ se v některých programovacích jazycích používá **, v jiných ^).

Definice

Binární operace ∗ (tj. abstraktní operace se dvěma operandy symbolizovaná znakem ∗) je na množině S asociativní, jestliže platí

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)

(7×3)×2 = 21×2 = 42 = 7×6 = 7×(3×2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (a^b) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

$2-(3-1)=0\quad \neq \quad -2=(2-3)-1$.

$2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad 64=4^{3}=(2^{2})^{3}$

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, $2^{3^{4}}=2^{\left(3^{4}\right)}$ (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: $(2^{3})^{4}=2^{3\cdot 4}$).

Vlastnosti

Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a např. zavést mocniny s přirozeným mocnitelem.

Odkazy

Literatura

• HEROUT, Pavel, 2001. Učebnice jazyka C. 3., upravené vyd. České Budějovice: Kopp. 269 s. ISBN 80-85828-21-9. 

Související články

• Komutativita
• Distributivita
• Precedence
• Aritmetika
• Algebraická struktura

Externí odkazy

• Asociativita v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika