Hyperbola
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Hyperbola_%28PSF%29.png/220px-Hyperbola_%28PSF%29.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Hyperbool.png/220px-Hyperbool.png)
Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.
Hyperbola také tvoří graf funkce v kartézské soustavě souřadnic.
Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.
Matematická vyjádření
[editovat | editovat zdroj]Implicitní vyjádření
Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek a konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.
Kartézský souřadnicový systém
[editovat | editovat zdroj]Standardní popis hyperboly:
S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 – ohniska hyperboly
A, B – vrcholy hyperboly
o1 – hlavní osa hyperboly
o2 – vedlejší osa hyperboly
p1, p2 – asymptoty hyperboly
– délka hlavní poloosy
– délka vedlejší poloosy
excentricita
– délka hlavní osy
– délka vedlejší osy
X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole
Pokud , pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.
Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění
[editovat | editovat zdroj]- Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou
- Hlavní osa hyperboly rovnoběžná s osou
- Asymptoty rovnoběžné s osami a
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Funci%C3%B3n_inversa.png/220px-Funci%C3%B3n_inversa.png)
- Středová rovnice:
- Obecná rovnice:
- Rovnice asymptot:
Převedení obecné rovnice na středovou
[editovat | editovat zdroj]Uspořádáme členy v rovnici.
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou .
, , ,
, ,
Vzájemná poloha hyperboly a přímky
[editovat | editovat zdroj]Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant je:
- D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
- D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku
- D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna
Vzájemná poloha hyperboly a bodu
[editovat | editovat zdroj]Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:
- výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
- výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
- výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly
Polární souřadnicový systém
[editovat | editovat zdroj]Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:
Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 102–103, 118–121 a 179–181
- Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 116–117
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu hyperbola na Wikimedia Commons
- Vyčerpávající popis hyperboly