Gofod pedwar dimensiwn

Fersiwn 4D o'r ciwb, sef y teseract. Mae i'w weld yma'n cylchdroi mewn gofod 4D, wedi'i daflunio i 2D.

Mae gofod pedwar dimensiwn neu ofod 4D yn estyniad mathemategol o'r cysyniad o ofod tri dimensiwn neu 3D. Gofod tri dimensiwn yw'r cyffredinoliad symlaf posibl o'r arsylwiad bod angen tri rhif yn unig, a elwir yn ddimensiynau, i ddisgrifio maint neu leoliadau gwrthrychau yn y byd real. Er enghraifft, gellir canfod cyfaint blwch petryal trwy fesur ei hyd (yn aml wedi'i labelu x), lled (y), a dyfnder (z). Mae geometreg gofod pedwar dimensiwn yn llawer mwy cymhleth na gofod tri dimensiwn, oherwydd y rhyddid ychwanegol.

Dechreuodd y syniad o ychwanegu pedwerydd dimensiwn yng nghanol y 1700au gan Joseph-Louis Lagrange, yna ffurfiolwyd y cysyniad yn 1854 gan Bernhard Riemann. Ym 1880 poblogeiddiodd Charles Hinton y syniadau hyn mewn traethawd o'r enw Beth yw'r Pedwerydd Dimensiwn? Y ffurf symlaf o ddull Hinton yw dylunio dau giwb cyffredin wedi'u gwahanu gan bellter "anweledig", ac yna tynnu llinellau rhwng eu fertigau cyfatebol. Gellir gweld hyn yn yr animeiddiad ary dde, sy'n dangos ciwb mewnol bychan oddi mewn i giwb allanol mwy. Mae'r wyth llinyn sy'n cysylltu fertigau'r ddau giwb yma'n cynrychioli un cyfeiriad yn y pedwerydd dimensiwn "anweledig".

Mae gofod o ddimensiynau uwch wedi dod yn un o'r sylfeini ar gyfer mynegi mathemateg a ffiseg modern yn ffurfiol. Ni allai rhannau helaeth o'r pynciau hyn fodoli yn eu ffurf cyfredol heb ddefnyddio gofod o'r fath. Mae cysyniad Einstein o ofod-amser yn defnyddio gofod 4D o'r math hwn, er bod ganddo strwythur Minkowski sydd ychydig yn fwy cymhleth na gofod Euclidaidd 4D.

Gellir disgrifio lleoliadau unigol mewn gofod 4D fel fectorau neu n-tuples, hynny yw, fel rhestri trefnus o rifau megis (t, x, y, z).

Fectorau

Yn fathemategol, mae gofod pedwar-dimensiwn yn ofod sydd angen pedwar paramedr er mwyn nodi pwynt ynddo. Er enghraifft, gall unrhyw bwynt gael fector a sy'n hafal i

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.$

Gall hyn gael ei sgwennu yn nhermau pedwar fector safonnol (e₁, e₂, e₃, e₄), a roddir gan

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},$

fel bod y fector cyffredinol a yn

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.$

Mae lluoswm y dot (dot product) gofod Euclidaidd tri dimensiwn yn cyffredinoli yn bedwar dimensiwn fel

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.$

Gellir ei ddefnyddio i gyfrifo norm neu hyd y fector,

$\left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},$

a chyfrifo neu ddiffinio yr ongl rhwng dau fector di-sero fel

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.$

Mae gofod-amser Minkowski yn ofod pedwar dimensiwn gyda'i geometreg wedi'i ddiffionio gan baru nad yw'n dirywio (non-degenerate pairing) yn wahanol i'r dot-luoswm:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.$

Er enghraifft, mae'r pellter wedi'i sgwario rhwng pwyntiau (0,0,0,0) a (1,1,1,0) yn 3 - o fewn gofod Euclidaidd a Minkowskian 4-gofod; mae codi $b_{4}$ yn lleihau'r pellter metrig. Mae hyn yn arwain at sawl paradocs ymddangosoadol o fewn "perthnasedd".

Gellir defnyddio'r "lluoswm allanol" (exterior product) mewn ambell gymhwsiad, ac mae'n cael ei ddiffinio fel

${\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}$