Theorem Olaf Fermat

Theorem Olaf Fermat

Enghraifft o'r canlynol	theorem
Rhan o	list of theorems
Dechrau/Sefydlu	1637
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Rhifyn 1670 edition o Arithmetica gan Diophantus, sy'n cynnwys includes testun gan Fermat a adnabyddir heddiw fel 'Theorem Olaf Fermat' (Observatio Domini Petri de Fermat).

Mewn theori rhif, dywed Theorem Olaf Fermat na all unrhyw dri cyfanrif positif a, b, ac c fyth fodloni yr hafaliad aⁿ + bⁿ = cⁿ ar gyfer unrhyw werth y cyfanrif n sy'n fwy na 2. Mae gan n = 1 a n = 2 nifer anfeidraidd o ddatrusiadau ac atebion, ac fe wyddys hynny ers dros dwy fil o flynyddoedd.

Cyflwynwyd y theorem am y tro cyntaf gan Pierre de Fermat yn 1637, ar ymyl copi o Arithmetica a oedd yn ei feddiant. Yno, mewn nodiadau, mynnodd fod ganddo brawf a oedd yn rhy hir i'w gynnwys ar ymyl y ddalen. Cyhoeddwyd Prawf Wiles o Theorem Olaf Fermat yn 1994 gan Andrew Wiles, a'i gyhoeddi'n ffurfiol yn 1995, wedi 258 mlynedd o waith caled gan nifer o fathemategwyr. Disgrifiwyd y prawf hwn fel 'datblygiad aruthrol' pan gyflwynwyd Gwobr Nobel i Wiles yn 2016.

Pythagoras

Mae gan yr hafaliad Pythagoraidd x² + y² = z² nifer anfeidraidd o gyfanrifau positif ar gyfer x, y, a z; gelwir y datrusiadau hyn yn "driawdau Pythagoraidd" (neu "driongl Pythagoras"). Tua 1637 sgwennodd Fermat nad oedd gan yr hafaliad mwy cyffredinol aⁿ + bⁿ = cⁿ ddim un datrusiad mewn cyfanrifau positif, pan fo n yn gyfanrif sy'n fwy na 2. Er iddo hawlio fod ganddo brawf cyffredinol, nid adawodd unrhyw dystiolaeth o hynny. 30 mlynedd wedi ei farwolaeth y daeth hyn yn wybyddus i'r byd mathemategol, a galwyd y broblem yn "Theorem Olaf Fermat".

Datganiadau

Ceir sawl datganiad gwahanol o'r theorem, sy'n hafal i'r datganiad gwreiddiol.

Er mwyn eu nodi, byddwn yn defnyddio'r nodiant mathemategol: boed N yn set o rifau naturiol 1, 2, 3, ...; boed Z yn set o gyfanrifau 0, ±1, ±2, ..., a boed Q yn set o rifau cymarebol a/b lle mae a a b yn Z gyda b≠0.

Yn y canlynol, bydd y datrusiad i xⁿ + yⁿ = zⁿ lle mae un neu ragor o x, y, neu z yn sero yn cael ei alw'n "ddatrysiad distadl". Bydd datrusiad lle mae pob un o'r tri yn 'ddi-sero' yn cael ei alw'n "ddatrusiad annistadl".

• Y datganiad gwreiddiol. Gyda n, x, y, z ∈ N (h.y. mae n, x, y, z i gyd yn gyfanrifau positif) a n > 2 nid oes gan yr hafaliad xⁿ + yⁿ = zⁿ unrhyw ddatrusiad.

Mae bron pob llawlyfr poblogaidd ar y pwnc yn ei osod fel hyn, eithr mae pob llawlyfr arbenigol, mathemategol yn ei ddatgan dro Z:

• Datganiad hafal 1: nid oes gan xⁿ + yⁿ = zⁿ, lle mae'r cyfanrif n ≥ 3, ddatrusiad annistadl x, y, z ∈ Z.
• Datganiad hafal 2: xⁿ + yⁿ = zⁿ, lle nad oes gan y cyfanrif n ≥ 3, unrhyw ddatrysiad annistadl x, y, z ∈ Q.
• Datganiad hafal 3: xⁿ + yⁿ = 1, lle nad oes gan y cyfanrif n ≥ 3, unrhyw ddatrysiad annistadl x, y ∈ Q.
• Datganiad hafal 4: (y cysylltiad i'r gromlin eliptig): Os yw a, b, c yn ddatrysiad annistadl i'r eilrif cysefin x^p + y^p = z^p , p, yna bydd y² = x(x − a^p)(x + b^p) ('cromlin Frey') yn gromlin eliptig.